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95400 Odysee ES L Prof .pdf



Nom original: 95400_Odysee_ES-L_Prof.pdf
Titre: unknown

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collection odyssée

le
MATHÉMATIQUES T  ES-L
Livre du professeur
Enseignement spécifique ES et de spécialité L
et enseignement de spécialité ES

Nouveau programme
Sous la direction de

éric SIGWARD
IA-IPR de mathématiques de l’académie de Strasbourg
Auteurs

Éric CASPAR
Professeur de mathématiques au lycée Stanislas de Wissembourg

Daniel DRAY
Professeur de mathématiques au lycée Emily Brontë de Lognes

Hervé KAZMIERCZAK
Professeur de mathématiques au lycée Jean-Baptiste Corot de Douai

Marie-Christine LÉVI
Professeur de mathématiques au lycée Fustel de Coulanges de Massy

Erwan MORVAN
Professeur de mathématiques au lycée Rotrou de Dreux

Didier REGHEM
Professeur de mathématiques au lycée Marguerite de Flandre de Gondecourt

Christophe ROLAND
Professeur de mathématiques au lycée Pasteur de Hénin-Beaumont

éric SIGWARD

Suivi éditorial : Jean-Michel Rêve
Maquette : Nicolas Balbo
Mise en page : Catherine Vielcanet
Infographies : Domino

HATIER, PARIS, 2012
ISBN 978-2-218-95400-9
Sous réserve des exceptions légales, toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite, par quelque procédé que ce soit,
sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par le Code de la Propriété
Intellectuelle. Le CFC est le seul habilité à délivrer des autorisations de reproduction par reprographie, sous réserve en cas d’utilisation
aux fins de vente, de location, de publicité ou de promotion de l’accord de l’auteur ou des ayants droit.

S O M M AIRE

Introduction..................................................................................................................................

5

Corrigés des activités, TP et exercices...................................................................

9

partie a

Algèbre et analyse ........................................................................................... 11

chapitre

1. Suites ...................................................................................................................... 13

chapitre 2. Fonctions ............................................................................................................... 31
chapitre 3. Fonctions
chapitre 4. Fonction

exponentielles .................................................................................. 51

logarithme népérien ........................................................................ 67

chapitre 5. Intégration ............................................................................................................ 97

partie b

Probabilités et statistiques ..................................................................... 117

chapitre 6. Conditionnement .............................................................................................. 119
chapitre 7.

Lois à densité ..................................................................................................... 127

chapitre 8. Fluctuation

partie c

et estimation ............................................................................... 137

Enseignement de spécialité ES ............................................................. 149

chapitre 9. Matrices ............................................................................................................... 151
chapitre 10.

Graphes ............................................................................................................. 181

3

Introduction

5

Le cycle terminal des séries ES et L doit permettre aux élèves de développer leur sens critique
vis-à-vis des informations chiffrées et de les former à la pratique d’une démarche scientifique.
Le programme de la terminale peut être abordé selon plusieurs angles, mais il ne faudrait surtout pas le considérer comme une succession de chapitres cloisonnés. Il conviendra donc de
concevoir, dès le début de l’année, une progression alternant les différentes notions à traiter,
de telle sorte que les concepts abordés soient repris tout au long de l’année. Vous retrouverez
d’ailleurs dans le manuel notre volonté de varier au maximum les situations et problèmes au
sein de chaque chapitre, afin de réinvestir les différents thèmes.
Chaque chapitre de ce manuel propose des travaux pratiques que nous avons choisis les plus
diversifiés possibles. Ils font largement appel à l’outil informatique (logiciel ou calculatrice) et
certains d’entre eux exigent de mettre en œuvre des démarches algorithmiques.
Dans chacun de ces problèmes, les élèves auront l’occasion de chercher, d’appliquer des techniques, d’effectuer des essais, de conjecturer avec les TICE puis d’élaborer des démonstrations.
L’utilisation des TICE est tout à fait adaptée à l’acquisition de nombreuses notions du programme de terminale. Il s’agit d’exploiter toutes les possibilités offertes afin d’enrichir l’apprentissage et les méthodes d’investigation. L’outil informatique permet en effet d’obtenir
rapidement une représentation concrète du problème étudié. Des modifications des configurations en jeu peuvent mettre en évidence les propriétés à démontrer et toute l’attention
peut alors se porter sur la démonstration elle-même. Les problèmes ouverts proposés dans ce
manuel ne font pas appel directement aux TICE. Nous proposons cependant dans certains cas
soit une illustration, soit une vérification du résultat obtenu à l’aide de la calculatrice ou d’un
logiciel adapté à la situation étudiée.
Il importe que la diversité de ces activités se retrouve aussi dans la nature des travaux proposés aux élèves : des travaux dirigés en groupe, des travaux en autonomie, des activités en salle
informatique ou des devoirs personnels réalisés en temps libre.
Nous avons essayé de proposer, au sein de chaque chapitre, des problèmes de difficultés progressives, en particulier dans le domaine de l’algorithmique. À l’issue des classes de seconde et
première, les élèves ont déjà acquis une certaine expérience avec les logiciels usuels : tableurs,
un logiciel de géométrie dynamique ainsi que dans le domaine de l’algorithmique.
Nous n’avons privilégié aucune syntaxe particulière, ce qui vous permet d’utiliser ce guide avec
ses fichiers quels que soient le matériel et les logiciels utilisés dans votre établissement. La
plupart des travaux pratiques peuvent cependant être réalisés assez simplement à l’aide d’une
calculatrice. Ce qui permet une très large utilisation de ce guide.
Vous trouverez dans ce livre du professeur des commentaires, des éléments de correction, ainsi
que des indications sur la mise en œuvre des travaux pratiques avec les élèves. Un nombre
important de ces activités peut être réalisé avec l’outil informatique.

7

En complément, vous trouverez des fichiers sur le CD d’accompagnement, sous de nombreuses versions :
• Excel et OpenOffice pour les fichiers tableurs,
• Casio et Texas pour les tracés et la programmation à l’aide de la calculatrice,
• GeoGebra pour certaines représentations graphiques (en analyse et dans le chapitre de probabilités),
• AlgoBox, Python, Scilab et Xcas pour les programmes qui illustrent les algorithmes,
• Xcas pour le calcul formel.
Ces fichiers vous permettront d’une part de visualiser les résultats demandés, de tester les
algorithmes ou les figures dynamiques, mais également d’illustrer vos explications lors de synthèses collectives avec les élèves. Certains de ces fichiers sont à la disposition des élèves sur
le site compagnon, intégralement ou partiellement complétés, plus particulièrement lorsque
le problème consiste soit à modifier, compléter ou corriger un algorithme, soit à effectuer des
simulations sur une feuille de calcul d’un tableur. Ils serviront ainsi de base de travail pour une
activité en autonomie ou pour un devoir à réaliser à la maison.
Nous espérons que ce livre répondra à vos attentes et qu’il vous apportera des pistes intéressantes pour une présentation efficace du programme de terminale ES et L et qu’il vous aidera
à construire un enseignement des mathématiques à travers la résolution de problèmes, tout
particulièrement dans les chapitres de l’enseignement de spécialité.

Les auteurs.

8

Corrigés
des activités,
TP et exercices

9







Partie A



algèbre
ET analyse

11

1. Suites
▶▶QCM Pour bien commencer
Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le manuel, p. 390.

Corrigés des travaux pratiques
1 Somme des termes d’une suite
Le chapitre sur les suites est propice à la construction de petits programmes. Le TP en présente des
classiques et demande aux élèves de les analyser.

1 a. Le programme va renvoyer 5 si en entrée on donne le nombre 2.
l
b. u0 = 2, et pour tout n entier un + 1 = 0,5un + 3.

2 a. Algo2 va renvoyer le nombre 3.
l
Algo3 va renvoyer le nombre 28,125.
Algo4 va renvoyer le nombre 2.
b. Le programme algo3 permet de calculer la somme u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5.
c. Algo2 permet de savoir l’indice du premier terme de la suite u strictement plus grand que 5.

3 On pose la question de la valeur de N à l’aide de Prompt N au début du programme puis on remplace
l
le 5 dans for(I, 0, 5) par N.

2 Déterminer un extremum d’une fonction
L’algorithme présenté dans le TP est proche de celui de la dichotomie. Il est donc déjà assez évolué
et le TP se destine à des élèves maîtrisant les boucles et les instructions conditionnelles. Il est préférable de déjà avoir étudié la méthode de la dichotomie avant de faire celui-ci.
Comme pour la dichotomie, la méthode marche avec des fonctions non dérivables.

1 a= 4,6 m3.
l
B est croissante sur [0 ; a] puis décroissante sur [a; 9], avec a= 4,6.
a. L’entreprise gagne de l’argent entre environ 1,2 et 7,5 m3.
b. Si a appartient à [a ; c] alors c et b sont dans [a ; d].
B est décroissante sur [a ; d] et c < b donc B(c) > B(d), ce qui contredit l’hypothèse.

2 a. Pour n = 1 : a = 3 ; b = 9.
l
Pour n = 2 : a = 3 ; b = 7.
b. Sur Ti :










Sur Casio :


c. La meilleure estimation à 0,01 près de a est 4,61.

1. Suites • 13

3 a.
l

Soit un entier n, si B

alors an + 1 =

∙ 2a 3+ b ∙ < B ∙ a
n

n

n

+ 2bn
3

∙,

2an + bn
et bn + 1 = bn d’où :
3

bn + 1 – an = bn –

2an + bn
2
= (bn – an).
3
3

Sinon :
an + 1 = an et bn + 1 =
bn + 1 – an =

an + 2bn
d’où :
3

an + 2bn
2
– an = (bn – an).
3
3

2
.
3
b. Pour connaître la quantité au litre près, il faut connaître la valeur de a à 0,001 près.
n
⎛ 2⎞
Il faut donc connaître quand 9 × ⎜ ⎟ < 0,001 soit n > 22.
⎝ 3⎠
La suite w est donc géométrique de raison

Soit a≈ 4 608 L.

3 Somme de termes infiniment petits
Le TP montre aux élèves que la somme de terme tendant vers 0 peut tendre vers l’infini ou vers un
nombre fini selon les cas.
Les suites étant données sous forme explicite, le calcul de la somme des termes est relativement
simple.
La dernière partie, plus théorique, peut être donnée en exercice.
Le raisonnement par récurrence n’étant pas au programme, on se limitera à l’idée de la justification
à la question 3. b.

1 a.
l
n

0

un

4

1

2

– 1,333 333 33 0,8

3

4

10

– 0,571 428 57

0,444 444 44

0,190 476 19

b. u semble tendre vers 0.
c. Sur Ti :

100

1 000

0,019 900 5 0,001 999

Sur Casio :

d.
n
Sn

0

1

2

3

4

10

100

1 000

4

2,66

3,46

2,89

3,34

3,23

3,15

3,14

3

4

5

10

100

1 000

e. S semble converger vers π.

2 a.
l
n

1

2

vn 0,414 213 56 0,317 837 25 0,267 949 19 0,236 067 98 0,213 421 77 0,154 347 13 0,049 875 62 0,015 807 44
b. La suite v semble tendre vers 0.

14 • 1. Suites

c. Sur Ti :

Sur Casio :

d.
n
S’n

0
1

1
1,41

2
1,73

3
2

4
2,23

10
3,31

100
10,04

1 000
31,63

e. La suite S’ semble tendre vers l’infini.

3 a.
l

Pour n entier :
1
n +1 − n
n +1 − n
=
=
= n +1 − n .
n +1− n
n +1 + n
n +1 + n
n +1 − n

(

b. S’0 = 1 ; S’1 =

)(

2 ; S’2 =

)

3 ; S’3 = 2 ; S’4 =

5 ; S’n =

n +1 .

c. Il suffit de choisir N > a², alors si n > N : S’n = n + 1 >
d. D’après la question précédente, S’ tend bien vers +3.

a 2 + 1 > a.

4 Radioactivité
L’activité permet de travailler deux algorithmes :
• le premier permet de déterminer le premier terme où une suite passe sous un seuil. l’algorithme
est explicitement au programme.
• le deuxième, plus difficile, est l’algorithme de la dichotomie. Une explication de la méthode est à
donner au préalable aux élèves.
Les calculatrices sont lentes, la méthode permet, dans certains cas, d’obtenir un gain de temps
sensible.
L’organigramme peut poser un problème car la boucle n’est pas clairement décrite.

1 a.
l

La raison de la suite u est 0,5. Pour n entier, un = 0,5n.
b. Comme 0,5 < 1, la proportion d’iode tend vers 0.
c. Après 88 jours, la proportion d’iode n’est plus que de 0,000 5, soit 0,05 %.
d. Sur Ti :
Sur Casio :

2 a.
l

On ne connaît pas la raison de la suite v.
b. v30 = 0,5 d’où, si q est la raison de la suite, q30 = 0,5.
c. f est dérivable sur [0 ; 1] et f ’(x) = 30x29 > 0. Donc f est croissante sur [0 ; 1].

1. Suites • 15

Début

d.

a=0
b=1
i=0
i < 30 ?
Écrire a

i=i+1

Écrire b

c = (a + b)/2

fin

c 30 > 0,5 ?
b=c

a=c

Sur Ti :








Sur Casio :

e. Sur Ti :

Sur Casio :




Il faut 200 ans pour passer sous 1 % de la quantité initiale de radioactivité.

5 Différentes méthodes de résolution numérique
Les différentes méthodes présentées donnent l’occasion de faire des algorithmes avancés sans être
très longs.
Les questions mathématiques, assez abstraites, peuvent être omises pour se concentrer uniquement
sur l’aspect algorithmique.
On peut faire remarquer aux élèves le lien avec la méthode de Newton et la formule de Héron.

1 a. Sur Ti :
l


16 • 1. Suites



Sur Casio :

b.
n
a
b

0
1
2

1
1
1,5

2
1,25
1,5

3
1,375
1,5

4
1,375
1,437 5

10
1,414 062 5
1,415 039 062 5

b–a

1

0,5

0,25

0,125

0,062 5

1
1024

c. Les termes successifs de b – a se comportent comme ceux d’une suite géométrique de raison 0,5.
En prenant n = 21, on trouve l’estimation 2 ≈ 1,414 213.

2 a.
l

On utilise la formule du cours donnant le coefficient directeur d’une droite :
b2 − a2
( b + a )( b − a ) = (b + a).
y=
=
(b − a )
(b − a )

(

)

b. On utilise la formule donnée, l’équation de la corde est alors :
y = (b + a)(x – a) + a² – 2 = (b + a)x – ab – 2.
c. La corde coupe l’axe des abscisses pour une abscisse x vérifiant l’équation :
(ab + 2)
(b + a)x – ab = 0 ⇒ x =
(b + a)
d. Sur Ti :

Sur Casio :

e.
n
c
2 –c

1
1,333 33

2
1,4

3
1,411 764

4
1,413 793 4

10
1,414 213 551 65

0,08

0,014

0,002 448 8

0,000 420 45

1,072e – 8

3 a.
l

On utilise la formule de la tangente donnée en cours, la tangente en 2 à la courbe représentative
de x ↦ x² – 2 a pour équation : y = 2 × 2(x – 2) + 2² – 2 = 4x – 6.
6
b. 4a1 – 6 = 0 ⇔ a1 =
= 1,5.
4

1. Suites • 17

c. Sur Ti :

Sur Casio :

d.
0

1

2

3

4

10

2

1,5

1,416 66

1,414 21

1,414 21

1,41 421 356 37

0,585 7

0,085 7

0,002 453 1

2e – 6

2e – 12

Précision de
la machine

n
an
an –

2

4 la méthode de Newton est la plus performante (mais elle utilise la dérivée de la fonction), puis vient
l
la méthode de la fausse position et enfin la dichotomie.

6 Utilisation d’un tableur
Un tableur est un moyen pratique et visuel de travailler les suites. Il permet, sans passer par la création d’un programme, de calculer un grand nombre de termes et de calculer des sommes.

1 a.
l

un + 1 = un + 500.
vn + 1 = 1,015vn.
wn + 1 = 1,01wn + 17.
b. u est une suite arithmétique. v est une suite géométrique et w une suite arithmético-géométrique.
c.
A

B

C

D

1
2

n

un

vn

wn

3

0

30 000

30 000

30 000

4

1

= B3 + 500

= 1,015*C3

= 1,01*D3 + 170

d. Après cinq ans, Meriem peut espérer 32 500 € avec la première évolution, 32 318 € avec la
deuxième évolution et enfin 32 397 € avec la troisième.
e. Pour dépasser 40 000 €, il faut 20 ans avec les trois évolutions.
Pour dépasser 50 000 €, il faut 40 ans avec la première, 35 ans avec la deuxième et enfin 36 avec la
troisième.
f. Pour n dans [0 ; 13], un > wn > vn.
Pour n = 14, wn > un > vn.
Pour n = 15, 16 et 17, wn > vn > un.
Pour n > 17, vn > wn > un.

2 a.
l
A

B

C

D

E

F

G

1
2 n

un

vn

wn

Somme des un

Somme des vn

Somme des wn

3

0

30 000

30 000

30 000

30 000

30 000

30 000

4

1

= B3 + 500

= 1,015*C3

= 1,01*D3 + 170

= SOMME(B$3:B4) = SOMME(C$3:C4) = SOMME(D$3:D4)

b. Pour n dans [0 ; 19] 1re évolution > 3e évolution > 2e évolution.
Pour n = 20, 21 : 3e évolution > 1re évolution > 2e évolution.
Pour n = 22, 23, 24, 25 : 3e évolution > 2e évolution > 1re évolution.
Pour n > 26 : 2e évolution > 3e évolution > 1re évolution.

18 • 1. Suites

Corrigés des exercices et problèmes
Exercices d’application
7 La suite u est une suite géométrique de raison 4.
La suite w est une suite géométrique de raison – 0,5.
8 Les suites u et t sont géométriques. La suite u a
pour raison 2, la suite t a pour raison 0,5.
9

a. Pour tout entier n : un = 5 × 4n.
b. u10 = 5 × 410 = 5 242 880.
1
10 Pour tout entier n : vn = n−1 × 16.
4
1
1
.
v8 = 7 × 16 =
1024
4

11

wn = 19 683 × 3n – 10.
1
w0 =
; w20 = 1 162 261 467.
3

12



La raison de la suite est 5 =

et un =

5n – 8

u9
u8



× 6.

u11 = 750 et u0 =

6
.
390 625

13 a. v4 = q²v2, donc q² = 36.
Les raisons possibles sont – 6 et 6.
1
b. v0 =
et v3 = – 12 ou 12.
18
14

a. Pour tout n, un + 1 = 4 × 2n + 1 = 2 un.
La suite u est géométrique de raison 2.
b. u est une suite géométrique positive de raison
2 > 1, donc elle est croissante.
3n
3
15 a. Pour tout n, vn + 1 = n+3 = un.
5
5
3
La suite v est géométrique de raison .
5
b. u est une suite géométrique positive de raison
comprise entre 0 et 1, donc elle est décroissante.

16

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.

17 a. u0 = 0 et u1 = 3 et on ne peut pas passer de
u0 à u1 par une multiplication, donc la suite u n’est
pas géométrique.
b. Pour tout entier n :
vn + 1 = un + 2 – un + 1 = 4n + 2 – 1 – (4n + 1 – 1)
= 4(4n + 1 – 4n) = 4(4n + 1 – 1 – (4n – 1)) = 4vn,
donc la suite v est géométrique de raison 4.
c. La suite v est positive et de raison supérieure à 1,
donc elle est croissante.
u
u
18 u0 = 2 , u1 = 4, u2 = 10. Comme 1 ≠ 2 la suite
u0 u1
u n’est pas une suite géométrique.

Pour n entier naturel :
vn + 1 = un + 1 – 1 = 3un – 2 – 1 = 3 (un – 1) = 3vn.

19 1. u1 = 6 ; u2 = 8 ; u3 = 10.
2. a. v0 = 16 ; v1 = 64 ; v2 = 256.
b. Pour tout entier n :
vn + 1 = 2un+1 = 2un +2 = 4 × 2un = 4vn.
La suite v est géométrique de raison 4.
20 a. Il faut 4 piquets.
b. Il faut 14 piquets.
21 S1 = 0 + 1.
S2 = 0 + 1 + 2 = 3.
S4 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
22 S1 = 0 + 1 = 1.
S2 = 0 + 1 + 2² = 5.
S4 = 0 + 1 + 2² + 3² + 4² = 30.
23 S est la somme des 11 premiers termes de la
suite géométrique de raison 4 et de premier terme 1
d’où :
1 − 411
S=
= 1 398 101.
1− 4
24 S est la somme des 19 premiers termes de la
suite géométrique de raison 0,75 et de premier
terme 1 d’où :
1 − 0,7519
S=
≈ 3,98.
1 − 0,75
25

S est la somme des 8 premiers termes de la
1
suite géométrique de raison
et de premier
3
terme 1 d’où :
8
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
19 680
=
.
S=
1
13 122
1−
3

26 S est la somme des 10 premiers termes de la suite
géométrique de raison 2 et de premier terme 1 d’où :
1 − 210
S = 10 + 21 + 22 + … + 29 =
= 1 023.
1− 2
27 S est la somme des 7 premiers termes de
la suite géométrique de raison 0,5 et de premier
terme 1 d’où :
1 − 0,57
254
S = 0,50 + 0,51 + … + 0,56 =
=
.
1 − 0,5
128
28 S est la somme des 9 premiers termes de
la suite géométrique de raison – 3 et de premier
terme 1 d’où :
19 684
1 − (−3)9
S=
=
= 4 921.
1 − (−3)
4
1. Suites • 19

29

S est la somme des 11 premiers termes de la suite
1
géométrique de raison et de premier terme 1 d’où :
4
11
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
1 398 101
=
.
S=
1
1 048 576
1−
4

30

c. S’’ = S – S’ =

710 775
1 024

40 S ≈ 5,187 377 817 64.
Sur Ti :

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.

31 S est la somme des 7 premiers termes de la suite
géométrique de raison 5 et de premier terme 2 d’où :
1 − 57
78 124
S=2
=2
= 39 062.
1− 5
4

Sur Casio :

32

S est la somme des 6 premiers termes de la
5
et de premier
6
terme 5 d’où :
5
5
⎛ 5⎞
+…+ ⎜ ⎟
S=5 1+
⎝ 6⎠
6

suite géométrique de raison





6

⎛ 5⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 6⎠
31 031 155 155
= 5×
=
=5
5
7 776
7 776
1−
6

41 S ≈ 27,467.
Sur Ti :

33

S = 1 + 6 + 6² + … + 68 – 9.
1 + 6 + 6² + … + 68 est la somme des 9 premiers
termes d’une suite géométrique de raison 6 et de
premier terme 1 d’où :
1 − 69
S=
– 9 = 2 015 530.
1− 6

34

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.

35 S = 10 – 2 + 100 – 2 + 1 000 – 2 + … + 1 000 000 – 2
= 10 + 100 + … + 1 000 000 – 6 × 2.
10 + 100 + … + 1 000 000 est la somme des 6 premiers
termes d’une suite géométrique de raison 10 et de
premier terme 10 d’où :
1 − 106
S = 10 ×
– 12 = 1 111 098.
1 − 10
6
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
n+1
⎝ 5⎠
1− q
11 718
36 S = u0
=3
=
.
1
1− q
3 125
1−
5
37
38
39

Sur Casio :

n

S = v1 1 − q = 124( 2 + 1).
1− q
S = 2(n + 1).
a. S = w0

1 − q n+1
1− q

3 6+1
1−
875 495
2
=5
=
3
1 024
1−
2

3 10+1
1−
1 − q n+1
10 295
2
b. S’ = w0
=5
=
3
64
1− q
1−
2

20 • 1. Suites

42 a. N1 = 333.
b. N2 = 3 333.
⎛ A⎞
c. NA = E ⎜ ⎟ .
⎝ 3⎠
d. La suite u a pour limite +3.

43 a. N1 = 10.
b. N2 = 10 000.
⎛ 1⎞
c. N = E ⎜ ⎟ .
⎝ A⎠
d. La suite u tend vers 0.

44 La suite u semble tendre vers 6.
La suite v ne semble pas avoir de limite.
45 La suite u n’a pas de limite.
La suite v semble tendre vers – 4.
46

Les suites u et v semblent tendre vers +3.

47 La suite u n’est pas convergente.
La suite v tend vers l’infini.

48 a. 3 > 1, donc u tend vers +3.
b. 0,5 ∈ ]0 ; 1[, donc 0,5n tend vers 0.
n
5
⎛ 5⎞
c.
> 1, donc ⎜ ⎟ tend vers +3.


4
4

54

a. Pour tout n entier :
n
n
⎛ 3⎞
⎛ 2 × 3⎞
2n – 4 × ⎜ ⎟ = 2n – 4 ⎜

⎝ 2⎠
⎝ 4 ⎠

n

d. tn =

1
1 ⎛ 1⎞
∈ ]0 ; 1[, donc 0,5n tend vers 0.
=⎜ ⎟ ;
3
3n ⎝ 3 ⎠

49

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.

50

a. 2 > 1 donc lim 2n = +3 et lim un = +3.
n→+3

n→+3

n

⎛ 3⎞
= 2n – 4 × 2n × ⎜ ⎟
⎝ 4⎠



⎛ 3⎞
= 2n 1 – 4 ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
b.

n

n



3
⎛ 3⎞
< 1, donc lim ⎜ ⎟
n→+3 ⎝ 4 ⎠
4

n

= 0,

n

n

⎛ 1⎞
b. 0 < 0,5 < 1 donc lim ⎜ ⎟ = 0
n→+3 ⎝ 2 ⎠

⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
d’où lim 4⎜ ⎟ = 0 et lim 1 – ⎜ ⎟ = 1.
⎝ 4⎠
n→+3 ⎝ 4 ⎠
n→+3

et lim vn = 0 – 2 = – 2.

⎛ 3⎞
donc lim 2n = +3 lim 2n (1 – 4 ⎜ ⎟ ) = +3.
⎝ 4⎠
n→+3
n→+3

n

n→+3

c. wn = 2n –

n

1
, 2 > 1 donc lim 2n = +3
n→+3
3

⎛ 3⎞
Au final lim 2n – 4 × ⎜ ⎟ = +3.
⎝ 2⎠
n→+3
n+1

et lim wn = +3.
n→3

d. 2 > 1 donc lim

n→+3

2n

= +3 , lim 1 –
n→+3

2n

= –3

et lim ( – 3)(1 – 2n) = +3
n→+3

51

n

⎛ 3⎞
a. Pour n entier, un = 14 ⎜ ⎟ , 0 < 34 < 1
⎝ 4⎠
n

⎛ 3⎞
donc lim ⎜ ⎟ = 0 et lim un = 0.
n→+3 ⎝ 4 ⎠
n→+3
3 > 1 donc lim 2n = 3 et lim tn = +3.

b.

n→+3

n→+3

1
c. Pour n entier, wn = 2n – , 2 > 1,
3
donc lim 2n = +3 et lim wn = +3.
n→+3

n→+3

d. Pour n entier, tn = 3 2n – 3, 2 > 1,
donc lim 2n = +3 et lim tn = +3.
n→+3

n→+3

52 a. La suite u tend vers +3, car c’est une suite
géométrique positive de raison supérieure à 1.
b. La suite v tend vers +3, car c’est une suite
géométrique positive de raison supérieure à 1.
c. La suite w tend vers 0, car c’est une suite géométrique positive de raison comprise entre 0 et 1.
d. La suite t tend vers 0, car c’est une suite géométrique positive de raison comprise entre 0 et 1.
53

a. Pour tout entier n :
n
⎛ 2n

⎛ 2⎞
n
2 – 3n = 3n ⎜ 3n − 1⎟ = 3n ⎜ ⎟ – 1


⎝ 3⎠



n

n+1

⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
1− ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
55 un =
et lim
1
1
n→3
1−
1−
3
3
1 − 6n+1
1 − 6n+1
et lim
= +3.
vn =
n→+3
1− 6
1− 6

=

3
.
2

56 a. u0 = 0,75 ; u1 = 0,007 5 ; u2 = 0,000 075 ;
u3 = 0,000 000 75 ; u4 = 0,000 000 007 5 ;
u5 = 0,000 000 000 075.
b. S0 = 0,75 ; S1 = 0,757 5 ; S2 = 0,757 575 ;
S3 = 0,757 575 75 ; S4 = 0,000 000 007 5 ;
S5 = 0,757 575 757 575.
c. lim Sn = 0,757 575 757 575……….
0,75(1 – 0,01n )
75
7 500 2 500
Sn =
=
=
=
.
(1 – 0,01)
0,99
99
33
57 a. La limite de la suite u est égale à 0, car
c’est une suite géométrique de raison 0 < 0,4 < 1,
donc il existe un entier N tel que pour tout n > N,
un < 0,1.
b. Sur Ti :

Sur Casio :


n

⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
b. On a lim ⎜ ⎟ = 0 d’où lim ⎜ ⎟ – 1 = – 1
n→+3 ⎝ 3 ⎠
n→+3 ⎝ 3 ⎠
n



⎛ 2⎞
puis lim 3n ⎜ ⎟ – 1
⎝ 3⎠
n→+3
Au final lim

n→+3

2n



3n

∙ = –3.

= –3 .

58 a. La suite v est une suite géométrique positive de raison 1,5 > 1, donc sa limite sera égale à +3.
1. Suites • 21

Il existera donc un entier N tel que pour tout n > N,
un > 200.
b. Sur Ti :

Sur Casio :

S = 8 166.

64 La suite v est arithmético-géométrique, donc il
existe deux réels a et b tels que pour tout n entier :
vn + 1 = avn + b.
En appliquant cette relation de récurrence pour
n = 0 puis n = 1, on obtient le système :
⎧2 = a + b

⎩5 = 2a + b

Sur Casio :

59 a. Le programme permet de connaître le
premier entier n tel que :
0,80 + 0,81 + 0,82 + … + 0,8n ⩾ 5.
1 − 0,8n+1
b. Soit Sn = 0,80 + 0,81 + 0,82 + … + 0,8n =
.
1 − 0,8

On trouve a = 3 et b = – 1 d’où pour tout n entier :
vn + 1 = 3vn – 1.

65

S est une suite strictement croissante de limite 5.
Normalement Sn est toujours inférieure à 5 ; la
calculatrice arrondit les résultats.

60 u1 = 4u0 + 2 = 6.
u2 = 4u1 + 2 = 26.
u3 = 4u2 + 2 = 106.
61

a.

y
9
A0
8
7
6
5
4
3
2
1
d2
0

A et D.

B0

A2

A4
B4

B2
A3

A1

B1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

62 a. La relation vérifiée est la C.
b. u3 = – 1.

b. u0 = 8 ; u1 = 4 ; u2 = 6 ; u3 = 5 ; u4 = 5,5.
c. un + 1 = – 0,5un + 8.

63

d. La limite de la suite u va se rapprocher de

a. Sur Ti :

Sur Casio :

d1
x

16
.
3

66 a. u1 = 3 ; u2 = 4,5 ; u3 = 5,25.
b. un + 1 = 0,5un + 3 donc u est une suite arithméticogéométrique.
c. La limite de la suite u semble être 6.
u10 = 4 094.
b. Sur Ti :

67 a. u1 = 5 u2 = 17.
b. Pour tout n entier :
vn + 1 = un + 1 – 1 = 4 (un – 1) = 4 vn.
v est une suite géométrique de raison 4.
c. Pour n entier : vn = 4n et un = 4n + 1.
68

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.

69 a. u1 = 7 ; u2 = 13.
b. v0 = 3 ; v1 = 6 ; v2 = 12.
c. Pour tout entier n :
vn + 1 = un + 1 – 1 = 2un – 2 = 2(un – 1) = 2 vn.
La suite v est géométrique de raison 2.
d. Pour tout entier n : vn = 3 × 2n et un = 3 × 2n + 1.
22 • 1. Suites

e. La suite v est croissante, car c’est une suite
géométrique positive de raison 2 > 1.
Le suite u est aussi croissante,
car un + 1 – un = vn + 1 – vn > 0 pour tout entier n.

2. a. u20 > 10 000 et la suite est croissante
donc N doit être inférieur à 20.
b. 7 000 × 1,03N > 10 000.
c.
Sur Ti :

f. Comme 2 > 1, lim 2n = +3 et lim 2n + 1 = +3.
n→+3

n→+3

lim un = +3.

n→+3

70 a. Pour tout entier n on a :
vn + 1 = un + 1 – 5 = (0,2un + 4) – 5 = 0,2un – 1
= 0,2(un – 5) = 0,2vn.
La suite v est donc une suite géométrique de raison 0,2.
b. v est une suite géométrique de raison 2, donc
pour tout entier n on a :
vn = 0,2nv0 = 2n(u0 – 5) = – 3 × 0,2n.
c. Pour tout entier n, on a :
vn = un – 5 ⇔ un = vn + 5.
D’où un = – 3 × 0,2n + 5.
d. Pour tout entier n, on a :
un + 1 – un = ( – 3 × 0,2n + 1 + 5 )– ( – 3 × 0,2n + 5 )
= 3 × 0,8 × 0,2n > 0.
La suite u est donc une suite strictement croissante.
e. Comme 0,2 ∈ ]0 ; 1[, lim 0,2n = 0
n→+3

donc lim – 3 × 0,2n = 0 et lim – 3 × 0,2n + 5 = 5.
n→+3

n→+3

On a donc lim un = 5.
n→+3

Sur Casio :

Il faut 13 ans pour que le capital passe à 10 000 €.

73 1. a. un + 1 = 0,95un.
b. u est une suite géométrique de raison 0,95.
c. u est une suite géométrique de raison comprise
entre 0 et 1, donc la suite est décroissante.
d. Pour tout entier n : un = 2 000 × 0,95n,
donc u24 = 2 000 × 0,9524 = 583.
2.
Sur Ti :

f. u0 + u1 + u2 + … + u10 = – 3 × 0,20 + 5 + (– 3) × 0,21
+ 5 + (– 3) × 0,22 + 5 + … + (– 3) × 0,210 + 5.
= – 3 × (0,20 + 0,21 + 0,22 + … + 0,210) + 11 × 5.
1 − 0,211
500 488 282
=–3×
+ 55 =
.
1 − 0,2
9 765 625

Exercices d’approfondissement
71

Sur Casio :

1. a. u1 = 9 ; u2 = 3 89 .

u
u
89
, donc la suite u n’est pas
b. 1 = 9 ≠ 2 =
u0
u1
3
géométrique.
2. a. v0 = 10 ; v1 = 90 ; v2 = 810.
b. Pour tout entier n :
2

vn + 1 = un + 1² + 9 = 9 un2 + 8 + 9 = 9(un² + 9) = 9vn.
La suite v est géométrique de raison 9.
3. a. Pour tout entier n : vn = 10 × 9n.
b. Pour tout entier n : un =

10 × 9n − 9

72 1. a. À une augmentation de 3 % correspond
un coefficient multiplicateur de 1,03,
d’où un + 1 = 1,03un.
b. u est une suite géométrique de raison 1,03.
c. u est une suite géométrique positive de raison
supérieure à 1, donc la suite est croissante.
d. Pour tout entier n : un = 7 000 × 1,03n,
donc u20 = 7 000 × 1,0320 = 12 642.

En suivant son système, au 14e mois, le prix de la
voiture passe sous les 1 000 €.

74

a. et b.
n

an

bn

0

230

0,014 740 75

1

237

0,014 968 74

2

243

0,015 121 34

3

245

0,015 018 7

4

248

0,014 977 65

c. La variation relative semble constante, donc la
population se rapproche d’une suite géométrique.

1. Suites • 23

2. a. Pour tout n entier : un = 1,015n × 16 806.
b. La population de la ville en 2020 sera égale à
u14 = 19 216.

75 a. Pour tout i entier : di + 1 = Ai + 1Ai + 2 = OAi + 1.
OAiAi + 1 est un triangle rectangle en Ai, donc, d’après
le théorème de Pythagore :
OAi + 1² = OAi² + AiAi + 1 = 2di²,
d’où di + 1 = 2 di.
b. La suite est géométrique de raison 2 .
9
c. d9 = 2 = 16 2 .
i

1− 2
1− 2
2 ).

b.
c.
d.
e.

Pour tout entier n : un = 3(n – 1) + 2.
u7 = 20.
v n = u 1 + … + u n.
Sur Ti :

Sur Casio :

d. Pour i > 0 Li = d0 + d1 + di – 1 =
et pour i = 20 : L20 = 1 023(1 +

76 1. a. L0 = 450. L1 = 1,02 × 450 = 459.
b. Pour tout n entier : Ln + 1 = 1,02Ln. La suite L est
une suite géométrique de raison 1,02.
2. On cherche à calculer :
1 − 1,0212
12 (L0 + L1 + … + L11) = 12 × 450
= 72 425,28 €.
1 − 1,02
77 a. u1 = 0,96 × u0 = 144 ; u2 = 138,24.
b. Pour tout entier n : un + 1 = 0,96un.
c. La suite u est une suite géométrique de raison
0,96, donc :
1 − 0,9612
S = u0 + u1 + … + u11 = 150
= 1 450,33.
1 − 0,96

f. Sur Ti :

Sur Casio :

1 450 personnes se sont abonnées la première année.

78

1. a. Pour tout n entier :
n+1
n
2 ⎛ 2⎞
2
⎛ 2⎞
un + 1 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = un . La suite u est géomé⎝ 3⎠
3 ⎝ 3⎠
3
trique de raison

2
.
3

2
< 1, donc la suite u a pour limite 0 lorsque
3
4
n tend vers +3.
⎛ 2⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
65
=
.
2. a. v3 = u0 + u1 + u2 + u3 =
2
27
1−
3
b. vn est la somme des n + 1 premiers termes d’une
2
suite géométrique de raison
et de premier terme
3
u0 = 1, donc pour tout entier n :
b. 0 <

n+1

⎛ 2⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
.
vn =
2
1−
3
n+1
1− 0
⎛ 2⎞
= 3.
c. lim ⎜ ⎟ = 0, donc lim vn =
2
n→+3 ⎝ 3 ⎠
n→+3
1−
3

79 a. Pour tout entier n : un + 1 = un + 3. La suite u
est arithmétique de raison 3.

24 • 1. Suites

80

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.

81 1. a. un + 1 = 0,81 un. La suite u est une suite
géométrique de raison 0,81.
b. vn + 1 = 0,9vn. La suite v est une suite géométrique
de raison 0,9.
c. La suite v est une suite géométrique de raison 0,9
et de premier terme v1 = 1, donc, pour tout n entier
supérieur à 1, vn = 0,9n – 1.
2. a. w est la somme de la suite géométrique v de
raison 0,9 donc pour tout entier n :
1 − 0.9n
wn =
.
1 − 0.9
1
= 10.
b. lim 0,9n = 0, donc lim wn =
n→+3
n→+3
1 − 0,9
La balle s’arrête de rebondir au bout de 10 s.
c. Pour calculer la distance parcourue par la balle
après le premier rebond, on calcule le double de la
limite de la somme des un quand n tend vers l’infini
soit :
200
1 − 0,81n
2
lim 1,25 ×
=
=
m.
n→+3
1 − 0,81
0,19
19

On peut choisir de rajouter à cette distance la
1,28 128
hauteur d’où on lâche la balle soit :
.
=
0,81 81

82 a. un + 1 = (1 – 0,000 121)un = 0,999 879 un. La
suite u est une suite géométrique de raison 0,999 879
inférieure à 1.
b. La suite u est une suite géométrique positive de
raison q < 1, donc la limite de la suite quand n tend
vers +3 est 0.
c. Sur Ti :

Sur Casio :

3n+1 − 1
= 3n + 1 – 1.
2
b. Sn = (u1 – u0) + (u2 – u1) + … + (un + 1 – un)
= un + 1 – u0 = un + 1 – 2.
c. un + 1 = 3n + 1 + 1, donc pour n > 0, un = 3n + 1,
et comme ceci est également vrai pour n = 0,
un = 3n + 1.
Sn = v0

85 1. a. Hugo doit 1,01 × 1 000 = 1 010 euros.
b. Hugo doit rembourser 1 010 – 30 = 980 euros
après son premier remboursement.
c. Mn + 1 = 1,01Mn – 30.
2. a. u est une suite arithmético-géométrique.
b. Pour tout entier n :
vn + 1 = un + 1 – 3 000 = 1,01un – 30 – 3 000
= 1,01(un – 3 000) = 1,01vn.
La suite v est donc géométrique de raison 1,01.
c. La suite v étant géométrique de raison 1,01, on a
pour tout n entier :
vn = v0qn = – 2 000 × 1,01n.
vn = un – 3 000,
donc un = vn + 3 000 = – 2 000 × 1,01n + 3 000.
d. Sur Ti :

Sur Casio :

83 b. La suite u semble convergente de limite 4.
c. vn + 1 = un + 1 – 4 = 0,5un + 2 – 4 = 0,5 (un – 4) = 0,5vn.
La suite v est une suite géométrique de raison 0,5 et
de premier terme v0 = – 2.
d. Pour tout entier n :
vn = – 2 × 0,5n et un = – 2 × 0,5n + 4.
e. 0,5 ∈ ]0 ; 1[, donc lim 0,5n = 0
n→+3

d’où lim – 2 × 0,5n = 0 et lim – 2 × 0,5n + 4 = 4.
n→+3

n→+3

La suite u est convergente et tend vers 4.

84 1. a. u1 = 4 ; u2 = 10 ; u3 = 28 ; u4 = 82 ; v0 = 2 ;
v1 = 6 ; v2 = 18 ; v3 = 54.
b. Il semble que la suite u soit géométrique de
raison 3.
c. Pour n entier :
vn = un + 1 – un = 3 un – 2 – un = 2un – 2.
d. Pour tout entier n :
vn + 1 = 2(un + 1 – 1) = 2(3un – 2 – 1)
= 6un – 6 = 3(2un – 2) = 3vn.
La suite v est donc géométrique de raison 3.
2. a. Sn est la somme des n + 1 premiers termes
d’une suite géométrique, donc :

e. Il faut 41 mois à Hugo pour rembourser l’emprunt. Il a remboursé :
40 × 30 = 1 200 € les 40 premiers mois de son emprunt
et 1,01u40 = 1,01(3 000 – 2 000 × 1,0140) ≈ 22,49 euros le
dernier mois. En tout, il a versé :
1 200 + 1,01(3 000 – 2 000 × 1,0140) ≈ 122,49 euros.
Le total des intérêts versés est alors de :
1 200 + 1,01(3 000 – 2 000 × 1,0140) – 1 000
= 200 + 1,01(3 000 – 2 000 × 1,0140),
soit environ 222,49 euros.

86 1. a. Pour tout entier n, un + 1 = 0,9un + 10 000.
b. u0 = 200 000 u1 = 190 000 u2 = 181 000.
u1 – u0 ≠ u2 – u1 donc la suite u n’est pas arithmétique.
u1
≠ u2 – u1 donc la suite u n’est pas géométrique.
u0
2. a. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
vn + 1 = un + 1 – 100 000 = 0,9un + 10 000 – 100 000
= 0,9un – 90 000 = 0,9(un – 100 000) = 0,9vn.

1. Suites • 25

Donc la suite v est une suite géométrique de raison
0,9.
b. La suite v est géométrique de raison 0,9, donc
pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :
vn = v1 * 0,9n – 1 = 100 000 × 0,9n – 1.
et
un = vn + 100 000 = 100 000(0,9n – 1 + 1)
c. Pour n entier supérieur à 1,
un + 1 – un = 100 000 × 0,9n (0,9 – 1) = – 0,9n × 10 000 < 0.
La suite u est donc décroissante.
d. Comme 0,9 ∈ ]0 ; 1[, 0,9n tend vers 0 quand n
tend vers l’infini. La suite u va donc tendre vers
100 000(0 + 1) = 100 000.
Le nombre de spectateurs va se rapprocher de
100 000 mais ne descendra pas en deçà.
e. S20 = u1 + u2 + … + u20
= 200 000 + 100 000(0,9 + 1) + … 100 000(0,919 + 1)
= 100 000(0,90 + 0,91 + 0,92 + … + 0,919 + 20)
1 − 0,920
= 100 000(
+ 20)
1 − 0,9
≈ 2 878 423.
Le total cumulé des spectateurs est de 2 878 423.

87
1. a. Pour tout entier n : un + 1 = un + 400. La suite u
est donc arithmétique de raison 400.
b. Pour tout entier n : un = 800 + 400n.
c. un > 5 000 ⇔ 800 + 400n > 5 000 ⇔ n > 10,5.
À partir du 11e jour après le début de son entraînement, Luna va dépasser 5 km de course.
2. a. D’après le logiciel,
u0 + u1 + … + uN = 200N² + 1 000N + 800.
b. u0 = 800 = 200 × 0² + 1 000 × 0 + 800.
u0 + u1 = 800 + 1 200 = 2 000
= 200 × 1² + 1 000 × 1 + 800.
u0 + u1 + u2 + u3 = 5 600 = 200 × 3² + 1 000 × 3 + 800.
La formule est exacte pour N = 0, 1 ou 3.
3. a. Pour le logiciel, Sn – Sn – 1 = 400n + 800 = un,
pour tout n entier supérieur à 0.
b. Pour n entier :
Sn – Sn – 1 = 200n² + 1 000n + 800 – (200(n – 1)² +
1 000(n – 1) + 800) = 400n + 800.
c. Pour tout entier n :
u0 + u1 + u2 + … ; uN = u0 + S1 – S0 + S2 – S1 + … ;
S N – S N – 1 = u 0 – S 0 + S N = S N.
d. Sn > 20 000 ⇔ 200n² + 1 000n + 800 > 20 000
⇔ 200n² + 1 000n – 19 200 > 0.
n est compris dans
⎡ −1 000 − 16 360 000 −1 000 + 16 360 000 ⎤
;
ℕ\ ⎢
⎥.
400
400


Au final, comme n est un entier naturel, n doit être
supérieur ou égal à 8.

26 • 1. Suites

Objectif bAC
Se tester sur les suites
Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le
manuel, p. 390.

Sujets type BAC

97

Exercice résolu.

98

A 1. 2. et 3.

A

A0

A1 A2 B

b.
B. 1. d1 =

1
1
; d2 =
.
2
4

2. a. La suite d est géométrique de raison

1
et de
2

premier terme d0 = 1.
1
et de
2
premier terme d0 = 1, donc pour tout entier n :
n
⎛ 1⎞
dn = ⎜ ⎟ .
⎝ 2⎠
b. La suite d est géométrique de raison

3. a. Sn = d0 + d1 + d2 + … + dn = 1 +
n+1

n+1

⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
=
1
1−
2

⎛ 1⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
=
=2 1–
1
2
1
∈ ]0 ; 1[, alors lim
b. Comme
n→+3
2





⎛ 1⎞
et lim 2 1 – ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
n→+3

n

1

1n
+
+…
2
2
2

⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠
2

n+1

⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠
2

∙.

n

=0

∙ = 2(1 – 0) = 2.

c. La distance AAn se rapproche de 2.

99
Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 390.

100

Partie A
7
37
1. A2 =
; A3 =
.
4
16
(Pour justifier, on peut demander aux élèves de
construire une figure).
2. a. Avec P = 3, le programme va afficher :
7 43
;
.
1;
4 16
b. La proposition 1 est juste, car U2 = A2.
La proposition 2 est fausse, car U3 ≠ A3.
Partie B
1. a. B1 = A1 – 4 = – 3.

Problèmes

b. Pour tout entier n strictement positif :
3
3
Bn + 1 = An + 1 – 4 =
An + 1 – 4 =
An – 3
4
4
=

102 Étude d’un bénéfice
Partie A
1.

3
3
(An – 4) =
B n.
4
4

c. La suite B est une suite géométrique de raison

3
.
4

d. Comme la suite B est géométrique de raison

3
4

on a pour tout entier n strictement positif :
n−1
⎛ 3⎞
Bn = B1 qn – 1 = – 3 ⎜ ⎟ .
⎝ 4⎠
2. Pour tout entier n strictement positif : Bn = An – 4
n−1
⎛ 3⎞
d’où An = Bn + 4 = 4 – 3 ⎜ ⎟ .
⎝ 4⎠
3
3
< 1, lim
= 0 et lim An = 4.
n→+3 4
n→3
4
À terme, le carré donnera l’impression d’être entièrement bleu.
Comme 0 <

101 Partie A
1. u1 = 1,035u0 = 4 140 ; u2 = 1,035u1 = 4 284,9.
2. Le capital augmente de 3,5 % chaque année.
3,5
Il est alors multiplié par 1 +
.
100
Pour tout entier n, un + 1 = 1,035 un. La suite u est
donc une suite géométrique de raison 1,035.
3. La suite u est géométrique de raison 1,035, donc
pour tout entier n, on a :
un 1,035nu0 = 1,03n × 3 000.
4. Au bout de 6 ans, le capital d’Agnès sera égal à
u6 = 1,0356 × 3 000 ≈ 3 687,77 euros.
Partie B
1. v1 = 1,002 5v0 + 50 = 1 052,5 ;
v2 = 1,002 5v1 + 50 = 1 105,13 ;
v3 = 1,002 5v2 + 50 ≈ 1 157,89.
2. Pour tout entier n : vn + 1 = 1,002 5vn + 50.
3. a. Pour tout entier n : wn + 1 = vn + 1 + 20 000
= 1,002 5vn + 20 050 = 1,002 5(vn + 20 000)
= 1,002 5wn.
w est une suite géométrique de raison 1,002 5, donc
pour tout entier n :
wn = 1,002 5n × w0 = 1,002 5n × 21 000.
et comme wn + 1 = vn + 1 + 20 000, ceci entraîne que :
vn = wn – 20 000 d’où :
vn = wn – 20 000 = 1,002 5n × 21 000 – 20 000.
b. v72 ≈ 51 365,92.

Janvier
2012
Rang du mois
Recettes
Coûts
Bénéfices

0
2 300
800
1 500

Février
2012
1
2 323
820
1 503

Mars
2012
2
2 346,23
840,5
1 505,73

2. a. R est une suite géométrique de raison 1,01 et
de premier terme 2 300,
donc pour tout entier n, Rn = 2 300 × 1,01n.
C est une suite géométrique de raison 1,025 et de
premier terme 800,
donc pour tout entier n, Cn = 800 × 1,025n.
b. Pour tout entier n :
Bn = Rn – Cn = 2 300 × (1,0 × 1)n – 800 × (1,025)n.
3. a. Pour tout entier n :
Bn + 1 – Bn = 2 300 × (1,01)n + 1 – 800 × (1,025)n + 1
– 2 300 × (1,01)n – 800 × (1,025)n
n
= 2 300 × (1,01) (1,01 – 1) – 800 × (1,025)n(1,025 – 1)
= 2 300 × (1,01)n(0,01) – 800 × (1,025)n(0,025)
= 23 × 1,01n – 20 × 1,025n.
b. 23 × 1,01n – 20 × 1,025n > 0.
23 × 1,01n > 20 × 1,025n
n
20
⎛ 1,01 ⎞
⎜⎝ 1,025 ⎟⎠ > 23 .
⎛ 1,01 ⎞
est compris entre 0 et 1,
c. ⎜
⎝ 1,025 ⎟⎠
⎛ 1,01 ⎞
donc lim ⎜
⎟ = 0.
n→+3 ⎝ 1,025 ⎠
Au bout d’un certain rang, le bénéfice sera décroissant car pour tout n supérieur à un certain rang :
n
20
⎛ 1,01 ⎞
⎜⎝ 1,025 ⎟⎠ < 23 .
4. Sur Ti :

Sur Casio :

1. Suites • 27

Partie B
1. Pour tout n entier :
Bn = 2 300 × (1,01)n – 800 × (1,025)n
⎛ 1,01 ⎞ n
= 1,025)n(2 300 × ⎜
– 800 .
⎝ 1,025 ⎟⎠





2. a. 1,025 > 1, donc lim 1,025n = +3.
⎛ 1,01 ⎞
lim ⎜
⎟ = 0,
n→+3 ⎝ 1,025 ⎠
donc lim

n→+3



n→+3

⎛ 1,01 ⎞
2 300 × ⎜
⎝ 1,025 ⎟⎠

n



– 800 = – 800.

et lim Bn = – 3.
n→+3

L’artisan aura des déficits à long terme.
3. Sur Ti :

Sur Casio :

Partie C
1. SRn est une somme des n + 1 termes de la suite
géométrique R d’où :
1 − 1,01n
SRn = 2 300 ×
= 230 000(1,01n + 1 – 1).
1 − 1,01
2. SCn est une somme des n + 1 termes de la suite
géométrique C d’où :
1 − 1,025n
SCn = 800 ×
= 32 000(1,025n + 1 – 1).
1 − 1,025
3. SBn = SRn – SCn
= 230 000(1,01n + 1 – 1) – 32 000(1,025n + 1 – 1).
4. Pour n = 11, SB11 = 18 133. La première année,
l’artisan fait un bénéfice de 18 133,3 euros.

103

Somme des termes d’une suite arithmétique
1. a. Pour tout n,
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)

= n + 1.
vn = un + 1 – un =
2
2
v est une suite arithmétique de raison 1.
b. Pour tout n entier : vn = n + 1.
2. a. Pour n > 1,
Sn = v0 + v1 + … + vn – 1
= u1 – u0 + u2 – u1 + … + un – un – 1 = un – u0
n(n + 1)
=
.
2

28 • 1. Suites

b. Or on a aussi :
Sn = v0 + v1 + … + vn – 1 = 1 + 2 + 3 + … + n
n(n + 1)
d’où 1 + 2 + 3 + … + n =
.
2
3. a. Pour n > 1, Sn = 0 + 1 + 2 + … + 100
100 (101)
=
= 5 050.
2
b. 0 + 2 + 4 + 6 + … + 98 + 100
51
= 2 550.
2
c. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 = 5 050 – 2 550 = 2 500.
= 2 (0 + 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50) = 2 × 50 ×

104 Construire une suite
Partie A
y
a.
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

A4

A2

A1
x

A0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 131415

b. u0 = 1 ; u1 = 3 ; u2 = 7 ; u3 = 15.
c. Pour tout n entier : un + 1 = 2un + 1.
d. Il semble que u est croissante et a pour limite +3.
Partie B
a. Pour tout entier n :
wn + 1 = vn + 1 + 1 = 2vn + 1 + 1 = 2(vn + 1) = 2wn.
La suite w est géométrique de raison 2 et pour tout
n : w n = w 0 2 n = 2 n + 1.
b. Pour tout entier n : vn = wn – 1 = 2n + 1 – 1.
c. Comme 2 > 1, lim 2n + 1 = +3
n→+3

et lim vn = lim 2n + 1 – 1 = +3.
n→+3

Partie C
Sur Ti :

n→+3

Sur Casio :

3. a. v n correspond à l’évolution absolue de la
population de la ville entre l’année n – 1 et l’année n.
b. Pour n > 0, vn = un – un – 1 = 0,95un – 1 + 800 – un – 1
= – 0,05un – 1 + 800.
c. Pour n > 0, vn + 1 = – 0,05un + 800
= – 0,05(0,95*un – 1 + 800) + 800

105

Population
1. a. Il n’y a pas le même nombre d’habitants
supplémentaires d’une année sur l’autre, donc il
n’est pas adapté de prendre une suite arithmétique
pour modéliser la population de la ville.
b. Il n’y a pas la même proportion d’habitants
supplémentaires d’une année sur l’autre, donc il
n’est pas adapté de prendre une suite géométrique
pour modéliser la population de la ville.
2. a. On doit résoudre le système
⎧⎪ 12200 = a × 12000 + b
.

12390 = a × 12200 + b
⎩⎪

On trouve a = 0,95 et b = 800.
b. u3 = 12 570,5.
u4 = 12 741,975.
u5 = 12 904,876 25.
u6 = 13 059,632 437 5.
L’erreur absolue entre le nombre d’habitants trouvé
avec le modèle et la population réelle ne dépasse
pas 1 ; la modélisation est valable.

= 0,95( – 0,05un – 1 + 800)
= 0,95vn.
v est une suite géométrique de raison 0,95.
d. Pour n > 0,
Sn = v1

1 − 0,95n 200
=
(1 − 0,95n ) = 4 000(1 − 0,95n ).
1 − 0,95 0,05

e. Pour n > 0, Sn = v1 + v2 + … + vn
= u1 – u0 + u2 –u1 + … + un – un – 1 = un – u0.
f. Pour n > 0, un – u0 = 4 000(1 – 0,95n)
d’où un = 16 000 – 4 000 × 0,95n.
La relation est également exacte si n = 0 ; elle est
donc vraie pour tout entier n.
g. Pour tout entier n,
un + 1 – un = vn + 1 = 200 × 0,95n – 1 > 0,
donc la suite u est croissante.
h. lim 0,95n = 0 ,
n→+∞

donc lim 16 000 − 4 000 × 0,95n = 16 000 .
n→+∞

La population de la ville va se rapprocher de 16 000
habitants.

1. Suites • 29

2. Fonctions
▶▶QCM Pour bien commencer
Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le manuel, p. 391.

Corrigés des activités
1 La continuité
1 a. f (31) = 3 × 31 = 93, f (35) = 3 × 35 = 105.
l
30 < 31 < 40, donc il faut acheter 4 bouteilles de 10 litres ; g(31) = 4 × 25 = 100 et g(35) = 4 × 25 = 100.
b. La courbe en rouge représente la fonction f qui est une fonction linéaire (le prix est proportionnel
aux litres). La courbe en bleu est la représentation graphique de la fonction g.
c. f (x) = 90 a pour solution 30 tandis que g(x) = 90 n’a pas de solution.
Soit le prix est 75 euros soit le prix est 100 euros, ce que montre la courbe.
Pour les 90 euros, le fournisseur A peut fournir 30 litres et le fournisseur B peut aussi fournir 30 litres
(3 bouteilles de 10 litres au prix de 75 euros).
d. f (x) = 100 a pour solution ≈ 33,3 tandis que g(x) = 100 a pour solution tous les nombres entre 40
et 50 (50 n’est pas solution), ce que montre la courbe.
Pour les 100 euros, le fournisseur A peut fournir 33,3 litres et le fournisseur B peut aussi fournir
40 litres (4 bouteilles de 10 litres).
e. g n’est pas continue pour toutes les valeurs multiples de 10.

2 Application : Dans la figure a., l’équation f (x) = 4 a deux solutions.
l
Dans la figure b., l’équation f (x) = 4 n’a pas de solution.
Dans la figure c., l’équation f (x) = 4 admet une solution.

2 La convexité
1 a. A(1 ; 1) et M(3 ; 9).
l
b. Un équation réduite de la droite (AM) est donnée par y = 4x – 3.
c. Les points du segment [AM] sont les points de coordonnées (x ; y) tels que y = 4x – 3 (appartenance
à la droite (AM)) et 1 ⩽ x ⩽ 3 (entre les points A et M).
d. f (x) – (4x – 3) = x2 – 4x + 3. On étudie le signe de x2 – 4x + 3.
∆ = 4 ; il y a donc deux solutions qui sont 1 et 3, d’où le signe de f(x) – (4x – 3) :
x
f (x) – (4x – 3)

–  3 1 3 +3
+ 0 – 0 +

Pour 1 ⩽ x ⩽ 3, f(x) – (4x – 3) ⩽ 0, donc f (x) ⩽ 4x – 3, donc la courbe 𝒞f est sous le segment [AM].

2 a. La courbe 1 est la courbe d’une fonction convexe et les courbes 2 et 3 ne sont pas des courbes de
l
fonctions convexes (la troisième est convexe sur un intervalle réduit).
b. La fonction racine est concave sur [0 ; + 3[. La fonction inverse est convexe sur ]0 ; + 3[ et concave
sur ]–  3 ; 0[. La fonction cube est convexe sur [0 ; + 3[ et concave sur ]– 3 ; 0[.

3 Cas d’une fonction dérivable
1 On observe que la tangente Ta est toujours en dessous de la courbe f .
l
f ’ est croissante.
Vérifions que T2 est en dessous de f .

2. Fonctions • 31

T2 a pour équation y = 4x – 4, donc il faut étudier le signe de f(x) – (4x – 4) = x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 ⩾ 0,
donc la tangente T2 est toujours au-dessus de f .

2 On peut travailler avec GeoGebra en reprenant les tangentes. On observera quand les tangentes
l
sont au-dessus de la courbe, ce qui conduira à déduire que la fonction est concave sur l’intervalle
observé. Puis on observera quand les tangentes sont en dessous de la courbe, ce qui conduira à
déduire que la fonction est convexe sur l’intervalle observé.
On peut aussi tracer la courbe de la dérivée f ’ de la fonction f et observer les variations de la fonction f ’ . Si f ’ est croissante sur un intervalle I, alors la fonction f est convexe sur I. Si f ’ est décroissante sur un intervalle If alors la fonction f est concave sur I.
On en déduit que la fonction est concave sur ]– 3 ; 1] et convexe sur [1 ; + 3[, donc on peut dire que
le point C a pour coordonnées (1 ; 2) et que la tangente T1 traverse la courbe en 𝒞.

Corrigés des travaux pratiques
TP1 Point d’équilibre
1 a.
l

Plusieurs réponses possibles : le sens de variation des fonctions f et g par expressions algébriques
(la fonction f est la somme de fonctions croissantes et la fonction g est décroissante) ; le point de vue
économique (l’offre croît avec le prix tandis que la demande décroît avec l’augmentation du prix) ;
enfin la lecture des ordonnées à l’origine ou en une valeur x fixée.
b. Le point A est le point d’équilibre entre l’offre et la demande. Par lecture graphique, les coordonnées sont (2,5 ; 14,3).
–50
50
2 a. h’(x) = 0,9 + 0,45 × 3x2 –
, donc h’(x) = 0,9 + 1,35x2 +
.
(x + 1)2
(x + 1)2

l

b. Tous les termes sont des carrés ou des nombres positifs, donc h’(x) > 0, donc la fonction h est
strictement croissante sur [0 ; 6].
c. La fonction h est continue et strictement croissante sur [0 ; 6], donc sur [2 ; 3].
h(2) ≈ – 6,3 et h(3) ≈ 7,4, donc l’équation h(x) = 0 admet une unique solution notée .
≈ 2,5.
d. f(2,5) ≈ 14,3.
Donc, en centaine d’euros, le prix unitaire est 250 euros. Pour ce prix, on peut espérer disposer de
14 300 consoles.

TP2 Coût marginal et coût moyen de production
Partie A : Coût marginal
1 Par lecture graphique, pour un accroissement de 10 unités, en abscisses, on observe un accroissel
ment de 2 000 unités en ordonnées, donc le coefficient directeur (qui est aussi le nombre dérivé en 0
2000
et le coût marginal en 0) est C’(0) =
= 200, donc Cm (0) = 200.
10
2 Par lecture graphique, pour un accroissement de 10 unités en abscisses, on observe un accroissement de 4 000 unités en ordonnées, donc le coefficient directeur (qui est aussi le nombre dérivé en
4000
65 et le coût marginal en 65) est C’(65) =
= 400, donc Cm(65) = 400.
10
2
3 Cm(q) = C’(q) = 0,24q – 12,8q + 200, donc Cm(0) = 200 et Cm(65) = 382, ce qui confirme (presque) les
résultats des questions précédentes.

l

l

4 On peut dire que sur [0 ; xI] la fonction semble concave et sur [xI ; 80] la fonction semble convexe.
l
Le coût marginal est donné par la dérivation de la fonction coût. Par lecture de la convexité de
la fonction C, on peut en déduire que la fonction Cm est décroissante sur [0 ; xI] et croissante sur
[xI ; 80].

32 • 2. Fonctions

5 D’après la question précédente, on peut en déduire que le signe de Cm’ est le suivant :
l
q

0


C m’

xI
0

65
+
12,8

6 Cm’(q0) = 0. Cm’(q) = 0,48q – 12,8, donc q0 est la solution de Cm’(q) = 0, soit q0 =
=
l
0,48
7 Le coût marginal est minimal pour q0 =
l

80
.
3

80
et vaut donc Cm (q0) = Cm ⎛⎜ 80 ⎞⎟ = 88 ≈ 29,3.
3
⎝ 3 ⎠
3

Partie B : Coût moyen de production
1 On obtient la courbe donnée dans l’exercice.
l
2 a. Les coûts fixes de production sont C(0) = 2 000 euros.
l
b. On utilise la machine pour obtenir une valeur au centième. La quantité est environ 65,18.
C(q) – 0
440
3 a. On place le point M, le coefficient de (OM) est
= CM(q). Si q = 30, il a pour valeur
.
q –0
3

l

b. En faisant varier le point M, on peut observer la pente de la droite (OM) et repérer la position du
point M pour laquelle la pente est minimale. On obtient q1 ≈ 46.

Partie C : Bénéfice
1 R(10) = 10 × 200 = 2 000 euros pour 10 kg. R(50) = 50 × 200 = 10 000 euros pour 50 kg. R(q) = 200q.
l
2 Voir la figure.
l
3 On trace la courbe de la fonction B. Par lecture graphique, b(x) > 0 pour 20,5 ⩽ q ⩽ 75,6.
l
q2 ≈ 53,3 kg.

4 B(q) = R(q) – C(q) = – 0,08q3 + 6,4q2 – 2 000.
l
B’(q) = – 0,24q2 + 12,8q = q(12,8 – 0,24q) d’où le tableau de variation de la fonction B :

q

160
3

0

B’

+

0
≈4 068

80


B
– 2 000
L’entreprise doit produire
4 068 euros.

– 2 000

160
≈ 53,3 kg de médicament pour obtenir un bénéfice maximal de
3

TP3 Dérivation et calculatrice
1 a.
l

Pour diviser le segment en deux, il suffit de prendre le milieu des nombres – 1 et 4, soit

3⎤

⎡3 ⎤
donc les deux segments de même longueur sont ⎢ –1 ; ⎥ et ⎢ ; 4 ⎥ .
2⎦

⎣2 ⎦

–1 + 4 3
= ,
2
2

Pour diviser le segment en 3, il faut diviser la longueur du segment en 3, puis l’ajouter à – 1 pour
5 2
obtenir le nombre qui forme le premier segment, donc –1 + =
d’où le premier segment de
3 3
5 ⎡
2⎤
2
7
7




longueur , ⎢ –1 ; ⎥ puis ⎢ ; ⎥ et enfin ⎢ ; 4 ⎥ .
3 ⎣
3⎦
⎣3 3⎦
⎣3 ⎦
b. La longueur du segment [– 1 ; 4] est 5.
5
longueur . Ainsi le premier segment est
7

On divise la longueur en 7,
5⎤

⎢⎣ –1 ; – 1 + 7 ⎥⎦ puis le second

donc chaque segment a pour
5
5⎤

⎢⎣ –1 + 7 ; – 1 + 2 × 7 ⎥⎦ et ainsi de

suite, ce qui correspond à l’écriture donnée dans le texte.

2. Fonctions • 33

c. En reprenant la démarche de la question précédente.
La longueur du segment [a ; b] est b – a. On divise la longueur en n, donc chaque segment a pour
b−a⎤
b−a
b−a⎤
b−a


longueur
. Ainsi le premier segment est ⎢ a ; a +
puis le second ⎢ a +
;a +2×
n
n ⎥⎦
n
n ⎥⎦


et ainsi de suite, ce qui correspond à l’écriture donnée dans le texte.
(n − k)a kb ⎛
k⎞
k
b − a na + k(b − a) (n − k)a + kb
d. a + k ×
=
+
= ⎜1 − ⎟ a + b .
=
=
n
n
n
n
n ⎝
n⎠
n

2 a.
l

Si g’ = f , alors, pour tout t entre a et b, abs (f ’ (t) – g(t)) = 0 et donc c = 0.
b. Non, abs (f ’ (t) – g(t)) = 0 peut être vraie pour certaines valeurs de t.
c. Il suffit de connaître les fonctions qui sont le nombre dérivé et la fonction abs.
d. On en déduit que le programme n’est pas toujours fiable et qu’il faut tenir compte des valeurs
approchées.

TP4 Convexité et probabilité
1 0 ⩽ r ⩽ 1, donc 0 ⩽ r × (b – a) ⩽ b – a, donc a ⩽ a + r × (b – a) ⩽ a + b – a, donc a ⩽ r ⩽ b.
l
2 a.
l

Si la fonction f est convexe, alors pour tous t et s de [0 ; 1],

f (t ) + f (s)
⎛t +s⎞
⩾ f⎜
et donc l’algo⎝ 2 ⎟⎠
2

rithme affecte I + 1 à I jusque n donc finalement I = n.
b. Si la fonction f n’est pas convexe, il existe t et s de [0 ; 1] tels que

f (t ) + f (s)
⎛t +s⎞
< f⎜
et plus n est
⎝ 2 ⎟⎠
2

grand, plus la probabilité qu’un tel couple apparaisse est grande. Si un tel couple apparaît, l’algorithme affecte n + 1 à I. Pour n suffisamment grand, I = n + 1.
c. Voilà les images des calculatrices Casio et Ti.

3 a.
l

Il est nécessaire de faire plusieurs essais pour donner une réponse et constater que f n’est pas
convexe.
b. La fonction semble convexe.

4 Il faut remplacer le signe ⩾ par le signe ⩽.
l

TP5 Point d’inflexion et algorithme
1 Si P est un point d’inflexion de la courbe f , alors la tangente TP traverse la courbe f au point P.
l
Dans ces conditions, deux cas sont possibles.
Premier cas :
La courbe f est en dessous de TP avant le point P et au-dessus ensuite sur un intervalle suffisamment petit centré sur p,
donc f (p – h) – t(p – h) < 0 et f (p + h) – t(p + h) > 0,
donc (f (p + h) – t(p + h)) × (f (p – h) – t(p – h)) < 0.
Deuxième cas :
La courbe f est au-dessus de TP avant le point P, et en dessous ensuite sur un intervalle suffisamment petit centré sur p,

34 • 2. Fonctions

donc f (p – h) – t(p – h) > 0 et f (p + h) – t(p + h) < 0,
donc (f (p + h) – t(p + h) × (f (p – h) – t(p – h)) < 0.
Donc finalement, dans les deux cas, (f(p + h) – t(p + h) × (f (p – h) – t(p – h)) < 0.

2 L’algorithme peut être le suivant :
l
Entrée :

p un nombre réel et n un entier naturel non nul

Traitement : Affecter 2 à I
Affecter 10–n à h
Si (f(p + h) – t(p + h)) x (f(p – h) – t(p – h)) < 0
Alors affecter 1 à I
Sinon affecter 0 à I
Afficher I

On peut aussi créer un algorithme qui repère approximativement l’ascisse p sur un intervalle [a ; b].
b−a
Il faut que h soit plus petit que le pas de recherche
.
n

Corrigés des exercices et problèmes
Exercices d’applications
6

10 La représentation graphique est la figure
ci-dessous.

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 391.

y

7

La fonction f semble continue sur les intervalles ]–3 ; 1] et ]1 ; +3[.
Elle n’est pas continue en 1.

2

8 La fonction semble continue sur ]–3 ; – 2[ et
[– 2 ; +3[.
Elle n’est pas continue en – 2.

1
A

9

La représentation graphique est la figure
ci-dessous.

y

–1

2

–2

1

–1

0

0

1

2

x

A

1

x

–1

La fonction est donc continue par lecture graphique.

La fonction n’est donc pas continue par lecture
graphique puisqu’elle n’est pas continue en 0.

11

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 391.

12 D’après le cours, f est continue sur ]– 3 ; 2 [ et
sur [2 ; +3[. Pour qu’elle soit continue sur ℝ, il suffit
que – 2 × 2 + m = f (2) donc – 4 + m = 0, soit m = 4.
f est continue si m = 4.
2. Fonctions • 35

13

f ’ (x) = 2x – 3.

14

Certains élèves ont des difficultés avec le –

5
2

qu’ils ne voient pas comme une constante.
f ’ (x) = 6x2 – 10x + 3.
−2
2
15 f ’ (x) = 2x – 2 donc f ’ (x) = 2x + 2 .
x
x
1
16 f ’ (x) = 1 +
.
2 x

(

18 Certains élèves ont des difficultés avec la
racine qu’ils ne voient pas comme une constante.
f ’(x) = 6x2 + 3.
3 × (−2) –2
–6 2
19 f ’ (x) =
– 2 , donc f ’ (x) = 3 + 2 .
x3
x
x
x

f ′(x) =
=

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 391.

21

Application de la formule de la dérivée d’un
produit. On peut ne pas simplifier l’écriture.
f ’ (x) = 2x × (2x – x3) + x2 × (2 – 3x2) ou, simplifiée,
f ’(x) = – 5x4 + 6x2.

22

Application de la formule de la dérivée d’un
produit avec un facteur. On peut ne pas simplifier
l’écriture.
1 ⎞

f ’(x) = 6x2 × 3 − x + 2x3 × ⎜ −
ou, simplifiée,
⎝ 2 x ⎟⎠

(

)

f ’ (x) = − 7x 2 x + 18x 2 .

23 Plusieurs méthodes possibles qui conduisent
dans tous les cas à utiliser plusieurs formules.
1 ⎞

f ’(x) = 6x2 – 5 × x − 2 x – 5x × ⎜ 1 − 2 ×
⎟ ou,

2 x⎠

(

)

)

2

simplifiée, f ’ (x) = 6x – 10x + 15 x .

(

)

26 Utilisation de la formule (w2)’ = 2 × w × w’.
Le développement est très lourd.
f ’(x) = 2 × (9x2 – 1) (3x3 – x + 5).
36 • 2. Fonctions

(

(

)

)

(1 − x)2

2x + 2 − 2x 2 − 2x + x 2 + 2x
,
(1 − x)2
−x 2 + 2x + 2
.
(1 − x)2

donc f ′(x) =


⎛ u ⎞ u’ × v − u × v’
Utilisation de la formule ⎜ ⎟ =
.
⎝v⎠
v2
−2 × x 2 + 2 − ( 4 − 2x ) × 2x −2x 2 − 4 − 8x + 4x 2
f ′(x) =
=
,
2
2
x2 + 2
x2 + 2

31

(

32

)

(

)

(

)

2

2x − 8x − 4

donc f ′(x) =

(x

2

+2

)

2

.


⎛ u ⎞ u’ × v − u × v’
Utilisation de la formule ⎜ ⎟ =
.
⎝v⎠
v2

f ′(x) =
=

25 Utilisation de la formule (w2)’ = 2 × w × w’.
Autre méthode en développant.
1
Dans ces conditions f ′(x) = 2 ×
x +2 ,
2 x
2
.
donc f ’ (x) = f ′(x) = 1 +
x

)

)

)

(2x + 2) × (1 − x) − x 2 + 2x × (−1)

(

) (

)

2x × 1 − x 2 − x 2 + 2 × (−2x)

(

1 − x2

)

2

2x − 2x 3 + 2x 3 + 4x

24

Utilisation d’une formule facile à démontrer à
partir du produit (w2)’ = 2 × w × w’.
Autre méthode en développant.
Dans ces conditions, f ’ (x) = 2 × 2x(x2 + 1),
donc f ’(x) = 4x(x2 + 1).

(

(

(

17 Certains élèves ont des difficultés avec la fraction et appliquent la formule qui donne la dérivée
u
de
.
v
2
1
7
4
1
f (x) = x 2 + x + , donc f ’ (x) = x + .
3
3
3
3
3

20


⎛ 1⎞
g’
Utilisation de la formule ⎜ ⎟ = − 2
g
⎝g⎠
3 × 2x
6x
f ′(x) = −
2 , donc f ′(x) = −
2 .
x2 + 2
x2 + 2

⎛ 1⎞
g’
28 Utilisation de la formule ⎜ ⎟ = − 2 .
g
⎝g⎠
5 × 3x 2 + 1
15x 2 + 5
f ′(x) = −
2 , donc f ′(x) = −
2 .
3
x +x+2
x3 + x + 2
u ’ u’ × v − u × v’
29 Utilisation de la formule ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ =
.
v
v2
−1 × (x + 1) − (3 − x) × 1 −x − 1 − 3 + x
,
f ′(x) =
=
(x + 1)2
(x + 1)2
−4
.
donc f ′(x) =
(x + 1)2

30 Utilisation de la formule ⎛⎜ u ⎞⎟ = u’ × v −2u × v’ .
⎝v⎠
v

27

donc f ′(x) =

(1 − x )

2 2

(

6x

1 − x2

)

2

,

.

33 Utilisation de la formule (u × v)’ = u’ × v + u × v’
et calcul avec la racine.
1
6x + 3x + 1
f ′(x) = 3 × x + (3x + 1) ×
=
,
2 x
2 x
9x + 1
.
donc f ′(x) =
2 x
34 Utilisation de la formule pour obtenir l’équation réduite de la tangente : y = f ’ (a) × (x – a) + f (a).
a. f ’ (x) = 2x – 3, donc f ’ (1) = – 1 et f (1) = – 1, donc
l’équation réduite est donnée par y = – 1 × (x – 1) – 1,
soit y = –x.

2
3
, donc f ’ (2) =
et f (2) = 1, donc
2
x2
3
l’équation réduite est donnée par y = (x − 2) + 1,
2
3
soit y = x − 2 .
2
1
1
3
donc f ′(0) =
et f (0) = , donc
c. f ′(x) =
4
2
(2 − x)2

b. f ′(x) = 1 +

1
3
l’équation réduite est donnée par y = (x − 0) + ,
4
2
1
3
soit y = x + .
4
2

39

a. On calcule son coefficient directeur de T
y − y A 2 − (−1)
donné par B
=
=2,
xB − x A
2,5 − 1
donc T a pour équation y = 2x – 3.
On en déduit que f ’ (1) = 2.
b. f ’(x) = 6x2 + 2x – a or f ’ (1) = 2, donc 8 – a = 2,
donc a = 6.
f (1) = yA = – 1, donc 3 – 6 + b = – 1, donc b = 2.

40
x

35

Utilisation de la formule pour obtenir l’équation réduite de la tangente : y = f ’ (a) × (x – a) + f (a).
a. f ’(x) = 6x2 – 3, donc f ’ (– 1) = 3 et f(– 1) = 2, donc
l’équation réduite est donnée par y = 3(x + 1) + 2, soit
y = 3x + 5.
1
, donc f ’ (2) = 3 et f (2) = 5,
b. f ′(x) = 2x −
(x − 1)2
donc l’équation réduite est donnée par
y = 3(x – 2) + 5, soit y = 3x – 1.
1
1
1
, donc f ’ (0) =
et f (0) = − ,
4
2
(2 − 3x)2
donc l’équation réduite est donnée par
1
1
1
1
y = (x − 0) − , soit y = x − .
4
2
4
2

–3

f ’ (x)

−5
. La proposition est fausse.
(x − 3)2
b. La proposition est vraie.
c. g’(x) < 0 donc la proposition est vraie.
d. La fonction g est décroissante sur ]– 3 ; 3] et sur
]3 ; +3[, mais elle n’est pas décroissante sur son
domaine de définition. La proposition est fausse.

37

a. g ′(x) =

1
, donc la proposition est fausse.
3
f. g(x) = 2 conduit à 2x – 1 = 2x – 6, donc 1 = 6, donc
impossible, donc la proposition est vraie.

e. g(0) =

38

a. L’équation h(x) = – 3 n’admet qu’une solution sur [– 2 ; 3]. La proposition est fausse.
b. La proposition est vraie.
c. Le maximum de h est 5 atteint pour 3. La proposition est fausse.
d. h’(6) ⩽ 0, donc la proposition est fausse.
e. h n’est pas définie pour – 4. La proposition est
fausse.

+3

0,8

0



0

+

3,3
f
–4,6

41
x

– 3▶

f’

+

c. f ′(x) =

36 On peut affirmer f est strictement décroissante au voisinage de 4,5 donc probablement
f ’(4,5) < 0.
Sur la figure, on donne f(4,5) = 0, donc oui, on peut
l’affirmer.
Le codage de la figure suggère f ’(3) = 0.
Non, on ne peut pas affirmer f ’ (3) = 4,5 qui est
contradictoire avec le codage de la figure.

–4
+

– 1,9
0
– 0,7

–1




f

–0,1
0

+3
+

2,7

42 a. La courbe passe par les points (– 4 ; 5),
(0 ; – 1), (2 ; 3) et (6 ; 2). Il faut tenir compte du sens
de variation.
b.

x

–4


f’

0
0

+

2
0

6


43 a. La courbe passe par les points (– 2 ; 1),
(3 ; – 2) et (7 ; 3). Il faut tenir compte du sens de
variation et surtout de la valeur interdite 1.
b.

x

–2

f’

1

3





0

7
+

44 La fonction f est une fonction croissante, donc
f ’ est positive, ce qui exclut la deuxième courbe.
La fonction dérivée est une fonction décroissante
(en effet, le coefficient directeur est décroissant),
donc la courbe de la dérivée est la troisième courbe
courbe 𝒞3 (on peut aussi remarquer que f ’ (6) ≈ 1).
45 f ’ (x) = 6x – 4, d’où le signe de f ’ et les variations de f :
x
f’
f

2
3

–3


0

+3
+

–1
3

2. Fonctions • 37

46

f ’ (x) = 3x2 + 2x + 5 ; ∆ = – 56 < 0, d’où le signe de
f ’ et les variations de f :
–3

x

+3
+

f’
f

47

f ’ (x) = 3x2 – 6x + 1 ; ∆ = 24 > 0.

6
≈ 0,18 x1 et
3
6
x2 = 1 +
≈ 1,82 , d’où le signe de f ’ et les varia3
tions de f :
Il y a donc deux solutions x1 = 1 −

x

–3

f’

x2

x1
+

0



0

+3
+

≈–1,9
f
≈ –4,1

48

f ’ (x) = – 15x2 + 2x + 1 ; ∆ = 64 > 0. Il y a donc
1
1
deux solutions x1 = − et x 2 = , d’où le signe de f ’
5
3
et les variations de f :
x
f’

–3




1
5

0

1
3
+

0

+3


≈ 1,3
f
0,88

49

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 391.

50 a. Le tableau de variations suggère que la
fonction f est continue sur [– 2 ; 5].
Sur [– 2 ; 3], la fonction décroît strictement de 6 à – 1,
donc l’équation f (x) =0 admet une solution.
Sur [3 ; 5], la fonction croit strictement de – 1 à 2,
donc l’équation f (x) = 0 admet une solution.
Finalement l’équation f (x) = 0 admet deux solutions
sur [– 2 ; 5].
b. Sur [– 2 ; 3], la fonction décroît strictement de 6 à
– 1, donc l’équation f(x) = 3 admet une solution.
Sur [3 ; 5], la fonction croit strictement de – 1 à 2,
donc l’équation f(x) = 3 n’admet pas de solution.
Finalement, l’équation f(x) = 3 admet une solution
sur [– 2 ; 5].
c. Le minimum de la fonction f est – 1, donc l’équation f(x) = – 2 n’a pas de solution sur [– 2 ; 5].
51 a. Le tableau de variations suggère que la
fonction f est continue sur [– 4 ; 7].
38 • 2. Fonctions

Sur [– 4 ; 2], la fonction croit strictement de – 11 à 3,
donc l’équation f (x) = – 8 admet une solution.
Sur [2 ; 7], le minimum de la fonction f est 1,5, donc
l’équation f (x) = – 8 n’a pas de solution.
Finalement, l’équation f (x) = – 8 admet une solution
sur [– 4 ; 7].
b. Sur [– 4 ; 2], la fonction croit strictement de – 11 à
3, donc l’équation f (x) = 2 admet une solution.
Sur [2 ; 4], la fonction décroît strictement de 3 à 1,5,
donc l’équation f(x) = 2 admet une solution.
Sur [4 ; 7], la fonction croit strictement de 1,5 à 13,
donc l’équation f (x) = 2 admet une solution.
Finalement, l’équation f(x) = 2 admet trois solutions
sur [– 4 ; 7].
c. Le maximum de la fonction f est 13, l’équation
f (x) = 15 n’a pas de solution sur [– 4 ; 7].

52 Le tableau de variations suggère que la fonction f est continue sur [– 6 ; 3].
Sur [– 6 ; 0], la fonction croit strictement de – 4 à 2,
donc l’équation f (x) = 0 admet une solution négative.
Sur [0 ; 2], la fonction décroît strictement de 2 à – 1,
donc l’équation f(x) = 0 admet une solution positive.
Sur [2 ; 3], la fonction croit strictement de – 1 à 5,
donc l’équation f(x) = 0 admet une solution positive.
Finalement, l’équation f(x) = 0 admet trois solutions
sur [– 6 ; 3] dont une est négative et deux sont positives.
53 a. Pour l’équation f (x) = 4, il faut repérer sur la
figure les points de la courbe qui ont une ordonnée
égale à 4, et les solutions sont les abscisses de ces
points. Dans ces conditions, les solutions de f (x) = 4
sont 1,1 et 3.
b. Les solutions de f (x) = 6 sont 1,05 et 4.
c. Les solutions de f (x) = – 5 sont – 1,4 et 0,9.
d. L’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.
54 5 est une valeur comprise entre 1 et 7, donc sur
l’intervalle [– 1 ; 4]. D’après le théorème des valeurs
intermédiaires, l’équation f(x) = 5 admet au moins
une solution, donc, sur l’intervalle [–3 ; 5], l’équation f(x) = 5 admet au moins une solution.
55 0 est une valeur comprise entre – 4 et 1, donc,
sur l’intervalle [–3 ; 2], d’après le théorème des
valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 admet au
moins une solution.
0 est une valeur comprise entre – 2 et 1, donc sur
l’intervalle [2 ; 5], d’après le théorème des valeurs
intermédiaires, l’équation f(x) = 0 admet au moins
une solution.
Donc sur l’intervalle [– 6 ; 7], l’équation f (x) = 0
admet au moins deux solutions.

56 1. a. Il semble que la courbe coupe l’axe des
abscisses en un seul point, donc l’équation f(x) = 0
admet une solution unique : ≈ – 2,1.
b. ≈ – 2,104.
2. f (x) = 2 admet trois solutions qui sont, à 10– 2
près, – 1,88 ; 0,35 et 1,53.
57

1. f ′(x) = 3 +

donc f ′(x) =

−5
3(x + 1)2 − 5 3x 2 + 6x + 3 − 5
=
2 =
(x + 1)
(x + 1)2
(x + 1)2

3x 2 + 6x − 2
.
(x + 1)2

2. (x + 1)2 > 0 sur Df , donc le signe de f ’ (x) ne dépend
que de 3x2 + 6x – 2 ; ∆ = 60, donc les solutions sont :
x1 =

−3 − 15
−3 + 15
≈ −2,3 et x 2 =
≈ 0,3 .
3
3
–3

x
3x 2

+ 6x – 2

x2

x1
+ 0



+

D’où le tableau de variations de la fonction f sur
[– 0,9 ; 10] :
x

–0,9

x2


f’
f

0

≈▶45,3

10
+
≈28,5

≈▶2,7

3. f est continue et d’après le tableau de variations
ci-dessus, l’équation f (x) = 3 admet deux solutions.
⎛ 2⎞
De plus f (0) = 3 et f ⎜ ⎟ = 3, donc l’équation f (x) = 3
⎝ 3⎠
2
admet deux solutions qui sont 0 et .
3
4. f est continue et, d’après le tableau de variations
ci-dessus, l’équation f (x) = 5 admet deux solutions :
▶≈ – 0,39 et ▶≈ 1,72.
5. Si m < f(x2), alors l’équation f(x) = m n’a pas de
solution.
Si m = f(x2), alors l’équation f (x) = m a une solution
qui est x2.
Si f (x2) < m ⩽ f (10), alors l’équation f (x) = m admet
deux solutions.
Si f(10) < m ⩽ f(– 0,9), alors l’équation f(x) = m admet
une solution.
Si m > f (– 0,9), alors l’équation f (x) = m n’a pas de
solution.

58

1. On peut remarquer que g(x) =

La dérivation est alors plus simple :
1
−5
1
−5
x
2
x
g ′(x) =
=

2 −
2 x 2x x 2x x
x

( )

donc g ′(x) =

−5 − x
.
2x x

59 Les courbes 1, 3 et 4 sont des courbes de fonctions convexes et les courbes 2, 5 et 6 ne sont pas des
courbes de fonctions convexes.
60 La courbe 5 est une courbe de fonction
concave et les autres ne sont pas des courbes de
fonctions concaves.
61 Pour qu’il y ait un point d’inflexion, il faut
qu’il y ait changement de convexité, donc les
seules courbes qui ont un point d’inflexion sont les
courbes 2 et 6.

+3

0

2. x > 0, donc g’(x) < 0, donc g est strictement
décroissante sur ]0 ; +3[.
3. g est strictement décroissante et continue sur
[2 ; 3], g(2) ≈ 0,12 et g(3) ≈ – 0,85, donc l’équation
g(x) = 0 admet une unique solution sur [2 ; 3], notée
, avec ≈ 2,101.

5
−2− x .
x

62 • Pour la courbe  1, la fonction semble
concave sur [– 2,5 ; – 0,2] puis convexe ensuite.
Pour la courbe 2, la fonction semble concave sur
[– 4,2 ; – 1,2], convexe sur [– 1,2 ; 0,5] puis concave
sur [0,5 ; 4] et enfin convexe.
Pour la courbe 3, la fonction semble convexe sur
[– 3,2 ; 4] puis concave ensuite.
• Pour qu’il y ait un point d’inflexion, il faut qu’il y
ait changement de convexité.
Pour la courbe 1, la courbe semble admettre un
point d’inflexion au moins.
Pour la courbe 2, la courbe semble admettre trois
points d’inflexion au moins.
Pour la courbe 3, la courbe semble admettre un
point d’inflexion au moins.
63 La dérivée f ’ de la fonction f est strictement
croissante sur [– 4 ; 2], donc la fonction f est convexe
sur [– 4 ; 2].
La dérivée f ’ de la fonction f est strictement décroissante sur [2 ; 7], donc la fonction f est concave sur
[2 ; 7].
La courbe de la fonction f admet un point d’inflexion qui a pour abscisse 2.
64 La dérivée f ’ de la fonction f est strictement
décroissante sur [– 2 ; 1], donc la fonction f est
concave sur [– 2 ; 1].
La dérivée f ’ de la fonction f est strictement croissante sur [1 ; 3], donc la fonction f est convexe sur
[1 ; 3].
La dérivée f ’ de la fonction f est strictement décroissante sur [3 ; 5], donc la fonction f est concave sur
[3 ; 5].
La courbe de la fonction f admet deux points d’inflexion qui ont pour abscisses 1 et 3.
2. Fonctions • 39

65 À partir du signe de la fonction f ’’ obtenu par
lecture graphique, on peut dresser le tableau de
variations de la fonction f ’ qui est :
x

–1

– 0,5


f ’’

3

0

f’

+



66

À partir du signe de la fonction f ’’ obtenu par
lecture graphique, on peut dresser le tableau de
variations de la fonction f ’ qui est :
x

1

1,5
+

0

5

4


0

+

f’
La dérivée f ’ de la fonction f est strictement croissante sur [1 ; 1,5], donc la fonction f est convexe sur
[1 ; 1,5].
La dérivée f ’ de la fonction f est strictement décroissante sur [1,5 ; 4], donc la fonction f est concave sur
[1,5 ; 4].
La dérivée f ’ de la fonction f est strictement croissante sur [4 ; 5], donc la fonction f est convexe sur
[4 ; 5].
La courbe de la fonction f admet deux points d’inflexion qui ont pour abscisses 1,5 et 4.

67 La fonction est convexe et continue sur [– 2 ; 5],
donc pour tous nombres a et b de l’intervalle
f (a) + f (b)
⎛ a +b⎞
[– 2 ; 5] : f ⎜

.
⎝ 2 ⎟⎠
2
En particulier, pour les nombres – 1 et 3,
f (−1) − + f (3)
⎛ −1 + 3 ⎞

,
f⎜
⎝ 2 ⎟⎠
2
donc 2 × f (1) ⩽ f (– 1) + f(3).

68

La fonction est concave et continue sur [– 3 ; 2],
donc pour tous nombres a et b de l’intervalle [– 3 ; 2] :
f (a) + f (b)
⎛ a +b⎞
f⎜

.
⎝ 2 ⎟⎠
2
En particulier, pour les nombres – 2 et 0,
f (−2) + f (0)
⎛ –2 + 0 ⎞
f⎜

,
⎝ 2 ⎠⎟
2
donc 2 × f (– 1) ⩾ f(– 2) + f(0).

40 • 2. Fonctions

−3
3
, donc f ′(x) = 2 > 0 , donc la foncx2
x
tion f est strictement croissante sur ]0 ; +3[.

3. f ′(x) = −

3×2
6
, donc f ”(x) = − 3 < 0, donc la
x3
x
fonction f ’ est strictement décroissante sur ]0 ; +3[.
5. En conséquence de la question précédente, la
fonction f est concave sur ]0 ; +3[.
4. f ′′′ (x) = −

La dérivée f ’ de la fonction f est strictement décroissante sur [– 1 ; – 0,5], donc la fonction f est concave
sur [– 1 ; – 0,5].
La dérivée f ’ de la fonction f est strictement croissante sur [– 0,5 ; 3], donc la fonction f est convexe
sur [– 0,5 ; 3].
La courbe de la fonction f admet un point d’inflexion qui a pour abscisse – 0,5.

f ’’

69 1. La fonction f semble concave.
2. En conséquence de la première question, la
fonction f ’ est décroissante sur ]0 ; +3[.

70

Cet exercice est corrigé dans le manuel, p. 391.

71

1. f ′(x) = 3 −

−2 × 1
2
, donc f ′(x) = 3 +
.
(x − 2)2
(x − 2)2

0 × (x − 2)2 − 2 × 2 × 1 × (x − 2) −4 × (x − 2)
=
,
(x − 2)4
(x − 2)4
4
.
donc f ′′′ (x) = −
(x − 2)3
3. (x – 2)3 > 0 sur ]2 ; 10], donc f ’’(x) < 0, donc f ’ est
strictement décroissante sur ]2 ; 10].
4. D’après la question précédente, la fonction f est
concave sur ]2 ; 10].
2 . f ′′′ (x) =

72 1. f ’ (x) = 2x, donc f (2) = 4 et f ’ (2) = 4.
L’équation de la tangente T2 est donnée par :
y = f (2) × (x – 2) + f (2), donc = 4x – 8 + 4.
L’équation réduite de T2 est y = 4x – 4.
2. a. f ’ (a) = 2a et f(a) = a2. L’équation de la tangente
Ta est donnée par y = f (a) × (x – a) + f (a),
donc y = 2ax – 2a2 + a2.
L’équation réduite de Ta est y = 2ax – a2.
b. f (x) – (2ax – a2) = x2 – 2ax + a2 = (x – a)2 qui est
toujours positif, donc f(x) – (2ax – a2) ⩾ 0 pour tout
nombre réel x.
c. D’après la question précédente, la courbe 𝒞 f
de la fonction carré est toujours au-dessus de la
tangente Ta.
3. La courbe 𝒞f de la fonction carré est toujours
au-dessus de la tangente Ta, pour tout nombre
a, donc la courbe 𝒞f est au-dessus de toutes ses
tangentes, donc f est convexe.

Exercices d’approfondissement
73 1. On ne peut rien en dire à la lecture de cette
représentation graphique puisqu’il en manque une
partie.
2. a. Voir le cadrage avec les élèves sur la machine à
calculer.
b. L’écart entre deux marques en abscisses et en
ordonnées est de 0,5 unité. En abscisse, l’intervalle

visible est [– 1,2 ; 3,2]. En ordonnée, l’intervalle
visible est [– 1,3 ; 2,7].

74 Lecture graphique de l’image et du nombre
dérivé et formule de l’équation réduite de la
tangente : y = f ’ (a) × (x – a) + f(a).
1. Par lecture graphique, f (– 1) = – 3, f (1) = 1,
f ’(– 1) =

5
−2
= 10 et f ’ (1) =
= – 2.
1
0,5

L’équation de la tangente T– 1 est donnée par :
y = 10(x + 1) – 3 soit y = 10x + 7.
L’équation de la tangente T1 est donnée par :
y = – 2(x – 1) + 1 soit y = –2x + 3.
2. Par lecture graphique T0 a pour équation y = x + 2
et T2 a pour équation y = x – 2.
3. a . f ’(x) = 3x2 – 6x + 1.
b. f ’ (3) = 10.
c. f (3) = 5. Une équation de T3 est donnée par
y = 10(x – 3) + 5, donc l’équation obtenue est :
y = 10x – 25.

75

a. On calcule le coefficient directeur de T
y − y A 5,5 − 1
donné par B
=
= −4,5 , donc T a pour
xB − x A
1− 2
équation y = – 4,5(x – 1) + 5,5, soit finalement l’équation de T :
y = – 4,5x + 10.
On en déduit que f ’ (2) = – 4,5.
b. f ′(x) = −2x −

b
or f ’ (2) = – 4,5,
(x + 2)2

b
= – 4,5, donc b = 8.
16
f (2) = yA = 1, donc – 4 + a + 2 = 1, donc a = 3.
donc – 4 –

76 a. La fonction f est croissante jusqu’en 0
puis décroissante, donc sa dérivée f ’ est positive
jusqu’en 0 puis négative, donc la courbe de f ’ est la
deuxième courbe 𝒞2.
b. L’équation de cette tangente est donnée par
y = f ’(1) × (x – 1) + f(1). Or f ’ (1) ≈ – 0,74 et f(1) ≈ 1,5,
donc une estimation de l’équation réduite de cette
tangente est y = – 0,74x + 2,24.

La fonction f est décroissante sur [0 ; 4] et croissante
sur [4 ; +3[, donc sa dérivée f ’ est négative sur [0 ; 4]
et positive sur [4 ; +3[, ce qui est le cas de g.
g est la dérivée de f.

80 1. Par lecture graphique, l’abscisse du point
d’intersection des deux courbes est 1,8 euro.
2. L’ordonnée du point d’intersection est 4 000,
donc la quantité de produit correspondant au prix
unitaire d’équilibre est 4 000 kg.
3. Les fonctions d’offre et de demande semblent
convexes.
81

1. f ’ (x) = 6x2 – 6x, donc f ’ (x) = 6x(x – 1).
2. On en déduit le signe de f ’ et le tableau de variations de la fonction f :

f’

78 La fonction f est décroissante, puis croissante,
donc la dérivée est négative puis positive. Une seule
des courbes répond à ce critère : 𝒞2.

+

0
3

5

1


0

+
178

– 322

2

3. Sur [0 ; 5], la fonction f a pour minimum 2, donc
l’équation f (x) = 1 n’a pas de solution.
Sur [– 5 ; 0], la fonction f est continue et strictement
croissante de – 322 à 3, donc f (x) = 1 admet une
unique solution notée .
≈ – 0,68.

82 1. L’équation f (x) = g(x) semble admettre une
solution sur ]1 ; 10], notée , avec ≈ 2,325.
1
2
2. f (x) - g(x) = x - 2x ,
x -1
=

(x 2 - 2x)(x - 1) - 1 x 3 - 2x 2 - x 2 + 2x - 1
=
x -1
x -1

donc f (x) − g(x) =

x 3 − 3x 2 + 2x − 1
.
x −1

3. a. h’(x) = 3x2 – 6x + 2 ; ∆ = 12, donc il y a deux solu3
3
tions qui sont x1 = 1 −
≈ 0,4 et x 2 = 1 +
≈ 1,6 .
3
3
–3

x
3x2 – 6x + 2

x2

x1
+ 0



+3

0

+

On en déduit le tableau de variations de la fonction
h sur [1 ; 10] :
x

1

x2


79

La fonction g est décroissante sur [0 ; 2] et
croissante sur [2 ; +3[, donc sa dérivée g’ est négative sur [0 ; 2] et positive sur [2 ; +3[, ce qui n’est pas
le cas de f .

0

f

77

La fonction f est décroissante, puis croissante
et enfin décroissante, donc la dérivée est négative, positive puis négative. Une seule des courbes
répond à ce critère : 𝒞1.

–5

x

f

10

0

+

≈▶–1

≈719
≈▶–1,4

2. Fonctions • 41

b. La fonction h est continue sur [1 ; 10], donc,
d’après le tableau de variations ci-dessus, l’équation h(x) = 0 admet une unique solution notée .
c. Résoudre f(x) = g(x) sur ]1 ; 10] revient à résoudre
h(x) = 0 sur ]1 ; 10], donc la solution unique est .

d’’(x) = f ’ ’(x) ⩾ 0, donc d’ est croissante sur ℝ.
b. d’(a) = f ’(a) – f ’(a), donc d’(a) = 0. Or d’ est croissante sur ℝ, donc le signe de d’(x) est donné par :

83

c. De la question précédente, on déduit le tableau
de variations de d.

1.

2. La fonction semble convexe sur ]– 3 ; – 0,9],
concave sur [– 0,9 ; 0,3], convexe sur [0,3 ; 4,4] et
enfin concave.
3. Les abscisses des points d’inflexion semblent
être – 0,9 ; 0,3 et 4,4.
4. On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe de la fonction f ’ ’ et l’axe des
abscisses. On obtient ainsi trois valeurs qui sont
– 0,923 ; 0,311 et 4,43.

84 1. La fonction f semble concave sur ]– 3 ; 2] et
convexe sur [2 ; +3[.
2. La fonction f change de convexité, donc la
courbe admet un point d’inflexion d’abscisse 2.
f ’ est strictement décroissante sur ]– 3 ; 2] et strictement croissante sur [2 ; +3[.
3. f ’ (x) = x2 – 4x = x(x – 4) d’où le signe de f ’ et le
tableau de variations de la fonction f :
x

–3

f’

0
+

0

+3

4


0

+

5

4. f ’ ’(x) = 2x – 4 d’où le tableau de variations de la
fonction f ’ :
–3

2


f’

x

a
0



–3

+3
+

a


d’

+3

0

d

+

0▶

4. Le minimum de d est 0, donc d(x) ⩾ 0 pour tout
nombre réel x.
Ainsi f (x) – (f ’ (a) × (x – a) + f (a)) ⩾ 0,
donc f (x) ⩾ f ’ (a) × (x – a) + f (a).
Donc la courbe 𝒞f est au-dessus de la tangente Ta.

Objectif BAC
Se tester sur les fonctions
Les exercices de cette rubrique sont corrigés dans le
manuel, p. 391.

94

≈ –5,7

f ’’

–3

Sujets type BAC

f

x

x
d ’ (x )

0

+3
+

–4▶

5. D’après le sens de variation de la fonction f ’, la
courbe de la fonction f admet un point d’inflexion
1⎞

d’abscisse 2 et donc de coordonnées ⎜ 2 ; − ⎟ .

3⎠

Exercice résolu.

95 Partie A
1. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus
grandes, P(x) prend des valeurs qui s’approchent de 1.
1 × (x + 100) − 1 × (x + 100)
2. P ′(x) =
,
(x + 100)2
−200
.
(x + 100)2
3. P’(x) < 0, donc la fonction P est strictement
décroissante sur [100 ; +3[.
donc P ′(x) =

x

100

P

+3


P’
2

1

85

1. L’équation de la tangente Ta est donnée par
y = f (a) × (x – a) + f (a).
2. f est une fonction convexe sur ℝ,
donc f ’ est croissante sur ℝ et donc f ’’ ⩾ 0.
3. a. d(x) = f (x) – (f ’ (a) × (x – a) + f (a)),
donc d(x) = f (x) – f ’ (a) × x + f ’ (a) × a – f(a).
Notons que f ’ (a), a et f (a) sont des constantes et
que la dérivée d’une constante est nulle.
Donc d’(x) = f ’ (x) – f ’(a).

42 • 2. Fonctions

Partie B
1. S(x) s’approche de +3 lorsque x devient grand.
2. S ¢(x) = 1 ¥ P(x) + x ¥ P ¢(x)
x + 300
200x
(x + 300)(x + 100) - 200x
=
=
x + 100 (x + 100)2
(x + 100)2
donc S ′(x) =

x 2 + 200x + 30000
.
(x + 100)2

Partie C
x ⩾ 100, donc S’(x) > 0, donc la fonction S est strictement croissante sur [100 ; +3[.
On cherche la solution de l’équation S(x) = 900. En
utilisant la machine, on obtient la solution 724 kg.
Notons qu’on peut résoudre l’équation du second
degré obtenu et on trouve 300 1 + 2 .

(

)

96 Partie A
1. p = 400, donc R(x) = 400x. On trace alors la courbe
D1 de la fonction R :
y

𝒞𝒞

8 000

Donc B’(x) = – 15 × 3x2 + 120 × 2x + 180,
donc B’(x) = – 45x2 + 240x + 180.
c. On calcule le discriminant de – 45x2 + 240x + 180.
∆ = 90 000 d’où les solutions qui sont :
−240 − 300
−240 + 300
2
x1 =
= 6 et x 2 =
=− .
−90
−90
3
Donc le signe de – 45x2 + 240x + 180 est :

–45x2 + 240x +180

x

0

D1

B

2 000
x
2

4

6

8

10

Il est clair que la courbe de R est toujours en dessous
strictement de la courbe 𝒞. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production soit
B(x) = R(x) – C(x). Par lecture graphique, on en
déduit que R(x) – C(x) < 0 soit B(x) < 0, donc l’entreprise ne réalise pas de bénéfice (positif ) si le prix du
marché est 400 euros.
2. a. p = 680, donc R(x) = 680x. On trace alors la
courbe D2 de la fonction R :

y

𝒞𝒞

8 000

D2

6 000

2 000
x
2

4

6

8

+

0

+3


10

B(x) = R(x) – C(x), donc par lecture graphique
B(x) > 0 pour x compris entre 2 et 8,7, donc l’entreprise réalise un bénéfice (positif ) pour une quantité
produite et vendue entre 2 km et 8,7 km.
b. B(x) = 680x – C(x)
= 680x – (15x3 – 120x2 + 500x + 750)
= 680x – 15x3 + 120x2 – 500x – 750,
donc B(x) = – 15x3 + 120x2 + 180x – 750.

10

0



1 410
–750

– 1 950

Le bénéfice est donc maximal pour une production
vendue de 6 km. Le bénéfice est alors de 1 410 euros.
Partie B
C(x) 15x 3 − 120x 2 + 500x + 750
=
,
x
x
donc en simplifiant :
750
C M (x) = 15x 2 − 120x + 500 +
x
C M (x) =

750
.
x2
On met au même dénominateur :
30x 3 − 120x 2 − 750
C ’M (x) =
.
x2
Pour comparer avec l’expression donnée, il suffit de
comparer les numérateurs.
On développe donc 30(x – 5) (x2 + x + 5)
= (30x – 150) (x2 + x + 5)
= 30x3 – 150x2 + 30x2 – 150x + 150x – 750
= 30x3 – 120x2 – 750
30(x − 5) x 2 + x + 5
finalement C M
.
′ (x) =
x2
2. a. Pour x de ]0 : 10], x2 + x + 5 > 0 (somme de
termes strictement positifs) et x2 > 0 donc C’M(x) est
du signe de (x – 5).
D’où le tableau de variations de la fonction CM :
C ’M (x) = 30x − 120 −

(

4 000

0

0

6

6
+

B’

0



2
3

D’où le tableau de variation de B :

6 000
4 000



–3

x

x
C’M
CM

0

)

5
+

0

10

875

425

b. À la lecture du tableau de variations de la fonction CM, on peut dire que le minimum est atteint
pour 5 km de tissu.

2. Fonctions • 43

Le coût moyen (CM(5)) vaut alors 425 euros et le
coût total (C(5)) vaut 2 125 euros.

97 Partie A
1. f(0,2) ≈ 1,356 ; f(1) = 2 et f (1,2) ≈ 1, 889.
4x − 4
.
2x − 3
b. 2x – 3 < 0 sur [0,2 ; 1,2], donc le signe de f ’ est
celui de 4 – 4x, d’où le tableau de variations de la
fonction f.
2. a. f ′(x) =

x

0,2

1

f’


+

0



2

1,2


f
≈1,356

≈1,889

3. a. À la lecture du tableau de variations, f est
continue et strictement croissante sur [0,2 ; 1] en
décrivant les valeurs de f (0,2) ≈ 1,356 à 2, donc
l’équation f (x) = 1,9 admet une unique solution
notée .
b. ≈ 0,74.
Partie B
1. a. Le fournisseur d’énergie doit placer le parc à
10 km pour que son bénéfice soit maximal.
b. Le bénéfice alors réalisé est 2 × 100 000 euros soit
200 000 euros.
2. Cela revient à résoudre f (x) ⩾ 1,9. À la lecture des
résultats de la partie A, il faut placer le parc à une
distance plus grande que 0,74 dizaine de kilomètres,
donc à 7 400 mètres au moins.

98 Partie A
1. a. Pour 200 litres de médicaments vendus,
x = 2 centaines de litres,
donc la recette est R(2) = 3 milliers d’euros,
donc la recette est 3 000 euros.
b. On obtient la figure ci-dessous.
y
9

Γ

8
7
6
5

R

4
3
2
1
0

44 • 2. Fonctions

1

2

3

4 x

2. a. Le laboratoire dégage un bénéfice positif
lorsque la courbe de R est au-dessus de Γ donc, par
lecture graphique, sur [0,7 ; 4,3].
b. Par lecture graphique, on observe l’écart entre les
deux courbes au niveau de l’abscisse 2, donc il semble
que le bénéfice dégagé soit 1,85 milliers d’euros.
c. On observe sur le graphique la partie où l’écart
entre les deux courbes est le plus grand. Il semble
que ce soit pour la quantité 2,8 centaines de litres.
Pour cette production, le bénéfice maximal est de
2,3 milliers d’euros.
Partie B
1. B(x) = R(x) – CT(x)
= 1,5x – 0,15(x – 1)3 – 1
= 1,5x – 0,15(x3 – 3x2 + 3x – 1) – 1
= 1,5x – 0,15x3 + 0,45x2 – 0,45x + 0,15 – 1,
donc B(x) = – 0,15x3 + 0,45x2 + 1,05x – 0,85.
B(2) = 1,85 ce qui correspond à l’observation graphique.
2. B’(x) = – 0,45x2 + 0,9x + 1,05.
3. ∆ = 2,7. Il y a donc deux solutions qui sont :
x1 =

−0,9 − 2,7
≈ −0,826 et
−0,9

x2 =

−0,9 + 2,7
≈ 2,826 .
−0,9

Le signe de – 0,45x2 + 0,9x + 1,05 est :
–3

x
0,45x2

+ 0,9x + 1,05

x2

x1


0

+

0

+3


Donc le tableau de variations de B sur [0 ; 5] est :
x

0

B’


x2
+

0



≈▶2,326

5


B
–0,85

▶▶▶▶– 3,1

4. a. À la lecture du tableau de variations de B, le
bénéfice est maximal pour x2 centaines de litres,
donc pour 283 litres, et le bénéfice maximal est
f (x2) = 2,326 milliers d’euros. Le bénéfice maximal
est donc de 2 326 euros.
b. Oui, ils le sont.

99 1. Pour 2011, x = 11.
f (11) = 21 116,912, donc l’estimation du volume de la
matière M à découvrir en 2011 est 21 117 centaines
de km3.
2. f ’ (x) = – 0,144x2 + 15,6x – 658. On étudie le signe
de f ’ (x) en calculant ∆ = – 135,648. Il n’y a donc pas
de solution et le signe de f ’ (x) est celui de – 0,144 < 0,
donc f est strictement décroissante d’où le tableau
de variations de f :

x

11

50

21 117
f

8 075

3. À la lecture du tableau de variations de f,
f(x) = 15 000 admet une solution unique qui est environ
25,4, donc en 2025 un peu plus de 15 000 centaines de
km3 de cette matière M seront découverts.

Problèmes
100 1. a. f (x) = 1 admet deux solutions et telles
que – 2 < < – 1,5 et 1 < < 1,5.
b. La courbe admet au point A, d’abscisse – 1, une
tangente parallèle à l’axe des abscisses,
donc f ’ (– 1) = 0.
c. Par lecture graphique, T a pour équation
y = –x + 2.
d. f ’(0) est le coefficient directeur de T
donc f ’ (0) = – 1.
e. Le signe de f ’ est donné par le sens de variation
de la fonction f d’où le tableau de signes suivant.
x

–2
+

f ’( x )

–1
0

4


f. La tangente T à la courbe 𝒞f au point B traverse
la courbe donc B est un point d’inflexion.
g. Par lecture graphique, la courbe semble concave
sur [– 2 ; 0] et convexe sur [0 ; 4].
2. D’après le signe de f ’, on peut exclure la seconde
courbe 𝒞2. f ’(0) = – 1, donc la courbe de f ’ est la troisième courbe 𝒞3.

101 1. Les coûts fixes de l’entreprise sont donnés
par f (0) = 20, donc les coûts fixes s’élèvent à
20 000 euros.
2. Cm(x) = f ’ (x) = 3x2 – 8x + 11,
donc Cm(x) = 3x2 – 8x + 11.
3. Pour cela, on étudie le sens de variation de la
fonction Cm.
C’m(x) = 6x – 8, donc on peut dresser le tableau de
variations de la fonction Cm :
x

4
3

0


C’m

0

11
Cm

4
+
27

17
3

À la lecture du tableau de variations de Cm, on peut
noter que sur [2 ; 4], Cm est continue et strictement
croissante avec f (2) = 7 et f (4) = 27, donc l’équation
Cm(x) = 11,5 admet une unique solution sur [2 ; 4],
notée .
L’entreprise peut donc atteindre un coût marginal
de 11 500 euros pour une production supérieure à
1 tonne.
4. ≈ 2,73. La production est donc de 2 730 kg.
f (x)
5. Le coût moyen est donné par le quotient
,
x
pour une quantité x exprimée en tonnes.
Pour 2 730 kg, le coût moyen est donné par :
f (a)
≈ 14,9.
a
Pour une production de 2 730 kg, le coût moyen est
de 14 900 euros par tonne produite.

102 a. 5 est le maximum de la fonction g sur
[– 1 ; 10], donc la proposition est vraie.
b. La fonction g est décroissante sur [4 ; 10], donc,
sur [4 ; 10], il existe des nombres pour lesquels
g’(x) < 0, donc la proposition est fausse.
c. La fonction g est croissante sur [– 2 ; 4], donc la
proposition est vraie.
d. La fonction g est strictement décroissante et
continue sur [– 5 ; – 2] de 12 à – 10, donc g(x) = 6
admet une solution, donc la proposition est fausse.
e. Par lecture du tableau de variations, sur [– 1 ; 10],
le minimum de f est 0, donc il n’y a pas de solution
à l’équation g(x) = – 8. Il y a une solution sur chacun
des intervalles [– 5 ; – 2] et [– 2 ; – 1], donc la proposition est vraie.
f. – 1 est solution et sur [– 5 ; – 2], g(x) = 0 admet une
autre solution, donc la proposition est fausse.
g. g est croissante sur [– 2 ; 4], donc g’(– 1) ⩾ 0, donc
la proposition est vraie.
h. g est décroissante sur [4 ; 10], donc g’(5) ⩽ 0,
donc la proposition est vraie.
103

1. On peut simplifier B(x).
10 10
On obtient B(x) = −2 +

.
x x
1
−10 ×
2
x − −10 = −5 + 10 ,
B ′(x) =
2
x x x2
x2
x

( )

10 − 5 x
.
x2
Or x2 > 0 sur [1 ; 10], donc le signe de B’(x) est celui
de 10 − 5 x .
10 − 5 x > 0 revient à 10 > 5 x soit 2 > x soit 4 > x.
donc B ′(x) =

2. Fonctions • 45

D’où le tableau de variations de la fonction B :
x

1

4

B’


+

0



0,5

10


B
▶▶▶≈▶0,16

–2

2. a. À la lecture du tableau de variations, on obtient
un bénéfice unitaire maximal pour une production
de 4 000 pièces vendues.
b. À la lecture du tableau de variations, B(x) = 0,35
admet deux solutions qui sont, arrondies au
millième, 2,581 et 7,016, donc pour une production
de 2 581 pièces ou 7 016 pièces, on obtient un bénéfice unitaire de 0,35 euro.

104

1. f ′(x) =

(

)

2

3 3x + 1 − 3x × 6x
(3x 2 + 1)2

=

(

)

2

9x + 3 − 18x
(3x 2 + 1)2

2

2
−9x 2 + 3 3 1 − 3x
=
2
2 =
2
(3x + 1)
(3x + 1)2

donc f ′(x) =

(

)(

3 1− x 3 1+ x 3
(3x 2 + 1)2

(

(

)

On en déduit le tableau de variations de la fonction f :

f’

1
3



+

0



≈▶0,87

100


f
0

▶▶▶≈▶0,01

3. On cherche les solutions de l’équation f(x) = 0,65.
Par lecture de la machine à calculer, on obtient
deux valeurs qui sont au millième près ≈ 0,261 et
≈ 1,278, donc l’intervalle [ ; ] a une longueur
supérieure à une minute, donc l’insecticide a été
désagréable.

105 1. Au bout de 3 heures, il a parcouru environ
51 km.
2. Il est arrivé à la ville B lorsqu’il a parcouru 80 km,
donc au bout de 4 heures.
3. Il est resté presque 2,5 heures.
4. Il semble atteindre sa vitesse maximale en allant
de A vers B au bout de 3 heures quand la pente des
tangentes est la plus grande en valeur absolue.
Il semble atteindre sa vitesse minimale en allant
de A vers B au bout de 2 heures quand la pente des
tangentes est la plus petite en valeur absolue.
46 • 2. Fonctions

100 000
80 000
60 000
40 000

0

donc le signe de f ’ (x) est celui de 1 − x 3 .

0

I
120 000

R

2. (3x2 + 1)2 > 0 et 1 + x 3 > 0 pour x de [0 ; 100],

x

106 1. I(40 000) = 0,14 × 40 000 – 4 017,39 = 1 582,61,
donc le montant de l’impôt pour un revenu de
40 000 euros est 1 582,61 euros.
I(63 000) = 0,14 × 63 000 – 4 017,39 = 4 802,61, donc le
montant de l’impôt pour un revenu de 63 000 euros
est 4 802,61 euros.
2. La courbe de I est la suivante.

20 000

).

)

5. Il semble atteindre sa vitesse maximale en allant
de B vers A au bout de 8,5 heures quand la pente des
tangentes est la plus grande en valeur absolue.

50 000 150 000 250 000 350 000

3. Par lecture graphique, la fonction I est strictement croissante.
4. I(20 000) = 0,055 × 20 000 – 983,91 = 116,09,
donc le montant de l’impôt pour un revenu de
20 000 euros est 116,09 euros.
I(30 000) = 0,055 × 30 000 – 983,91 = 666,09, donc le
montant de l’impôt pour un revenu de 30 000 euros
est 666,09 euros.
Le pourcentage d’augmentation entre 20 000 euros
et 30 000 euros est donné par :
666,09 − 116,09 55 000
100 ×
=
= 5,5 ,
30 000 − 20 000 10 000
donc le pourcentage d’augmentation est 5,5 %.
I(50 000) = 0,14 × 50 000 – 4 017,39 = 2 982,61, donc le
montant de l’impôt pour un revenu de 50 000 euros
est 2 982,61 euros.
I(60 000) = 0,14 × 60 000 – 4 017,39 = 4 382,61, donc le
montant de l’impôt pour un revenu de 30 000 euros
est 4 382,61 euros.
Le pourcentage d’augmentation entre 50 000 euros
et 60 000 euros est donné par :
4 382,61 − 2 982,61 140 000
100 ×
=
= 14 ,
60 000 − 50 000
10 000
donc le pourcentage d’augmentation est 14 %.

107 Les étapes de construction de la boîte
Si on prend la page, comme sur la figure, en format
paysage, on obtient le volume suivant :
29,7
x × 2x × (21 – 2x) où x =
= 4,95.
6

Le volume de la boîte est donc environ 544 cm3 soit
environ 0,544 litre.
Optimisation du volume de la boîte
60
a. On dispose de 6 plis équidistants, donc x ⩽
,
6
donc x est bien compris entre 0 et 10.
b. Pour x = 10, le volume de la boîte est 1 000 cm3 soit
1 litre. Pour x = 8, le volume de la boîte est 1 152 cm3
et pour x = 5, le volume de la boîte est 750 cm3.
Le volume de la boîte en fonction de x n’est pas
monotone, c’est-à-dire qu’il est d’abord croissant
puis décroissant.
c. En fonction de x, le volume de la boîte est :
V(x) = x × 2x × (25 – 2x) = 50x2 – 4x3 = f (x).
d. f ’(x) = – 12x2 + 100x = 4x(– 3x + 25).
Le signe de – 12x2 + 100x est donné par :
–3

x



–12x 2 + 100x

25
3

0
0

+

0

+3


On en déduit le tableau de variations de la fonction f :
x

25
3

0
+

f’




0

10

d’où le tableau de variations de Cm :
x

250
9

0
+

f’
f

0



200

1 000
≈▶61

6. La valeur pour laquelle le coût marginal est
250
minimum est
≈ 28, donc pour 28 jet skis.
9

109 1. La fonction C semble être concave sur [0 ; 5]
puis convexe ensuite, donc la courbe de C admet un
point d’inflexion qui a pour abscisse environ 5.
2. Le coût marginal C m(x) est le nombre dérivé
de C en x. Par lecture graphique, pour obtenir le
minimum de la fonction Cm, il faut observer quand
la tangente a un coefficient directeur le plus petit.
C’est donc au niveau du point d’inflexion, donc
l’abscisse cherchée est encore 5.
3. C’(x) = 0,036x2 – 0,36x + 1.
∆ = – 0,0144 < 0, donc il n’y a pas de solution.
On en déduit le tableau de variations de C :



x

1

≈▶1 157

13
+

C’

f
0

100

≈▶10

▶▶▶1 000

C
≈▶1,8

e. f (x) = V(x), donc la boîte a un volume maximal
25
pour x =
. Sous cette condition, la boîte a une
3
25
50
cm et un fond carré de côté
cm.
hauteur de
3
3

108 1. Les coûts fixes de production sont donnés
par C(0) = 1 000, donc les coûts fixes de production
sont 1 000 euros.
2. Par lecture graphique, le coût total est inférieur à
10 000 pour une production d’une quantité d’objets
inférieure à 67.
3. La fonction C semble être concave sur [0 ; 28]
puis convexe ensuite, donc la courbe de C admet un
point d’inflexion qui a pour abscisse environ 28.
4. Le coût marginal Cm(q) est le nombre dérivé
de C en q. Par lecture graphique, pour obtenir le
minimum de la fonction Cm, il faut observer quand
la tangente a un coefficient directeur le plus petit.
C’est donc au niveau du point d’inflexion, donc
l’abscisse cherchée est encore 28.
5. Cm(q) = C’(q) = 0,18q2 – 10q + 200.
Pour étudier les variations de Cm, il faut calculer
250
C’m(q) = 0,36q – 10, qui s’annule pour la valeur
9

4. Par lecture du tableau de variations de C, on peut
noter que l’équation C(x) = 6 admet une unique
solution α = 10,86, au centième près. Le coût total
est donc inférieur à 6 000 euros pour une quantité
produite inférieure à 1 086 flacons.
5. Pour cela, on calcule C’’(x) = 0,072x – 0,36 qui
0,36
= 5 et on dresse le tableau de
s’annule pour
0,072
variations de la fonction f ’.
x
f ’’

1

5


0

13
+

f’
La dérivée change de sens de variation en 5, donc la
fonction change de convexité en 5, donc la courbe 𝒞
admet un point d’inflexion au point d’abscisse 5.
6. a. R(x) désigne la recette, réalisée en vendant
x centaines de flacons, exprimée en milliers d’euros.
Pour x flacons vendus, exprimé en centaines, la
recette est donc 100 × x × 10 euros.
En milliers d’euros, on obtient donc R(x) = x.

2. Fonctions • 47

Donc B(x) = R(x) – C(x)
= x – (0,012x3 – 0,18x2 + x + 1)
= x – 0,012x3 + 0,18x2 – x – 1,
donc B(x) = – 0,012x3 + 0,18x2 – 1.
b. On trace la courbe de la fonction B et on obtient
la figure suivante :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

L’entreprise a intérêt à produire pour au moins
260 flacons et son bénéfice est maximal pour 1 000
flacons.
c. B’(x) = – 0,036x2 + 0,36x = 0,036x(10 – x), x est
positif, donc le signe de B’(x) est celui de 10 – x d’où
le tableau de variations de B :
1

10

B’


+

0



5

13


B
▶▶▶3,056

–0,832

On peut noter que le maximum est bien atteint pour
1 000 flacons.
À la lecture du tableau de variations, f (x) = 0 admet
une unique solution qui est environ 2,591, donc
pour que le bénéfice soit positif, il faut produire au
moins 260 flacons.

110

1. a. f ’ (x) = 3x2 – 10x + 3.

On étudie le signe de f ’ (x) en calculant ∆ = 64. Il y a
1
donc deux solutions qui sont x1 =
et x2 = 3.
3
On en déduit le signe de f ’ (x) et le tableau de variations de f :

f’

5
3

–3


f ’’

0

+3
+

5
3
donc le point I est un point d’inflexion de la courbe
𝒞f .
1
x1 + x 2 3 + 3 5
=
= = xI et
2
2
3
121
f (x1 ) + f (x 2 ) −5 + 27
7
⎛ 5⎞
=
=−
= f ⎜ ⎟ = yI.
⎝ 3⎠
2
2
27

c. La dérivée change de sens de variation en

0

x

x

f’

y
5
4
3
2
1

x

b. f ’ ’(x) = 6x – 10 d’où le tableau de variations de f ’ :

1
3

–3


f

0

3
+

0



(

)

donc x > 1,562 5. Notons x0 = 1,562 5.
On en déduit le tableau de variations de la fonction C :
x

1

f

x0


f’

121
27
–5

48 • 2. Fonctions

+3

Donc I est le milieu de [M1 ; M2].
2. a. Voir CD.
b. On observe que les points M1 et M2 n’existent pas
toujours et que, s’ils existent, le point I est le milieu
de [M1 ; M2].
c. • Dans le cas où M1 et M2 existent :
Si a > 0, alors la fonction est concave jusqu’en xI et
convexe après.
Si a < 0, alors la fonction est convexe jusqu’en xI et
concave après.
• Dans le cas où M1 et M2 n’existent pas :
Si a > 0, alors la fonction est concave puis convexe
après.
Si a < 0, alors la fonction est convexe puis concave
après.
1
111 1. a. C ′(x) = 0,4 −
.
2 x
En mettant au même dénominateur, on obtient :
0,8 x − 1
C ′(x) =
.
2 x
b. 2 x > 0 pour x > 0, donc C’(x) est du signe de
0,8 x − 1 .
1
0,8 x − 1 > 0 équivaut à 0,8 x > 1 , soit x >
,
0,8

0

30
+
≈8

0,9
0,875

2. C(1) = 0,9 et C(2) ≈ 0,886 donc, à la lecture du
tableau précédent, le promoteur doit construire
deux maisons pour que le coût de production soit
minimal.

3. a. Chaque maison est vendue 280 000 euros,
donc R(n) la recette en fonction du nombre de
maisons vendues est R(n) = 0,28n.
Donc :
B(n) = R(n) − C(n) = 0,28n − 0,4n + 1,5 − n

(

= 0,28n − 0,4n − 1,5 + n ,
donc B(n) = − 0,12n − 1,5 + n .
On obtient la figure suivante :

y
0,5
0,25
– 0,25

)

B est strictement croissante sur [1 ; 17] et strictement décroissante sur [18 ; 30].
b. B(17) ≈ 0,583 1 et B(18) ≈ 0,582 6, donc le bénéfice est maximal pour 17 maisons construites et
vendues. Le bénéfice est alors de 583 100 euros.
c. Par lecture graphique, la solution de B(x) = 0 a
pour solution une valeur proche de 3,8, donc le
promoteur doit construire au moins 4 maisons pour
ne pas travailler à perte.
d. Par lecture graphique, la solution de B(x) = 0,2
a pour solution une valeur proche de 5,66, donc
pour que le bénéfice du promoteur soit supérieur à
200 000 euros, il doit produire plus de 6 maisons.

0 5 10 15 20 25 x

– 0,5

2. Fonctions • 49


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