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Guide de Mécanique Fanchon .pdf



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JEAN-LOUIS FANCHON
Professeur agrégé de Mécanique
Ancien élève de ENS Cachan

0

NI

Sciences et technologies industrielles
Statique.

Cinématique.

Dynamique.
Résistance des matériaux.
Élasticité.
Mécanique des fluides.

NATHAN

i

NOT~ONS

GÊ2NkRALES

1 . Vecteurs .

. . . ................,...._..._.__.........................

.

5

Scalaires. Définitions. Addition, soustraction, associativité et multiplication par un scalaire.
Coordonnées cartésiennes. Vecteurs positions. Produit scalaire. Produit vectoriel. Formule du
double produit vectoriel.

15

2. Forces et vecteurs-forces .._..........................................................................................................

Forces et vecteurs-forces. Composantes. Coordonnées cartésiennes. Exercices.

3. Moment et couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :.i .._._.. ._. . . . _. _.. ._. . _. . . :. . . i.Y ............__.,I T,. I . . . . . . . . . . . . . :.Y:. .~. _.___.. .~ _..
Moment d’une force par rapport à un: point. Théo&ede V%ignori.

d’une force par rapport! un axe. Couple.‘et vecteur7couple.

Exercices.

Morne&

19

Ve&eu+monient.

Moment”

résultant de plusieurs forces.

4. Notion de résuïtank .._,~._.._____...........,,...,....~............,,....,...............,........,.....................,........,.....~,.,,..~......,...,,

A.. 29

Définitions et propriétés. Résultante de forces concourantes. Cas d’un système de forces planes
quelconques. Cas de forces parallèles. Réduction d’un système de force à un ensemble (force +
couple). Exercices.
STATIQUE

5. Statique plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.‘. . . . . . . . . . . . ............................ . . 3 7

Principe fondamental. Principe de transm+ibilité
des forces. Méthode de résolution. Isolement
d’un solide. Cas des ensembles de solides. Equations d’équilibre. Schématisation et représentation
des actions mécaniques, Méthodes de résolution graphiques. Problèmes hyperstatiques.
Exercices.

6. Treillis ou systèmes triangulés ..............._I: ......l,._,l.t. 1.._.._....__._.................................................................

67

7. Frottement .,.,.._..._....,..,..................,........,..........................,...............................................................................................

77

8. Statique dans l’espace ,...._............._....................................................................................................................

93

Définitions. Hypothèses. Relation entre nœuds et barres. Méthode des noeuds. Méthode de
Crémona. Simplifications et cas partkukrs .Méthode des sections. Exercices.

Adhérence et frottement. Coefficient de frottement. Cône de frottement. Lois du frottement.
Applications : coins et cônes, palier lisse, paliers à butée, système vis-écrou, courroies et câbles.
Résistance au roulement. Arc-boutement. Exercices.
Rappels. Principe fondamental de la statique. Cas particuliers. Exercices.

9. Statique p a r les torseurs .._..._.._..._.....................................

i

.

.

.

.

.

. 105

Systèmes statiquement équivalents. Définitions et notations. Ecriture d’un torseur en différents
points. Opérations. Torseur
nul, glisseur et torseur-couple. Propriétés générales. Principe fondamental de la statique. Torseurs exercés par les liaisons usuelles. Exercices.

10. Cinématique : généralités et trajectoires .,....__._....._..._.......................................................

127

11. Mouvement d e translation . . . . . . . .

141

Repère de référence. Mouvement absolu et relatif. Principaux mouvements plans de solide. Points
coïncidents et trajectoires. Vecteur-position. Vecteur-déplacement. Vitesse et accélération.
Repérage des mouvements. Exercices.
Translations des solides. Translations rectilignes : vitesse et accélérations, représentations
graphiques divers. Mouvement rectiligne uniforme. Mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Mouvements rectilignes divers. Exercices.

12. Mouvements d e rotation . . . . . . . .

.

15 1

Angle de rotation. Vitesse angulaire. Accélération angulaire. Rotation uniforme. Rotation uniformément accélérée. Vitesse et accélération d’un point. Vecteur rotation. Vecteur accélération
angulaire.
Exercices.
0 Editions Nathan, 9 Rue Méchain 75014 Paris 199fT.‘kBN*2.f.Ri7&76.~

2

ouvem~t plan .,

,. 1

&ale, Équiprojectivité des vitesses. Centre instantané de rotation (GIR). Propriétés des
CIR. Base et roulante. Relation entre les vitesses des points d’un même solide. Relation entre les
accélérations. Exercices.

14. Composition d e mouvements

1

Ci&$r&és. Composition des vitesses en un point. Composition des vitesses angulaires.
GIissement,
roulement et pivotement. Composition des accélérations. Exercices.

15. Cinématique dans l’espace .

Dérivée d’un vecteur dans divers repères. Relation entre les vitesses des points d’un même
de. Équiprojectivité. Torseur cinématique. Torseurs des liaisons usuelles. Relation entre les accélérations. Composition des vitesses, vitesses angulaires, accélérations et accélérations angulaires.
Paramétrages. Angles d’Euler.
Théorie des mécanismes. Exercices.
~YNAM~Q~~-~~N~T~Q~~

16. .~amique-mouvements

plans .:

Principe fondamental : solide en translation rectiligne. Repères absolus et galiléens. Temps
tif et absolu. Principe de d’Alembert. Principe fondamental : solide en rotation (axe fixe). Centre
de percussion. Mouvements pendulaires. Principe fondamental : solide en mouvement plan. Cas
des ensembles de soIides. Systèmes dynamiquement équivalents. Exercices.

17. hergétique

,.

Notions. Travail d’une force. Travail d’un couple. Énergie potentielle. Énergie cinétique : tr
tion, rotation, mouvement plan. Puissances : moyenne, instantanée, d’une force, d’un couple,
d’un torseur. Notion de rendement. Théorème de l’énergie cinétique. Loi de conservation de
l’énergie. Principe du travail virtuel. Exercices.

18. Quantité de mouvement - chocs .._........................................................................................

Quantité de mowement. Théorème de la quantité de mouvement. Impulsion. Moment cinétique.
Théorème du moment cinétique. Impulsion angulaire. Solide en rotation autour d’un axe fixe. Cas
des ensembles de solides. Conservation de la quantité de mowement. Notion sur les chocs.
Exercices.

19. Cinétique dans l’espace T

. 247

Système à masse conservative. Quantité de mouvement. Moment cinétique. Torseur
cinétique.
Théorème de la quantité de mouvement et du moment cinétique. Matrice d’inertie. Energie cinéqque. Théorème de l’énergie cinétique. Principe fondamental de la dynamique. Principaux cas.
Equilibrage des solides. Mouvements gyroscopiques. Exercices.
RESISTANCE

DE~

ésist~~ce

MATÊRXAwx

des

arts intérieurs ou de cohésion. Sollicitations
simples et composées. Notion de contrainte. Hypothèse de Barré de Saint-Venant. Notions sur
les coefficients de sécurité. Exercices.
Définition. Effort normal. Contrainte normale. Étude des constructions. Allongements.
Contraction latérale. Loi de Hooke. Essai de traction. Concentrations de contraintes. Contraintes
d’origine thermique. Systèmes hyperstatiques. Contraintes dans une section inclinée. Exercices.

22.

Cisaillement

Définition. Effort tranchant. Contrainte tangentielle. Calcul des
ment. Relation contrainte déformation. Application. Exercices.

constructions.

Angle

de

2

glisse-

le unitaire de torsion. Moment de torsion. Contraintes tangentielles. Relation entre
moment et angle unitaire de torsion. Relation entre contrainte et moment de torsion. Calcul des
constructions. Concentrations des contraintest~ AppWitIon. Cas des poutres non circulaires.
Exercices.
Schématisation usuelle. Effort tranchant. Moment fléchissant. Diagrammes. ‘Correspondance
entre diagrammes. Principaux cas d’application. Exercices.

.
.
.
337
Contraintes normales en flexion. Calcul des constructions. Concentrations de contraintes.
Contraintes de cisaillement en flexion. Exercices.

25. Flexion : contraintes

349

26. Flexion : déformations

Notion de déformée. Méthode par intégration. Principe de superposition. Formulaire. Exercices.

27. Flexion : systèmes hyperstatiques
Exemples. Methode

par superposition. Méthode par fntégration.

361
36

28. Flexion déviée

Poutres ayant au moins un pIan de sym&rie
non symétriques. Exercices.

Hicitations composées
Torsion

Exercices.

: c&rtraintes,

plan neutre,’ exemples. Cas de poutres

I

plus traction. Flexion plus torsion. Tr&ion plus torsion. Traction plus cisaille
plus cisaillement. Exercices.

.387
ge
e d’Euler. Principaux cas de flambage. Contraintes critiques. Flambage plastique des
colonnes moyennes. Procédures de calcul. Charges excentrées : formule de la sécante.

31. Analyse des

Analyse des contrain
ations de transformation. Contraintes principales. Contr
de cisaillement maximales. Cercle de Mohr. Loi de Hooke. Contraintes triaxiales. Tricercle de
Mohr. Application aux enveloppes minces. Critères de limite élastique : Tresca, Von Mises,
Coulomb et Mohr. Exercices.

32. Analyse des déformations,

.

.

421

Analyse des déformations planes. Equations de transformation. Déformations principales.
Glissement maximum. Cercle de Mohr. Application aux jauges de contraintes. Loi de Hooke
généralisée. Comparaison entre contraintes planes et déformations planes. Exercices.
fVTÉCANIQUE

DES FLUIDES

Généralités. Viscosités. Types de fluides. Pression en un point d’un fluide. Relation entre pression, profondeur et pesanteur. Poussée d’Archîmède.
Forces et pression sur une paroi immergée.
Exercices.
.
Notions sur les écoulements. Équation de continuité. Écoulement laminaire et turbulent. N
de Reynolds. Pertes de charges régulières et singulières. Equation de Bernoulli. Théorème d’Euler
ou de la quantité de mouvement. Exercices.

ANNEXES
1. Centre de gravité, centre de masse, barycentre

463

Centre de gravité ou centre de masse : définition, position, propriétés. Barycentre. C&.des‘solides
composés. Formulaire.

*.., ,... .,.. . . . . . . . . . . . .
467
Moments quadratiques par rapport à un axe et par rapport à un point. Cas des surfaces composées. Formule de Huygens. Produits d’inertie. Formules de rotation d’axe. Axes principaux. Cas
des profilés usuels. Formulaire.

2. Moments quadratiques __

3, Moment d’inertie et matrice d’inertie _. _. . .

473

Index _.. ._ .__

478

Moment d’inertie par rapport à un axe. Rayon de gyration. Changement d’axe. &rs’d, solides
composés. Produits d’inertie. Matrice d’inertie. Théorème de Huygens généralisé. Formulaire.

4

__ _.

.___ ,_ ._ ._. ___ _._ _. ___. _. _.__ ,. __ ___._.___._ . . . . _._.__ _.. .

VECTEU
WDéfinir les notions de scalaire et de vecteur.
m Décrire les principales opérations réalisées sur les vecteurs,
les coordonnées cartésiennes d’un vecteur et la notion
de vecteur-position.
~Définir le produit scalaire et le produit vectoriel de deux
vecteurs.

En mécanique, les vecteurs sont utilisés pour représenter les forces (3 AT& les
moments (2, MCQfi),
(0, Z), etc.

1 es vitesses ($ V,,,), les accélérations (a: a,,,), les contraintes

Les scalaires sont des nombres positifs, négatifs ou nuls, utilisés pour représenter des
quantités diverses : temps, température, masse, énergie, volume, etc.

Par exemple, les nombres 20, 18, 50 sont les scalaires des grandeurs suivantes : hauteur de 20 m, volume de 18 m3, force de 50 N.

a) La direction est la droite qui porte le vecteur.
Elle est définie par l’angle 8 mesuré entre un axe
de référence et le support.
b) Le sens représente l’orientation origine-extrémité du vecteur et est symbolisé par une flèche.
c) L’intensité, norme ou module, représente la
valeur de la grandeur mesurée par le vecteur.
Graphiquement, elle correspond à la longueur de
celui-ci. Notation : V, I v’l ou 1 VI].

extrémité

direction ou support
Fig. 1

d) Le point d’application est le
point qui sert d’origine à un représentant (ou image) du vecteur.
Remarque : définir un vecteur,
c’est connaître les quatre paramètres précédents.

Fig. 2

Vecteur glissant ou glisseur : vectew dont le point d’application peut &e queiconque sur un support ou une ligne d’action imposée,
Vecteur lié ou pointeur : vecteur ayant un point d’application.

- Opérations sur les vecteurs
1. Addition
Des vecteurs de même nature peuvent être additionnés pour brmer un trok&ne vecteur appelé vecteur-somme.
Exemple : déterminons la somme sdes deux vecteursx

et $proposés.

Remarque : l’addition peut être réalisée à partir d’un triangle de construdion (conditions : xet gdu triangle doivent être parallèles et de mêmes longueurs que les vecteurs
?? et Ë! d’origine) QU par un parallélogramme Oabr (Ou // br et Ob II ar), encore appelé
règle du parallélogramme.
Cas de vecteurs parallèles
A
-

(3)

Fig. 4

6

R

Ë
t

l

=

(4)

l

(4+3=7)
*

--------)------------*
A
Ë

2. Soustraction
La différence entre les vecteurs xet Bfse ramène à une addition en ajoutant le vecteur
opposé (-B’).

triangle de construction

parallélogramme

R-7

3. Commutativité
L’opération d’addition entre vecteurs est commutative.
Autrement dit : x+ B)= B’+ z= R’

Fig. 6

Remarque : cette propriété est illustrée par la règle du parallélogramme.

4. Associativité
L’opération d’addition entre plusieurs vecteurs x, 3, c’est associative.
Autrement dit : x+ sou E>+ C>peuvent être remplacées par leur vecteur somme dans
l’addition globale.

Ë

------

Fig. 7

5. Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Les sommes (A++ A+) et (I?+i- Bt + B’) s’écrivent simplement sous la forme @et 3E+,
produit des scalaires 2 et 3 par les vecteurs xet rr’.
De la même façon, on peut écrire -3F’, - i J . . .
Si A a pour intensité 100 Ï$ les
intensités de 0,5x, de 2,SA’et de
-22 seront respectivement de
50 N, 250 N et 200 N.

1. Vecteurs unitaires
Les vecteurs T,Tet k sont des vecteurs
unitaires d’intensité égale à 1.
YY
I , 1 et < sont les vecteurs de base du
repère orthonormé (0, x, y, z).
117ll = ll7ll = II~I1 = 1

Remarque : les vecteurs unitaires des
axes x, y, 2 sont parfois notés 2, j? et ,Z

X

9g. 9

2. Coordonnées dans le plan
Dans le plan, le vecteur v’a pour
coordonnées q et q,

I

_,

v.= vcos 6
--------I
I

i

Vy= Vsin 0

I
X
i

I

1

Fig.10

Exemple
Déterminons le module et la direction du vecteurF)ayant pour coordonnées cartésiennes
4 suivant x et 3 suivant y.
8

? a un angle 6 = 36,87O par rapport à (0, x)
intensité ou norme :
pq=F=m%5
Remarques
Fx=Fcos8=5cos36,87=4
F, = F sin 8= 5 sin 36,87 = 3

/

F,=4

Fig. 11

3.Coordonnéesdansl'espace

Autre expression :
F,= F. COS 13,
F,= F. COS 6,
F,=F. COS 8,

Fig. 12

Avec :

Ekemnle : Déterminons le vecteur unitaire de la directionduvecteurFf=
37+4j+ 5 k’
,
a

F=&?-z-z=7,071
3 = 10 , 4 2 4 d ’ o ù 6X = 64,9”
COS ex = 7,07
0,566 d’où ey = 55,5”
~
COS e =--ik7,071 = 0,707 d’où ez = 45”
Vérification : COS~ 6, + cos2 8 y + cos2 8, = 0,4242 + O,5662 + 0,7072 = 1
Le vecteur unitaire s’écrit : $ = 0,424 . f + 0,556 .7+ 0,707 . 2

4.Additiondevecteursencoordonnéescartésiennes
Soitnvecteurs~,Fci,...,~“,decoordonnées:F:=F,x.~cF,y.9+F,z.~

s’=S, I+S,j+S,kj

avec &=X~;X ; S,=Çrjir ; S,=Cc2

F, est obtenue en ajoutant les coordonnées carLa somme ‘-Sdes n vecteurs F]j, c, . . . , -)
tésiennes de même axe entre elles.
Exemple : déterminons la somme des trois vecteurs FT, FTet F3>proposés.

Fig. 14

-s=$+$+g=(-1+3+4)~+(2+3+1)~=61+6~
S,=6 ; S,=6 ; S=d==&5
S

tan $=-$=~=l

;

et $=450.

5.Formulesutilespourlesadditionsdevecteur

Fig. 15

V - Vecteurs positions
Les vecteurs positions sont utilisés pour repérer la position d’un point ou pour représenter un segment ou une distance.
10

1. Position d’un point A dans l’espace

Remarque : dans un plan (x, y),
z=$donnes=X,.I+
Y,.7
F?g. 16

2. Représentation d’un segment ou d’une distance Al3

Exemple

G 0 62 160
10
ii
ii7

------

unité : mètre

a=(6-O)?+(lO-O)f+(7-lO$
=61+10f-32

A
= 2/62+ lo”+ 3’ = 12,04 mètres
II~I1
X

Fig.18

1. Définiion
Le produit scalaire du vecteur xpar le vecteur z, noté x B’ , est égal au produit des
modules des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle (0) entre leurs directions
respectives.

Si:??=A,.I+A,.j+A,.ft
B)=B, .I+B,.j+BJG

Fig. 19

Remarques : le produit des deux vecteurs est un
nombre ou un scalaire et pas un autre vecteur.
Si xet ‘B)sont perpendiculaires (0 = 90”) alors 2. 3 = A . B COS 90” = 0.

2, Propriétés
XB)=ZA+
A+.(E++c’)=~.Ë?+ÂY
k(r . I?) = (kA’) . B’= ï?. (kg) = kA’. fS’(k étant un scalaire)
Remarques
T+?
I . I=l ; y& 1

; Z.Z=l ; 1.L() ; I.“=o; C.f=o

Exemple : déterminons le produit scaiaire
7x+=47+47

B’= 71-37
A’. ‘Ei’= (4 x 7) - (4 x 3) = 16

des vecteurs xet gfproposés.

Y4

A=&?-?=5,66
B=dm=7,62
8 = 45” + 23,2” = 68,2”
A’. i? = 5,66x 7,62x

COS

68,2” = 16
Fig. 20

- Produit vectoriel

vecteurs

1, Définition
Le produit vectoriel du vecteur x par le vecteur f?, noté TA~, est un vecteur C) perpendiculaire au plan $, 3 et tel que :
avec Ilc’il=A.BsinBet{l~ll=

1

1. Vecteurs

droite

règle des trois doigts de la main droite

Propriétés : C(ou UC) est à la fois perpendiculaire à xet B’!
@, @, c) pris dans cet ordre forment un “trièdre” direct (analogie avec les axes x, y, z)
ou obéissent à la règle des trois doigts de la main droite (ou r&gle du “tire-bouchon”).
Le produit vectoriel n’est pas commutatif ; PC* B’= -Br\ A+
A+i@+c’)=lm3++~*c’
k(& Ë?) = k z! B’ = x, kB’ (k étant un scalaire).
Remarque : si 2X+ et I? sont parallèles alors X* B’ = 0’ .

2. Calcul en coordonnées cartésiennes
Si??=A,.f+A,.j+A,.
etE+=B,.IetB,.j+B,.Z

k
alors:

Principe de détermination à partir des produits en croix

‘Cx=AyBz-AzBy=

&j$=& Cy=AzBx-AxBz=-

Exemple
A2
0
ii

85
0ii

$0 =2x0-5x0
l

l
A/d

A=47 +zj
B=3i +5j
=o

- “0; =-(4x0-3x0)=0
l
I
/

25 =4x5-3x2=14
/

i
A*B=14k

~
1
Fig.

22

Fig.

4.Formuledudoubleproduitvectoriel
A+A(BAc+) =B+(A: C)--c'txT)

23

FORCES ET
VECTEtJitS-FORCES
OBJECTIFS
D Définir la notion de force et de vecteurs-forces.
mDécrire les composantes et les coordonnées cartésiennes
d’une force.

*

OII

rce

En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser ou schématiser des charges
concentrées et des résultantes d’actions mécaniques très diverses (poids, attraction
magnétique, etc.).
Les forces sont représentées par des vecteurs-forces ayant les propriétés générales des
vecteurs (voir chapitre précédent) : opérations, coordonnées, produit scalaire, produit
vectoriel.

vée daN, kN, etc.), une direction, un sens et un point d’application (ou un p o

Remarque : les forces sont aussi appelées glisseurs (voir chapitre torseurs).
Exemple 1

schématisation

j!j&

L’action de contact exercée par le câble (2) sur le support (
le vecteur-force A,/;, de point d’appkcation A, de direction ceIl&’ au* ~abl&,^ CiT?tensité
1 000 daN, de sens A vers I (le câble tire sur le support).
Exemple 2

Fig. 2

Au moment du tir, l’action de contact exercée par le pied du footballeur (2) sur le ballon (1) est schématisée par le vecteur-force T
2,1, point d’application 7: incliné de 40” par
rapport à la verticale (y), d’intensité 15 N, de sens T vers K (vers l’intérieur du ballon).
Le poids du ballon est schématisé par le vecteur-poids c(résultante des actions de
pesanteur sur le ballon), vertical (axe y), intensité 5 N, sens du haut vers le bas et de point
d’application G, le centre de gravité du ballon.

II - Composantes d’une force
Une force ragissant en un point A peut toujours être remplacée par deux autres forces ou
composantes (u’et v’) agissant au même point et vérifiant la condition F)= u”+ v’.
C’est le cas inverse de la rksultante et il existe une infinité de solutions possibles en fonction
des directions choisies au départ.

Fig. 3
Remarque : lorsque u’et &Ont

orthogonales ou perpendiculaires, les composantes sont dites orthogonales.
Par exemple, dans le cas de la figure 4 :
F+=q+q
gX et q sont des composantes orthogonales particulières suivant les directions x
ety.
.

1
16

gI - Coordonnées cartésiennes d’une force
On peut considérer les coordonnées cartésiennes F, et F, comme étant des composantes
urthogonales particulières de la force F)dans les directions x et y.

rxg. 3
Exemple : reprenons l’exemple 1 du paraqraphe 1 et déterminons les coordonnées carté-

siennes de la force A,, .

Ax=Az,lcos300 =lOOO x0,866 = 866daN
A,=-Az/,sin30”

=-1000x0,5 = -5OOdaN

A;l=866?-500]
tan30°=AX=$$2$

=0,577

IIA2/;11=d8662+50d =lOOO

Fig. 6

emarque : dans l’espace, la force F possédera trois coordonnées Fx>, E, z dans les
directions (x, y, z). Même principe que les vecteurs dans le cas générai, voir chapitre précédent.

Écrire les coordonnées cartésiennes F, et FY des forces Findiquées en fonction
du module F et des angles a et /3. F = 1 000 N dans les quatre cas.

a=45"

a=80”;P=35”

L’échelle utilisée pour représenter
les forces est 1 mm nour 20 N.
Déterminer les modules des forces G,
g, F3 proposées. Écrire ces modules en
N, daN et kN.

L’action exercée par Ia route 0 sur
la roue motrice 1 est schématisée par la
force Fz Si I’effort normal No/; suivant+ pou-leur 400 daN, déterminer Fo,, et T,,,, (suivant t’) sachant que
FG=G+Gi.

Fig. 8
Fig. 11

L’échelle utilisée pour représenter
les forces indiquées est 1 mm pour 40
daN. Compte tenu de cette échelle, le
tracé des forces 3 y, K Set gest-il
correct ?

q

Sachant que la composante TX de
la tension T’ du câble en A est de
90 daN, déterminer 7;et T.
T, = 30 daN ; T = 94,87 daN.

Fig. 9

q

a) Déterminer Ies coordonnées T,,
et T,, de la tension T, de la barre (1).
b) Déterminer T3 et Tsx si TsY = 100 daN
c) Déterminer T2 si (T1, + ?û, + 13, = 0).
TEX = T,, = 141,4 daN;
T3 = 200 daN; Tsx = 173.2 daN;
T2 = - 314,6 daN.

el . 12

q

a) Determiner les coordonnées cartésiennes de F par rapport aux axes
suivant les directions x’ et y.
Réponse

a) Fx = 153 ; Fy = 129 ; Fx’ = 68,4 ; Fy’ = 188

Fig. 10

18

MOMENTS
ET COUPLES
OBJJXTIFS
H Définir le moment d’une force par rapport à un point et énoncer le théorème de Varignon.
m Développer ia notion de vecteur-moment et de moment d’une
force par rapport à un axe.
n
Décrire et définir les notions de couple et de vecteur-couple.

Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au
corps.

Pour la navette spatiale ci-dessous, au repos dans l’espace lointain, la poussée des
moteurs sch<matisée
par la force F engendre le mouvement de I’appareil.
Si la force F passe par le centre de gravité G de Ia navette, le vaisseau est animé d’un
mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré de même direction que f
(fig. l-a).

Si la force prie passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation. Ces mouvements sont fonction de l’inclinaison
des moteurs ou de la distance a’ (fig. l-b).

sens du mouvement
translation

\
Fig. I

Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est
nécessaire de faire intervenir la notion de moments.

1, Définition
Le moment de la force F’par rapport au point A, noté
M,.,(q, est égal au produit de F par le bras de levier d :
(cl = distance entre A et 71
a) Convention de signe

Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif (c’est le cas de la
figut2).
Si F est inversée, le moment devient négatif (c’est le cas
de la navette autour du point G).

Fig. 2

b) Exemple 1 : Déterminons If 511 de façon que
MJC) + M/&) = 0

(fig. 3)

MA(G) = F,.d, = 240x 0,l = 24 Nm,
M,&) = -Fz. d, = - OJZF,,
M,&) + M,&) = - OJZF, + 24 = 0
et Fz = 200 N.

Fig. 3

Remarque : si B est le pointd’application de F et si la

longueur AB est connue, M,(F) peut être calculé par :

-.*:

I
:..

M,(F) = F. AB _ sin 9

en remarquant que : AB . sin a = d
c) FxempIe

,
1
w!J- 4)

2

Déterminons le couple de serrage exercé par une clé
pIate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de l’effort
(BG) exercé par la main de l’opérateur.
I
Le couple de serrage est égal au moment
en A de l’action B, :
MA = M,(B,,) = Q2 . AB . sin a.
a) Si AB est perpendiculaire à B?
(a= 9O"):M, = &,. AB . sin 90”
=lOOx0,2x1=20Nm.
b)Si a= 60" :
MA1 = 100 x 0,2 x sin 60” = 17,3 Nm.
c)Si a = 45" :
MA2 = 100 x 0,2 x sin 45” = 14,l Nm.
Remarque : plus la main est inclinée, plus

le couple de serrage diminue. Les clés
dynamométriques permettent de réakr
des couples de serrage précis indépendamment de l’inclinaison de bras.

20

Fig. 5

Théorème

Varignon

Fig. 6

Le moment de la force Fau point A est égal à la somme des moments de ses composantes @et V+par rapport au même point.

Pour le cas de la figure 6 : M,(z) = Fd = - U.d, + V.d,
Exemple : déterminons MA$) de la force F
proposée figure 7.
F, = F COS 60” = 1 000 x 0,5 = 500 N,
F, = F sin 60” = 1 000 x 0,866 = 866 N,

+ _

y#? = M,(Fx) + M,(q)
= - 500 x 0,l + 866 x 0,16
= 88,6 Nm = F . d.
ue : le calcul à partir des composantes est ici plus simple que l’application
directe à partir de F.d (détermination de d
plus difficile).

En statique ou en dynamique dans l’espace, la notion de moment scalaire ou algébrique
du paragraphe Z ne suffit plus. Le moment d’une force doit être décrit sous forme vectorielle (vecteur-moment) et défini à partir d’un produit vectoriel.

l.Définiion
Soit u%point B, quelconque, appartenant à la direction de la
force F. Le moment en A de Test défini par le vecteur :

M,(F) est UJ vectex à la fois perpendiculaire à F et à AB.

-

Lemarque : A3 ?et M,(F) suivent la
règle des trois doigts (fi. 9).
Le produit vectoriel n’est pas commutatif :

Fig. 8

Posons ?@‘= r’= r,. ?+ r . I+ r,. 2
et~=F,.?+F,.~+F,.~
à partir du produit vectoriel défini au chapitre « Vecteurs » :

Exemple : déterminons le moment
en A de la force Ta$ssant sur la
poutre encastrée de la figure 10.

Y4

m+= 0,5 i- 0,3 7
r=Fsin30?-Fcos30f
=5OOt-866J+
AB*F;j -y*( -Ek#( E)
M,(F)=-283jt
M,(F) = - 283 Nm.
emarque
AiL f= (0,5 T+- 0,3 7) A (5007- 8667)
= 0,5 1* 500 t- 0,3 j+* 500 c- 0,5 TA 866 j++ 0,3 j+* 866 f
=~+0,3~500~-0,5~866It+~=-283k)

3 . Moments et couples

1 * ornent d’u

port à un

Définition : le moment de la force fl-par 1
rapport à un axe U est égal au produit scalaire de ï? par le vecteur moment M,(F) dans
lequel A est un point quelconque appartenant au support de ti.

Remarque
M,(F) est la projection de M,(Fh sur u.
2 est un vecteur unitaire de la direction (u).

I

Fig. 11

Exemple : déterminons le moment de la force Fpar rapport à l’axe u de l’arbre.
Données :

7A

F= 2OOOi-i 4.0007-lOOOk(N)
6Z= 50 if(mm)

=t. (-0A F,.?+ OA F,.j)

Fig. 12

MU$) = - OA . F, = - 200 Nm
en remarquant que 2 est parallèle à Z
MU@) correspond au couple engendré sur l’arbre par l’action ?Seule la composante F,
est à l’origine de ce couple, F, et F, n’intervenant pas.

IV - Notion de couple et de vecteur-couple
LDéfinition
Le moment engendré par deux forces égales et opposées
ayant des lignes d’action différentes (non colinéaires)
constitue un couple (IV).
L’intensité F.d du couple est indépendante du point 0 choisi ou de la valeur de a. Elle ne dépend que de la distance d
entre les deux forces et de l’intensité F.
M=M,C~+~~(-~=@(u+d)-Fa

=I=.‘d
Fig. 13

2.Vecteurauple
Soit A et B deux points quelconques
des supports de (n et (-Fi.

Z

t

3 est perpendiculaire au plan formé
par Tet -I?
Fmarques
I~M/i=AB.F.sinB=F.d’
S=M,(F)LM,-Fj.
~
= OEA FzOAz (-=(OB-OA)*F=ABhF:

Fig. 14

3. Signes

t
~~’
X

~

I

-7
main dmite
t
-A r

Fig. 1 5

\
_-- 5

Un couple positif amène une rotation dans le sens trigonométrique.

4.Propiétés

-

Fig. 16

La valeur d’un couple ne change pas si on déplace Fet -Fdans des plans pk-allèles
(fig. 16-a et 16-b).

La valeur d’un couple ne change pas si on tourne en bloc ‘F”et -Fdistantes de d dans
des plans parallèles (fig. 14-c et 14-d).
La valeur d’un couple reste la même si on déplace Fet -?le long de leur support
(fig. 16-b et 16-c).

La valeur d’un couple reste identique si on modifie dans des proportions inverses les
valeurs de F et d : M = Frd, = F,d, (fig. 17).
24

_

10N

1ON

5. Exemple
Une clé à+bougie se compose d’un corps et d’une tige de manœuvre coulissante et
réglable. F et -Fsch?matisent les actions exercées par les mains de f’op6rateur.
Si F = 100 N, déterminons le couple de desserrage (M) exercé par la clé sur l’écrou en
E, pour les positions indiquées.

a) Sous forme algébrique ou scalaire
Pour lesquatre posons :
M = M,(F) + M,(4) = MO(3 + MO(-q
=Fx,OB+FxOA=EAB=0,4F=40Nm
Pour la position 1 : M = 0,2 F + 0,2 F = 0,4 F.
Pour la position 2 : M = 0,3 F + 0,l F = 0,4 F.
Pour la position 3 : M = 0,15 F + 0,25 F = 0,4 F.
Pour la position 4 : M = 0 + 0,4 F = 0,4 F.
b) Sous forme vectorielle

Mi= M,(Fj +z?) =~A~+Ë?~A(-~)
=(EO+OB)r,~+(Ë8+oAj,+~)

=~*-;r~*F+~r\(-~)+OA*(-F)
= S*F+ GxA(-F) = (a?-OA) *F’
=s*F=AB%F.j+
=AB.F.k=40g(Nm)

NOnONs ~TSW&GS

>
-t
Le moment résultant (MA) en un point A de n forces Fr, F2, . . . , F, est égal à la somme
des moments en A de chacune des forces.

Si les forces appartiennent toutes à un même plan (sont coplanaires), le moment peut
être écrit sous forme algébrique :
MA = MA($) + M,(Fzj + .f. + M,(E)
Exemple : balance romaine

100 _
F

1

i=

a=700mm

Fig. 19

Une balance romaine se compose d’un balancier 2 articulé en 0 (pivot) sur un crochet 1
lié à un support fie et d’une masse d’équilibrage mobile 3 (a variable) de poids
q = 5 daN. La masse à peser, poids z est suspendue en B par l’intermédiaire d’un crochet 4. Si a = 70 cm, déterminons la valeur de pf
Résolution : lorsqu’il y a équilibrage des deux masses, .le moment résultant en 0 des
poids pet Test nul.
M,=~~(~+M,(qj=Px0,1-qx0,7=0
d’où P = 7q = 7 x 5 = 35 daN.

3. Moments et couples

RLa
q

La force Ffschématise
Faction exercée par la chaussure sur le ballon au
moment du tir.
a) Calculer le moment en G de Ia
forcT
b) Quel est le mouvement pris par Ie
ballon ?
M#i = - 3 Nm ;

translation 7 rotation(“tir

zone fragile de la vis est située
en A, au début de la partie encastrée.
Calculer le moment en A de la force F’
agissant sur l’anneau.
RépOtlSfZ

Réponse
brossé").
Fig.23

1411 Déterminer le moment en 0 de la
force F’ agissant sur le point B de la

Fig.20

q

La force Fschématise l’action de
serrage
exercée par l’opérateur.
Calculer Ie moment en B (“couxle” de
serrage sur l’écrou) de la force F.

q

Calculer le moment en 0 de la
force F agissant au point B.
RépWMe

MO$)= 3400Nm;M,(F2= 3400 c(Nm).

Fig.21

H J-a force ??schématise la résültante
des forces de pression dues+au vent.
Calculer le moment en A de ‘R, A étant
la zone fragile du panneau indicateur.
R.+pXWe

M&i?) = - 180 Nm;Mii= -1SOT;fNm).

q

a) Calculer le moment en B de la
force Fde 2 kN appIiquée au point A.
b) Même question en C et en D.
Réponse
MB=-832Nm;MD=O;Mc=332,8Nm.

X

Fig. 26

27

a)Calculer le momc snt en C de, la
force T’et le moment en C de la force
s:
b) Déduire le moment résultant en C
des deux forces.
Y

Le rayon R d’enroulement de la+
courroie sur la poulie est de 100 mm, T
et ?Schématisent les efforts de tension.
Calculer le moment résultant en A des
forces, en déduire le couple disponible
sur l’arbre de transmission.

-_--F-I”- _“”
MA = - 80 Nm = couple disponible

-

X

-

-w
*^,. . . . T
izuaaiv
1
100

Fig. 27

q a) Déterminer le moment résultani
9 0 (Ma) exercé par le couple de forces
F et -F.
b) Calculer le moment en A, B et C.
c) Quelle doit êtrela+valeur de T pour que
le couple 1” et (-T) puisse équilibrer le
couple précédent ?
RépO?lSt?

M,=M,=M,=M,--5OONm;T=400N.
500N

T

q

Le couple transmis par l’arbre
moteur au foret aléseur est C = 40 Nm.
En déduire les efforts de coupe Ffexertés sur les trois lèvres du foret.

Fii. 28

q Les forces F’et T: appliquées en 1
et J, schématisent les actions exercées
par d’autres roues dentées.9 Calculer
le moment en 0 de la force F. b)‘À partir de auelle valeur la force yéquilibret-elle le couple moteur engendre par F?
Réponse

F-15000N

q Le couple moteur C transmis par
l’arbre moteur est de 200 Nm.
En déduire les efforts rexercés sur le
croisillon du cardan.

Fig. 32

NOTION
DE RÉSULTANTE
OBJECTIFS
B Définir la notion de résultante et indiquer son rôle fondamental.
m Donner les méthodes permettant de déterminer la résultante
d’un système de plusieurs forces connues.
8 Donner le principe de réduction d’un ensemble de forces à un
système [force + couple).

Les résultantes ont un rôle fondamental en mécanique et sont indispensables aux résolutions graphiques. Elles ne sont ni des forces de contact, ni des forces à distance (poids),
mais des forces calculées à partir d’autres, connues.

1. Définitions

emarques
Tous les systèmes de forces ne sont pas réductibles à une résultante unique.
Cependant, tout système de forces peut-être réduit à un ensemble (force + couple) (voir
paragraphe V) .
l
Dans l’espace, l’équation (2) est remplacée par une équation vectorielle.
l

N OTIONS GÉNÉ R A L E S

2. Propriétés

droite servant de s

La résultante est dite équivalente aux n forces considérées et peut les remplacer dans
n’importe quel problème sans en modifier les résultats.

II - Résultante de forces concourantes
1. Résultante de deux forces concourantes
La résultante de deux forces concourantes passe par le point de cowxwdk’ cellesci. Son intensité et sa direction peuvent être obtenues par la r&k du ~r~rnme (&. l-a) ou par un triangle de construction 4%. l-b).

Exemple : déterminons la résultante des actionsxet cindiquées fig. 1.

a) détermination par la règle du parallélogramme

b) détermination par le triangle des forces

Fig. 1

Remarque 1 : si les forces q et ï$ ont des points d’application différents (fig. 21, il est
possible de les translater le long de leur ligne d’action jusqu’au point de concours I puis
de les additionner suivant la règle du parallélogramme ou du triangle.

Fig. 2

4. Notion de résultante

Remarque 2 : R’représente l’action conjuguée des deux câbles et à rn%e effet physique que ceux-ci sur le support. Autrement dit, les deux câbles (tension F, et F,) pourraient être remplacés par un câble unique tirant dans la direction (1, R).
Remarque 3 : dvérifie la relation (2) de la définitiondu paragraphe 1. Si Z est le point
de concours des deux forces, alors MI(3 = 0 et M,(F,) = 0 (les bras de levier sont nuls).
Il en résulte que M,(2) = 0. Comme R’est différent des, Rne peut que passer par 1.

2. Résultante de plusieurs forces concourantes au même point

Remarque : ce cas généralise celui du paragraphe précédent, graphiquement I’intensité et la direction de R)peuvent être obtenues par un polygone des forces (voir fig. 3).
Exemple : pour la vis proposée figure 3, déterminons la résultante ou l’effet combiné
des quatre tensions de câbles c, c, TX et F4.
Y
t i; 40 N

\

solution

graphique

I

Fig. 3

Par le calcul : R = < + ?$ + s + c donne en projection sur les axes x et y :
R = J-,x + T2K + Tsx + Lx
= 0 + 40 + 60 COS 45” + 50

COS

105” = 69,49 N

R, = Tl, + T2Y + T3, + T4y
= 40 + 0 - 60 sin 45” - 50 sin 105” = - 50,72 N
l~l?~=R=~~=J69,492+50,722
50 72
-A=-0,73
69,49

=86N

e t O= -36,l”

NOTIONS

ÉNÉRALES

G

III - Résultante d’un système
de forces planes quelconques
La méthode décrite s’utilise dans le cas des résolutions graphiques. La méthode du dynamique et du funiculaire est également utilisable (voir chapitre “statique plane”) ainsi que
les méthodes calculées en utilisant la définition du paragraphe 1.
Principe : si les forces connues ne sont plus toutes concourantes au même point, il est
nécessaire de déterminer graphiquement la ligne d’action de la résultante par approches
successives, en combinant les forces deux à deux.
Exemple : déterminons la résultante des actions c, F; et z exercées par trois remorqueurs pour manœuvrer un pétrolier (fig. 4-a).
a)

remorqueur

b)
\

6 400kN

ig. 4

RI, résultante de 6 et E passe par Z (fig. 4-4 ; drésultante de @ et c, mais aussi de
Fr, FT et F<, passe par J, point de concours de zI avec FS. Le pétrolier se comporte
comme si un seul remorqueur poussait dans la direction DJ avec une poussée de 600 kN
(fig.

4-e).

IV - Résultante d’un système
de forces parallèles
Ce cas particulier peut se résoudre par calcul à partir de la définition du paragraphe 1
ou graphiquement (plusieurs méthodes possibles : dynamique + funiculaire, en se ramenant à des forces concourantes, etc.).

4. Notion de résultante

Exemple 1 : déterminons la résultante des forces c et g en se ramenant à des forces
concourantes.
I

~=~+~et~=~-F?;~+$z=~+~+Fz)-?‘=~+~=~;ï?résultantede
Fi et test aussi résultante de $r et zz et, de ce fait, passe obligatoirement par K, point
de concours de q et G.
Fet -Front pour ligne d’action commune ZJ (n’importe quelle autre droite peut convenir).
Exemple 2 : déterminons par le calcul la résultante de G, G et z(fig. 6).
a) R+= Fy + Fz)+ FT
En projection sur y parallèle aux forces :
R = F, + F2 + FS = 50 + 220 + 110 = 380 kN

@50kN

@220kN

GhlOkN

U M,d = M,(<l + M,@ + M,(d

Rd,=F,x9+ O+F,x2
380d,=9x110+2x220=1430
d, = 3,76 m

i-

dR

+I

i

i

Fig. 6

V - Réduction d’un système de forces
à un ensemble (force couple)
t

Il n’est pas toujours possible de réduire un système de forces à une résultante punique. En revanche, en un
point Z quelconque, n’importe quel système de forces peut-être réduit à une
force S’et à un couple M, obéissant
aux équations (1) et (2).

s=< +x + . . . +F”

(1)

QJ=@j
6
Fig. 7

M, = iV$) + . . . + M,gn)

(2)

Remarque : dans certains cas, le système de forces peut se réduire à un couple unique
(M, z 0 ets’= 8).

N OTIONS

Ir 34

G É NÉ RALES

Exemple : une poutre encastrée en un point 0 dans un mur supporte trois charges
concentrées, schématisées par les forces z, z et z.
a) Déterminons un ensemble (force + couple) équivalent aux trois forces en 0.
b) Existe-t-il, dans ce cas, une résultante unique géquivalente aux trois forces ?
Résolution

Fig. 8

En projection sur la verticale y :
S=-I=+F,-F,= 1 OOON
Mo = M, (F3 + NJ (Fzl + MJ (a

Mo =(-1000x3)+(4

000x5)-(2 000x8)= 1000 Nm

b) Supposons qu’il existe une résultante unique telle que

OA = d.

MA(~ = M,(q) + M,(Fg + M,(G) = 0
-1000(3-d)+ 4 000(5-d)-2 000(8-d)= 0
On obtient d = 1. La résultante existe.

4. Notion de résultante

q

Déterminer la résultante R’de c et
< agissant sur le palier en A.

HP our 1t
es rois cas proposes, déterminer la résultante des trois forces E T’et g

Réponse.

R, = 23.7 ; R, = 5893 daN ; a, = 67,9”.

Fig. 9

q

Le palier à roulement proposé est
soumis aux actions A’et B:
a) Calculer les composantes horizontale (x) et verticale (y) des forces A’et 81
b) En déduire la résultante des deux
forces.

m La tension du câble AI3 est
T, = 18,5 kN, celle du câble AC est
T2 = 13 kN avec a = 45”.
a) Déterminer la résultante R’de c et c.
b) Pour quelle valeur de a, c est-elle
minimale si Fconserve la même valeur ?

q

6, c, F< et F< schématisent les
actions exercées par les câbles sur la
tête de la vis. Déterminer la résultante
des quatre forces.

Réponse

; T, =

R,=25kN;R,=O
a =60"

Fig. 11

21,7 kN; T2 =12,5 kN.

Fig. 13

NOTIONS

GÉNÉRALES

q

Les trois barres ci-dessous sont
soudées sur le même gousset. 3, g et
z schématisent les actions de tension
ou de compression dans les barres.
Déterminer c et g sachant que la
résultante des trois forces est nulle.

q

Les actions q, R2> et @ schématisent les actions exercées par les remorqueurs. Déterminer la résultante des
trois forces.

Fig. 17

q

Les forces z, E et z schématisent
les actions exercées par d’autres roues
dentées. Déterminer la résultante des
trois forces. Quelle est la particularité ?
Calculer le moment résultant en 0 des
trois forces.
Réponse

R = 0 ; M,, = 5 074 Nm.

Fig. 15

q

c, E et G schématisent les forces
exercées sur la structure en treillis.
Déterminer la résultante des trois
forces.

q La force rschématise la résultante
des actions exercées par le moyeu sz
la bague extérieure du roulement. Fr,
g, G et c schématisent les forces de
compression dans les billes. Déterminer
le module des quatre forces sachant que
Ffen est aussi la résultante.
Réponse

FI = 49,86 daN ; F2 = 99,73 daN

q

E (150 kN) schématise le poids de
la partie camion, g (90 kN) le poids du
corps de la grue et z (70 kN) le poids
de la flèche télescopique. Déterminer la
résultante des trois forces.
R = 310 ;dR = 1,94 m

Fig. 16

Fig. 19

STATIQUE PLANE
OBJECTIFS
H Énoncer le principe fondamental de la statique, le principe des
actions mutuelles et le principe de transmissibilité des forces.
w Proposer une méthode de résolution des problèmes de statique.
n
Développer la notion fondamentale d’isolement d’un solide.
n
Indiquer les principaux cas d’équilibre et les équations correspondantes.
w Fournir une schématisation et une représentation des actions
mécaniques.
n
Indiquer les principales méthodes de résolution graphique.
n
Définir la notion de problème hyperstatique.

En mécanique, la statique a pour objectif l’étude de l’équilibre des corps. On peut la
considérer comme une composante particulière de la dynamique ; cependant sur un plan
historique ses principes ont été découverts les premiers.
Le cours proposé se divise en trois parties complémentaires : la statique plane (comprenant ce chapitre et les chapitres « treillis » et « frottements bj), la statique dans l’espace et la statique par les torseurs d’actions mécaniques.
En statique plane, les actions et les forces étudiées appartiennent toutes à un même plan
((( forces coplanaires ))). D’emploi universel, celle-ci est particulièrement bien adaptée à
la résolution des problèmes faisant intervenir des systèmes articulés avec barres, vérins
et composants divers, ainsi que pour des structures de type treillis.
Si les actions ou les forces ont des directions quelconques dans l’espace, se reporter au
chapitre (( statique dans l’espace ».
S’il est nécessaire de faire une étude détaillée des actions exercées sur les liaisons entre
solides, se reporter au chapitre « statique par les torseurs », plus spécialisé en ce
domaine.
Remarque : pour ce chapitre, sauf si une extrême précision est exigée, il ne faut pas

hésiter à utiliser des méthodes graphiques pour la résolution des exercices. Ces solutions
sont en général plus rapides et plus faciles à mettre en œuvre. Plus visuelles, elles permettent aussi de détecter plus rapidement les erreurs éventuelles.
37

STATIQUE

I - Principe fondamental de la statique
1, Énoncé du principe : cas des forces coplanaires
U+n solide indéformable en équilibre sous l’action de n forces extérieures (Fr, F]I, . . . ,
F,) reste en équilibre si :
1) la somme vectorielle S de toutes les forces extérieures est nulle
,.
,i
fl) I’
s=r;l+g+...+F;n=i?
, -- . .‘.
2) le moment résultant M, en n’importe quel point I de toutes les forces
extérieures est nul

Remarques
l
Pour ce chapitre, la notion de moment scalaire ou algébrique est suffisante pour les
résolutions. Dans l’espace, il sera nécessaire d’utiliser la notion de vecteur-moment.
l
L’énoncé précédent est également vérifié pour des solides dont le mouvement est
effectué sans accélération, cas des solides en mouvement de translation rectiligne uniforme.
l Dans le cas d’un ressort, le principe fondamental n’est pas applicable. En effet, le ressort est un corps déformable et sa déformation accumule de l’énergie potentielle. Il faudra, pour les résolutions, tenir compte des forces intérieures au ressort.

2. Principe des actions mutuelles

Fig. 1

II - Principe de transmissibilité des forces
en statique

5. Statique plane

Autrement dit, l’effet d’une force sur un solide dépend uniquement de l’intensité, de la
ligne d’action et du sens de la force. Le point d’application sur la ligne d’action ne joue
aucun rôle et n’a aucune influence en statique sur l’équilibre des solides, leur mouvement
éventuel à vitesse constante et sur les résultats numériques obtenus.

Remarque : le principe de transmissibilité n’est pas applicable à la résistance des maté-

riaux dans la mesure où le déplacement des forces peut transformer la nature des efforts
intérieurs (fig. 3).

Fig. 3

Exemple : voici une barre tendue sous l’action de deux forcesFI et s appliquées en A
et B. Si on applique le principe de transmissibilité en translatant FI en B et 7. en A,
l’équilibre statique est inchangé : c = -E dans les deux cas. Par contre, la barre initialement tendue devient comprimée, ce qui modifie la sollicitation et les critères de résistance à adopter pour des calculs éventuels.

III - Méthode de résolution
des problèmes de statique
La méthode générale proposée par l’organigramme figure 4 est applicable à tous les
problèmes de statique, qu’ils soient dans le plan, dans l’espace, avec ou sans torseurs.
Une des étapes essentielles concerne l’isolement du solide décrite en détail au paragraphe suivant.
La méthode est généralisable aux ensembles de solide, compte tenu des conditions indiquées au paragraphe V.

STATIQUE

repérer toutes les zones de contact entre

pour isoler
le solide

-

résultats : le problème est terminé
lorsque toutes les actions agissant
ur le solide sont complètement connue
-/
*
;
Fig. 4

Remarque : avant d’envisager une résolution, il faut au préalable vérifier que l’étude a
un sens. Par exemple : le solide étudié est-il au départ dans une position d’équilibre ?
Exemple 1
La planche du plongeoir n’est
pas en équilibre et tourne autour
de I’articulation A. Le principe
ne peut pas être appliqué à cet
exemple.
Fig. 5

]Exemple 2
La paire de ciseaux 1 + 2 n’est
pas en équilibre et se ferme sous
l’action des forces Fet -g Le
principe fondamental n’est pas
applicable alors que, paradoxalement, les équations (1) et (2) de
l’énoncé du paragraphe I-l sont
vérifiées dans ce cas.
40

Fig. 6

5. Statique plane

IV - Isolement d’un solide.
Universellement utilisée, la notion d’isolement d’un solide est fondamentale dans l’analyse et la résolution des problèmes de mécanique. C’est la première étape de toute résolution en statique ou- en dynamique.
Le solide isolé peut être un croquis à main levée, un dessin simplifié ou un dessin précis
à l’échelle du solide étudié, destiné à décrire et à définir toutes les actions ou efforts qui
s’y exercent : poids, actions de contact... Tous les éléments connus concernant les
actions extérieures agissant sur le solide isolé doivent être clairement indiqués : direction,
intensité, sens, point d’application mais aussi les distances entre les actions et les axes
(0, x, y) éventuellement choisis pour des calculs.
Exemple : reprenons le plongeoir du paragraphe précédent, normalement constitué
avec un appui supplémentaire en B. Afin de simplifie; le repérage et la désignation des
efforts, le nageur est repéré par (2), la planche par (1) et les appuis fies (bords, poteaux
divers, etc.) par (0). A est une articulation (pivot) et B un appui simple.

solide isolé :
nageur (2)

I

Fig. 7

La planche (1) supporte quatre actions en A, B, C et G, (centre de gravité) schématisées
Bo,l, CI et g(poids de la planche).
par les vecteurs forces A,/;, Le nageur (2) est soumis à deux actions, son poids E en G2 et c,, en C.
D’après le principe des actions mutuelles : C,, = - CG.
Remarque : la schématisation des actions de contact (cas des liaisons en A, B et C) est
abordée au paragraphe VII. Afin de simplifier l’analyse et comptabiliser les éléments
connus ou inconnus, il peut être intéressant d’utiliser un tableau récapitulatif par solide.
Exemple de tableau pour la planche (1)
La première colonne (CJ comptabilise toutes
les actions extérieures agissant sur le solide.
La deuxième colonne (PS) indique le point
d’application ou, à défaut, un point de la ligne
d’action.
La troisième colonne (II) et la quatrième précisent la direction et l’intensité de l’action.

Solide isolé : planche 1

FEZ
A,;

PS
A

1

D
?

I, 1 (daN)
?
Ï-l

STATIQUE

Remarque : chaque case du tableau représente une inconnue possible. Avec des forces
concourantes, la résolution ne sera possible qu’avec trois inconnues au plus. Si les forces
sont parallèles, il faudra au plus deux inconnues pour aboutir au résultat.

V - Cas des ensembles de solides
Dans le cas des ensembles de solides, les actions mutuelles exercées entre les solides de
l’ensemble deviennent des efforts intérieurs et ne doivent pas être comptabilisées dans
le nombre des actions extérieures. Le principe fondamental s’applique de la même
manière.
Exemple : isolons l’ensemble planche + nageur de l’exemple du paragraphe précédent.
L’ensemble 1 + 2 supporte 4 actions .
extérieures : Ao,l,
+ B,/;, p7 e t 5.
Les actions mutuelles C,/; et C,/;
deviennent des efforts intérieurs et ne
sont pas prises en compte dans le bilan
des actions extérieures et dans l’appliFig. 8
cation du principe fondamental.

Après isolement du solide et réalisation du bilan des inconnues, l’application du principe fondamental conduit à des résolutions que l’on peut regrouper par famille.

1.Solidesoumisàl'actiondedeuxforces
Les deux forces ont même support ou même ligne d’action, même intensité, mais sont

,Exemples : l’équilibre du nageur du paragraphe IV donne z2 = - <, direction commune, la verticale passant par G,. Les cas (a) et (b) de la figure 9 montrent des cas d’équilibre sous l’action de deux forces. Dans le cas (c), l’équation de moment n’est pas vérifiée et il n’y a pas équilibre (le solide tourne dans le sens trigonométrique).
c) solide non en équilibre

Fig. 9

42

Ft

5. Statique plane

2, Solide soumis à l’action de trois forces concourantes
Un solide soumis à l’action de trois forces reste en équilibre si les trois forces sont
concourantes au même point et si la somme vectorielle des trois forces est nulle.

6
- ._ . __,r.I-- __---- G q\
,
r
,’
I’
zy+G+&-o
6
M,(~)+M,(~)tM,(~)=ototo=o
l

Fig. 10

3. cas général
a)F: +Fz + . . . + z = o’= Z Tdonne deux équations
scalaires de projection sur les axes x et y.
ZFiX = F,x + F2x + . . . + F,x = 0

(1)

XFiy=Fly+F,y+ . . . +F,y=O
(2)
b) L’équation de moment en n’importe quel point I four-

nit une troisième équation scalaire :
ZMxF;J=M,(fl+M,(~+

\

. . . +M,(q=O

Fig. 11

(3)

Remarque : les coordonnées cartésiennes F$ et Fiy de creprésentent

chacune une
inconnue. Les équations disponibles permettront de déterminer au plus trois inconnues
(pour trois équations à trois inconnues).
Équations

alternatives : afin de simplifier les solutions calculées, il peut être avanta-

geux d’utiliser deux équations de moment avec une seule équation de projection ou
encore trois équations de moment à la place des équations initiales (voir tableau).
L’emploi des équations de moment limite ou supprime les difficultés de projection sur
des axes orthonormés.
Équations d’équilibre possibles
Cas général

FgI?J

LF@O
L$=O
1 EM,&)=0
Fig. 12

Équations

1

alternatives

>pJ

zFi,=o
LMA=O
LMB=O
AB non perpendiculaire à (u)

possibles

>g?J

LMA(ïy)=o
z M&) = 0
ZMJ)=O
A,B et C non alignés

STATIQUE

incipaux cas
j’équilibre

Solide isolé

Éq”ations--

indépendantes

Nombre
d’inconnues
d6terminables

Forces
:olinéaires

c F»I= 0

Forces
parallèles

LM,(Fi)=O

2

Forces
oncourantes
nême point)

Cas
général

yI
I
I
L----

X

zFjx=o
X$=0

3

C M,(Fi)=O

Fig. 13 * Deux inconnues à condition que les directions des F soient connues.

VII - Schématisation et représentation
des actions mécaniques
Les actions mécaniques représentent les efforts exercés sur et entre les solides réels. Ces
actions sont schématisées ou modélisées par des forces, moments, couples, pressions,
contraintes, torseurs, etc. On peut les diviser en deux grandes familles : les actions à distance et les actions de contact (les plus nombreuses et les plus diverses).

1, Actions mécaniques à distance
Elles sont essentiellement de deux types : poids et aimantation.

5. Statique plane

: la valeur de l’accélération de la pesanteur g est fonction de la latitude sur
le globe terrestre (voir graphe ci-dessous) et de l’altitude.
Remarque

Variation de g avec l’altitude (II)

go = 9,81 m.s2
R = rayon de la Terre (==) 6378 km
h = altitude

0
15
équateur

30

45

60

75

latitude
90 * (“)
pôles

Fig. 14

2. Actions mécaniques de contact
Les actions de contact se divisent en trois groupes :
- les actions ou charges concentrées,
- les actions réparties sur une ligne ou charges linéiques,
- les actions réparties sur une surface ou charges surfaciques.
a)

Actions

ou

charges

concentrées

Chaque fois que l’effort de contact est concentré
en un point ou sur une toute petite surface, l’action est schématisée par un vecteur-force.
Unités : N ou dérivés (daN, kN, etc.).
Exemple : action exercée par un plan horizon-

ta1 (0) sur une bille (1). L’effort de contact est
concentré au point A et est schématisé par le
o,1 perpendiculaire au plan (0) et
vecteur-force A
passant par le centre de gravité de la bille.

solide 1 isolé

Fig. 15

b) Actions réparties sur une ligne ou charges linéiques

L’effort de contact est réparti sur une ligne droite ou non. L’action exercée est schématisée par une chat ge linéique (q), uniforme ou non. Unités : N.m-l ou N/m.
- - A
f7/llllll/l/llllllll//////////////
cas d’une répartition uniforme
A

Exemple

I
Fig. 16

cylindre (1) isolb

Action exercée par un plan horizontal (0) sur un cylindre (1). L’effort de contact est
réparti de façon uniforme (q constant) le long de AB et schématisé par une charge
linéique q (N.m-r). Dans le but de simplifier les résolutions, la charge répartie peut être
remplacée par sa résultante R, au milieu de AB et d’intensité : R = qL.

S TATIQUE

Remarque : ici, q est égal au
poids du cylindre divisé par la
longueur AB :
;

à=-Fi$

Fig. 17

c) Actions réparties sur une surface ou pression de contact
Lorsque l’effort de contact est réparti sur une surface, l’action exercée est schématisée
par une pression de contact ou une pression (p) qui peut être uniforme ou non.
Unités : Pa (N.m-*), bar (1 bar = 105 Pa).
Exemple 1 : action exercée par un fluide sous pression sur un piston de vérin.

Fig. 18

L’effort de contact entre huile et piston est réparti de façon uniforme sur une surface circulaire de diamètre d et est schématisé par la pression p qui est la pression du fluide.
Dans le but de simplifier les résolutions, cette action peut être remplacée par sa résultante 3 dirigée suivant l’axe du piston et d’intensité R = pS = pd*/4.

I

Fig. 19

Exemple 2 : action d’un plan horizontal (0) sur un prisme triangulaire (1).

Fig. 20

Dans ce cas, la pression de contact est linéairement croissante en allant de A (p = 0) à
B (p = pmaxi). R, résultante des pressions de contact, est égale à mg.

3, Actions de contact exercées
dans les liaisons mécaniques usuelles
En statique plane, les liaisons entre solides se ramènent à quatre familles principales :
appui simple, articulation ou pivot, glissière, encastrement.

I

5. Statique plane

Chaque famille peut supporter ou transmettre des efforts différents (ig. 21).
L’action exercée par les surfaces de liaison des solides (0 et 1) en contact est schématisée par une résultante S’(coordonnées S, et S,) et un moment résultant éventuel M.
Exemples

1 ns. LI

Remarques
Le choix d’une schématisation ou d’une autre est fonction des interprétations que l’on
peut faire à partir de la liaison réelle. Par exemple, il est fréquent qu’une liaison de type
glissière soit aussi schématisée par un appui simple, le moment M étant supprimé ou
négligé. De même, le fait de négliger ou non les frottements influe sur les interprétations
possibles. Si une étude plus détaillée est nécessaire, se reporter au chapitre “ statique
par les torseurs “.

VIII - Méthodes de résolution graphique
Les méthodes graphiques sont, pour le plus grand nombre d’individus, les plus faciles à
mettre en œuvre et celles qui amènent le moins d’erreurs dans les résolutions d’exercices. Cependant, elles exigent des figures tracées à une échelle donnée ou choisie et un
minimum de soin doit être apporté aux tracés pour obtenir des résultats précis.

ST A T I Q U E

1. Cas d’un solide soumis à trois forces concourantes
Les trois forces (q, c, <) doivent être concourantes au même point (Z) et la somme des
trois forces doit être nulle : c + c + c = 3 Plaçons-nous dans le cas le plus général
avec trois inconnues au départ : une direction (celle de FJ et deux modules (ceux de Fz)
et G). L’ordre des constructions est indiqué sur la figure 22 et la figure 24.
Remarque 1 : les directions du triangle des forces doivent être parfaitement parallèles
à celles de la figure initiale ayant servi à déterminer le point Z. Il est indispensable de choisir une échelle pour tracer c sur le triangle des forces (exemple : 1 cm pour 1 000 N,
etc.) ; les modules de cet z seront mesurés à partir de cette même échelle. L’extrémité
de chaque force coïncide avec l’origine de la force suivante.

b)

/’

0 direction de gpassant

par I

0 module et sens de 6

/

//

” ‘\,\@module et sens de 6
\

e) triangle des forces

Fig. 22

Remarque 2 : il existe toujours deux
possibilités pour tracer le triangle des
forces ; voir figure 23, l’ensemble des
k’
deux forme un parallélogramme. La
méthode de travail est résumée dans
l’organigramme figure 24.
Fig. 23
48

k
---------v,/’ F2

t FT+g+qo

5. Statique plane

fi(l. 22-d (lire remarque 2)

ine de la

suivante

Fig. 24

2. Solides soumis à l’action de quatre forces et plus
Si les forces ne sont pas parallèles, le nombre maximal d’inconnues déterminables, pour
chaque équilibre étudié, est de trois. Au-delà, la résolution n’est pas possible ou ne peut
être que partielle. Deux cas principaux se présentent, chacun amenant des résolutions graphiques différents : une direction et deux modules inconnus ou trois modules inconnus.
a) Cas d’une direction et deux modules inconnus
Sur les quatre forces, deux présentent des éléments inconnus et les deux autres (ou plus)
sont complètement connues.
Méthode de résolution : déterminer la résultante de toutes les forces connues (voir
chapitre “forces et résultantes” et le paragraphe 3) afin de se ramener à trois forces
concourantes et au cas de résolution du paragraphe 1.
a)

b) résultante Kde fTet g

c) se ramener à 3 forces concourantes

Fig. 25


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