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pratique du bael 91 .pdf



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• A. «a. »L i ^

Pratique
du BAEL 91
Cours avec exercices corriges

Jean Perchât
Jean Roux

Pratique
du
BAEL
91
Cours avec exercices corrigés

Quatrième édition

Jean Perchât
Jean Roux

Jean Perchât, ingénieur ECP,
a, pendant plus de trente ans,
participé activement, au sein de
commissions nationales ou
internationales, à la rédaction
des textes normatifs relatifs au
béton armé, et enseigné les
méthodes de calcul
qui en découlent.
Jean Roux, ingénieur ETP CHEBAP, pratique le calcul des
structures en béton sous une
double approche du fait de ses
activités d'ingénieur à la SNCF
et de professeur à l'ESTP.

Code éditeur :G11049
ISBN: 2-212-11049-9

Pratique du BAEL 91 présente,
à partir des lois classiques de
la Résistance des Matériaux,
et après l'étude des méthodes
de calcul propres à chaque
sollicitation élémentaire (effort
normal, effort tranchant,
moment fléchissant, moment
de torsion) et au flambement,
le dimensionnement des
éléments de base d'une
structure (tirant, poteau,
poutre, dalle).
Chaque chapitre comporte
un rappel de cours suivi d'un
ou p l u s i e u r s e x e r c i c e s
d'application traités en détail.
Il y est tenu compte des
nouvelles règles de prise en
compte de la fissuration
définies par les Règles BAEL
91 modifiées 99 applicables
depuis le 15 février 1999. Les
exercices sont accompagnés
de nombreuses informations
utiles pour les calculs.

Cette quatrième édition est enrichie
par :
O des formules plus précises pour
les pourcentages minimaux
d'armatures en flexion simple et
composée, basées sur des valeurs
plus réalistes des bras de levier
des forces élastiques,
O une formule approchée du
moment limite ultime au-delà
duquel des armatures
comprimées sont nécessaires dans
les sections rectangulaires, en
flexion simple, valables pour des
bétons de résistance
caractéristique allant jusqu'à
60 MPa,
Q des compléments portant sur les
effets de l'effort tranchant
permettant de mieux
appréhender les prescriptions des
Règles BAEL 91 modifiées 99,
O la distinction entre torsion
d'équilibre et torsion de
compatibilité définissant les cas
où une étude de la torsion des
éléments en béton armé est
nécessaire.

Cet ouvrage est extrait du cours de l'École spéciale des travaux
publics (ESTP) professé jusqu'à ces dernières années par Jean Perchât
et repris depuis par Jean Roux. Il s'adresse aux étudiants en bâtiment
et génie civil, aux techniciens, ingénieurs et projeteurs désireux
d'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur couramment pratiqués
en calcul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour leurs
connaissances dans ce domaine.
L
I a N/illettfi

)mpatibles avec la géométrie du tunnel pour un gabarit de véhicule donné, de réduire consiârablement les coûts de « mise au gabarit » des tunnels de la SNCF.
e retour au Département des Ouvrages d'Art en 1983, il devient responsable des études teches et informatiques de la Division des Tunnels, dans un domaine où la Résistance des
atériaux et la Mécanique des Sols sont si étroitement confrontées.



AVANT-PROPOS

on expérience et ses compétences lui valent plusieurs missions à l'étranger pour des projets
rénovation de tunnels, auxquels il apporte toutes ses connaissances techniques et éconoiques.
tégré à la SNCF dans une solide équipe d'ingénieurs émérites, tels que J. Gandil,
Trufandier, J. Eyraud, A. Rozière, Jean Roux garde le contact avec l'École Spéciale des
'ravaux Publics en tant que Maître assistant puis Professeur de béton armé. Il est aussi
ofesseur de Résistance des Matériaux au Centre des Hautes Études de la Construction depuis
983.
; présent ouvrage a trois objectifs :
- il est d'abord un vade-mecum de l'ingénieur par le rappel constant des bases de la Résistance des Matériaux, fondement logique de toute réflexion sur la construction ;
- il est aussi l'image vivante d'un cours agréable. Certes il faut y trouver la trame de
l'exposé théorique et la rigueur de la formule car il s'agit bien là de règles et de normes,
mais l'exercice appliqué et expliqué y ajoute l'exemple, l'utile et le concret ;
- il est enfin un recours pour l'ingénieur confirmé, en lui présentant les dernières évolutions, qui relèvent d'expérimentations ou de dispositions réglementaires dans une dynamique d'actualité et de progrès.
Sous la double signature de Jean Perchât et de Jean Roux, qui furent dans la relation de maître
a élève avant d'œuvrer dans une fructueuse collaboration, cet ouvrage arrive à son heure pour
tous ceux qui participent à l'art d'édifier et de construire.

Les dernières mises à jour des Règles de calcul des ouvrages en béton armé aux étatslimites dites Règles BAEL 91 modifiées 99 sont applicables depuis le 15 février 1999.
Cet ouvrage, extrait du cours de béton armé professé à l'École Spéciale des Travaux Publics
(ESTP) jusqu'à ces toutes dernières années par J. Perchât et maintenant par J. Roux, qui
intègre ces modifications, est destiné :
- aux projeteurs, élèves-ingénieurs, jeunes ingénieurs et étudiants ayant le béton armé à
leur programme d'études, désireux d'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur couramment pratiqués dans le domaine du calcul des structures de génie civil en béton armé,
- ainsi qu'aux ingénieurs confirmés qui souhaitent appliquer directement les derniers errements réglementaires.
Après quelques rappels sommaires de Résistance des Matériaux (matière qu'il est indispensable de connaître avant d'aborder le calcul d'une construction en quelque matériau que ce
soit), puis des généralités concernant l'évaluation des sollicitations et des caractéristiques des
matériaux acier et béton, chaque chapitre est consacré aux méthodes de calcul propres à une
sollicitation élémentaire (traction simple, compression simple, flexion simple, ...) ce qui permet d'aborder dans les derniers chapitres les calculs relatifs aux éléments constitutifs d'une
construction simple (dalles, poutres, planchers,...).
Chaque chapitre est organisé en deux parties :

E. CHAMBRON
Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées
Directeur honoraire de l'Équipement de la SNCF

1) des rappels de cours présentant les méthodes de calcul et formules réglementaires avec
des démonstrations et des explications permettant de comprendre leur fondement scientifique et expérimental ainsi que leur philosophie,
2) un ou plusieurs exercices d'application commentés et des compléments permettant de
visualiser les techniques et hypothèses en même temps que d'acquérir une expérience et de
« bonnes » habitudes dans le domaine du béton armé appliqué aux bâtiments et aux travaux
publics.
Si les Règles BAEL se prêtent bien aux calculs informatiques, il ne nous a pas paru nécessaire, devant la multiplicité des langages de programmation (basic, C, turbo pascal,...), de donner, chaque fois que l'usage d'un micro-ordinateur se justifiait, des programmes de calculs.
Nous avons préféré donner plutôt des organigrammes et enchaînements explicitant le déroulement des processus de calcul que le lecteur pourra aisément transcrire sur son ordinateur.

Les nombreuses informations relatives au génie civil (valeurs des charges permanentes et
d'exploitation, contraintes limites des matériaux, caractéristiques géométriques des aciers en
barres, formulaires pour poutres isostatiques, tableaux de caractéristiques des sections,...) rencontrées en parcourant les divers chapitres faciliteront la tâche du technicien dans l'élaboration
de ses projets.

AVERTISSEMENT

Cet ouvrage n'a pas la prétention d'être exhaustif et complet dans ce vaste domaine qu'est
le béton armé (ce n'est qu'un extrait du cours de l'ESTP). Il a pour seul objectif de bien faire
comprendre les méthodes de calcul propres au béton armé aux états-limites, de répondre aux
interrogations et de faciliter la tâche de l'ingénieur d'études qui appliquera les Règles
BAEL91.
Dans cette nouvelle édition de « Pratique du BAEL 91 », les auteurs ont introduit les nouvelles valeurs des contraintes limites de l'acier à l'état-limite de service, telles qu'elles sont
définies dans les Règles BAEL 91 modifiées 99 applicables depuis le 15 février 1999. La
nécessité d'atténuer, pour les bétons courants, la sévérité des valeurs résultant de l'application
stricte des Règles BAEL 91 s'est révélée à l'usage. Pour ces bétons, les nouvelles limites proposées conduisent à des dimensionnements quasi identiques à ceux des Règles BAEL 83 en
cas de fissuration préjudiciable, mais légèrement plus favorables en cas de fissuration très préjudiciable.
Les modifications précitées étendent par ailleurs le domaine d'application des Règles aux
bétons de résistance comprise entre 60 et 80 MPa. Les modifications corrélatives des données
et formules de base sont nombreuses et importantes. En tenir compte, même en se bornant à
les mentionner, aurait exigé une refonte totale du présent ouvrage. Compte tenu du caractère
exceptionnel, actuellement, de l'emploi de tels bétons, ceux-ci restent hors du domaine visé
par Pratique du BAEL 91.
Les auteurs ont mis à profit cette nouvelle édition pour expliciter certains points comme,
par exemple :
- les formules relatives au pourcentage minimal d'armatures en flexion simple et composée, basées sur des valeurs plus réalistes des bras de levier des forces élastiques que
celles figurant dans les commentaires des Règles BAEL 91,
- une formule approchée du moment limite ultime, pour les sections rectangulaires en
flexion simple, permettant d'en étendre le domaine d'application à des bétons de résistance allant jusqu'à 60 MPa,
- des compléments concernant les effets de l'effort tranchant permettant de mieux appréhender les prescriptions des Règles BAEL 91 modifiées 99,
l'introduction des notions de torsion d'équilibre et de torsion de compatibilité afin de
définir les cas où il est nécessaire de faire une étude de la torsion des éléments en béton
armé.

Les auteurs.

SOMMAIRE

CHAPITRE 1 : RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

1

I. RAPPELS DE COURS

1

1. Caractéristiques géométriques
2. Théorie des contraintes
3. Théorie des poutres
4. Éléments de réduction
5. Conditions générales d'appui des poutres
6. Systèmes isostatiques et hyperstatiques
7. Équations intrinsèques des poutres droites
8. Relations contraintes-efforts
9. Tronçons de poutres droites

1
6
10
12
14
15
16
18
24

IL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES

34

CHAPITRE 2 : BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS

41

I. RAPPELS DE COURS

41

1. Unités
2. Actions et sollicitations
3. Caractéristiques des matériaux
4. Hypothèses et données pour le calcul du béton armé

41
41
50
55

II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS

57

CHAPITRE 3 : ASSOCIATION ACIER - BÉTON

65

I. RAPPELS DE COURS

65

1- Définitions
2. Disposition des armatures
3. Contrainte d'adhérence
4. Ancrage des barres
5. Jonctions par recouvrement

65
66
67
76

II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL

80

CHAPITRE 4 : TRACTION SIMPLE - TIRANTS
I. RAPPELS DE COURS

85
85
85
85
87
87
87
88

1. Introduction
2. Dimensionnement des armatures
3. Vérification des contraintes
4. Détermination du coffrage
5. Condition de non-fragilité
6. Armatures transversales
IL EXERCICE : TIRANT - FISSURATION PRÉJUDICIABLE

90

CHAPITRE 5 : COMPRESSION SIMPLE
I. RAPPELS DE COURS

93
93
93
93
94
97
98

1. Hypothèses
2. Élancement
3. Armatures longitudinales
4. Armatures transversales
5. Coffrage

!

IL EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES

99

III. EXERCICE N° 2 : FORCE PORTANTE D'UN POTEAU

102

IV. EXERCICE N° 3 : POTEAU - GRANDE DIMENSION IMPOSÉE

105

CHAPITRE 6 : FLEXION SIMPLE
I. RAPPELS DE COURS
1. Introduction
2. Section rectangulaire - fissuration peu préjudiciable
3. Section rectangulaire - fissuration préjudiciable ou très préjudiciable
4. Coffrage des sections rectangulaires
5. Sections en T
6. Pourcentage minimal d'armatures
7. Vérification des contraintes à l'E.L.S
8. Organigrammes récapitulatifs pour le dimensionnement des armatures
9. Vérification à l'E.L.U. d'une section rectangulaire dont on connaît les armatures..

113
113
113
113
129
133
133
138
140
143
146

II. EXERCICE N° 1 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE SECTION RECTANGULAIRE AVEC ACIERS COMPRIMÉS

147

III. EXERCICE N° 2 : FISSURATION PRÉJUDICIABLE - SECTION À TABLE
DECOMPRESSION

152

TV EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈS PRÉJUDICIABLE SECTION RECTANGULAIRE

158

V EXERCICE N° 4 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE ' SECTION EN T(M u >M Tu )....

161

CHAPITRE 7 : EFFORT TRANCHANT
I. RAPPELS DE COURS

173
173

1. Définition
2. Contraintes engendrées par l'effort tranchant
3. Vérification du béton
4. Calcul des armatures d'âme
5. Répartition des armatures d'âme (méthode Caquot)
6. Zones d'application des efforts
7. Jonction hourdis-nervure
8. Poutres à talon

186

IL EXERCICE N° 1 : POUTRE - EFFORT TRANCHANT

198

III. EXERCICE N° 2 : POUTRE À SECTION RECTANGULAIRE ARMATURES D'ÂME INCLINÉES

205

CHAPITRE 8 : FLEXION COMPOSÉE

217

I. RAPPELS DE COURS
1. Généralités - Introduction
2. Sections partiellement tendues
3. Sections entièrement tendues
4. Sections entièrement comprimées
5. Diagrammes d'interaction

217

H. EXERCICE N° 1 : FLEXION - COMPRESSION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

244

III. EXERCICE N° 2 : FLEXION - TRACTION SECTION ENTIÈREMENT TENDUE

251

IV. EXERCICE N° 3 : FLEXION - TRACTION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

254

CHAPITRE 9 : ÉPURES DE RÉPARTITION
DES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'ÂME
I. RAPPELS DE COURS
1. Introduction
2. Répartition des armatures longitudinales

259

3. Répartition des armatures d'âme

267

CHAPITRE 10 : TORSION
I. RAPPELS DE COURS
1. Introduction
2. Rappels de Résistance des Matériaux
3. Vérification du béton
4. Armatures

269
269
269
270
272
274

IL EXERCICE : AUVENT

277

CHAPITRE 11 : FLAMBEMENT

285

I.

285
285
287
288
293
298
302
307

RAPPELS DE COURS
1. Excentricités
2. État-limite ultime de stabilité de forme
3. Équations du problème
4. Méthode de l'équilibre - Méthode des déformations internes
5. Utilisation des tables de Faessel - Robinson - Morisset
6. Corrections diverses
7. Utilisation des abaques de Capra

II. EXERCICE N° 1 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE
PAR LES TABLES (CHARGES DE LONGUE DURÉE)

311

III. EXERCICE N° 2 : VÉRIFICATION PAR LA MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE
ET PAR LES TABLES

314

IV. EXERCICE N° 3 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE
PAR LES ABAQUES DE CAPRA

320

CHAPITRE 12 : POUTRES CONTINUES - PLANCHERS
I. RAPPELS DE COURS
A. Poutres continues - Rappels - Adaptation

325
325
325

1. Rappels de Résistance des Matériaux
2. Essais de poutres en béton armé
3. Portées des poutres et portiques
4. Poutres de planchers

325
326
328
330

B. Planchers - Méthode forfaitaire
1. Domaine de validité
Principe de la méthode - Adaptation
3. Moments fléchissants
4. Efforts tranchants

333
333
334
335
337

„.,,..

5. Méthode Caquot « minorée »
C. Planchers - Méthode Caquot

338

1 Domaine de validité
2. Évaluation des moments
3. Efforts tranchants
4. Travées de rive avec console

343
347

D. Poutres continues - Dimensionnement

348

1 Conditions de déformation
2. Résistance à la flexion
3. Vérification à l'effort tranchant

348
350
351

II. EXERCICE N° 1 : PLANCHER - MÉTHODE FORFAITAIRE

351

III. EXERCICE N° 2 : PLANCHER - MÉTHODE CAQUOT

370

CHAPITRE 13 : DALLES RECTANGULAIRES SUR APPUIS CONTINUS

383

I. RAPPELS DE COURS

383

1. Introduction
2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour
3. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants
4. Effort tranchant
5. Poinçonnement
6. Dispositions constructives
7. Arrêt des armatures
8. Autres critères pour les bâtiments

384
386
390

II. EXERCICE : PANNEAU DE DALLE (a = 0,40)

394

CHAPITRE 14 : DESCENTE DE CHARGES

403

I. ' RAPPELS DE COURS

403

1. Principe
2. Valeurs des charges permanentes et des charges d'exploitation
3. Dégression des charges variables d'exploitation
4. Effet de la continuité sur les poteaux voisins de
rive

403

406

II. EXERCICE : BÂTIMENT - DESCENTE DE CHARGES

409

ANNEXE 1 : CALCUL MANUEL D'UNE SECTION RECTANGULAIRE
À ARMATURES SYMÉTRIQUES À L'E.L.U. PAR APPROXIMATIONS
SUCCESSIVES

427

ANNEXE 2 : VÉRIFICATION À L'E.L.U. D'UNE SECTION RECTANGULAIRE
DONT ON CONNAÎT LES ARMATURES

433

ANNEXE 3 : MOMENT LIMITE ULTIME EN FLEXION COMPOSÉE

435

NOTATIONS - SYMBOLES.

461

RÉFÉRENCES

467

BIBLIOGRAPHIQUES

CHAPITRE 1

RAPPELS DE RESISTANCE
DES MATÉRIAUX

Ce chapitre rassemble les notions de base indispensables en Résistance des Matériaux pour
bien aborder les calculs de béton armé selon les Règles BAEL 91. Il se présente donc plutôt
sous la forme d'un aide-mémoire.

I. RAPPELS DE COURS
1. CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES
1.1. MOMENT STATIQUE - CENTRE DE GRAVITÉ
• Pour une surface S repérée par rapport aux axes Oy et Oz :

—-t-

I On appelle AIRE d'une SURFACE, la quantité :

2. MOMENTS ET PRODUITS D'INERTIE
• On appelle MOMENTS D'INERTIE de la surface I, par rapport aux axes (A), Oz et Oy,
les quantités :

• On appelle MOMENTS STATIQUES de la surface I, par rapport aux axes (A) Oz et Oy,
les quantités :

l On appelle PRODUIT D'INERTIE de la surface I par rapport aux axes Oz et Oy la quantité :

y.z.dZ
'I.

• On appelle CENTRE DE GRAVITÉ (ou BARYCENTRE) de la surface 2, le point G de
2 dont les coordonnées sont définies par les relations :

l On appelle RAYONS DE GIRATION relatifs aux axes (A), Oz et Oy, les quantités :

.dl

Z

G=-

f

,2_Iz

u

.

y~s~

• On appelle MOMENT D'INERTIE POLAIRE de la surface E par rapport au point O la
quantité :

dl
I La distance du centre de gravité G à l'axe (A) est définie par

L
Ô

b-

S

A

Jô.dZ
"I

S

If

1.3. REMARQUES
• Si le point O est choisi au centre de gravité G :
ZG = yG = 0 et LE MOMENT STATIQUE PAR RAPPORT À UN AXE PASSANT PAR
LE CENTRE DE GRAVITÉ EST NUL.
• II est possible d'obtenir le moment d'inertie de l'aire 2 par addition des moments d'inertie des aires 2j constituant l'aire 2 :

Si Ivz = 0, les axes Oz et Oy sont dits : AXES PRINCIPAUX D'INERTIE .
I Le produit d'inertie est nul si l'un des axes Oz ou Oy est axe de symétrie de l'aire £

=

! 5. FORMULES USUELLES

.„,

ï

y
t
I*=- 12

y.z.dZ+ U.z.dZ

,
• Comme r2 = y2 + z2, on peut exprimer le moment d'inertie polaire en fonction des
moments d'inertie :

h
=T

h[2B+b]
' 3[B+b]
36[B+b]

1.4. CHANGEMENT D'AXE - THÉORÈME DE HUYGHENS

, h[B+2b]
'~ 3[B+b]

y
t

En posant :
A' = axe passant par le centre de gravité G de 2,

v=v'=R

= 2R

A = axe quelconque parallèle à A',

<:'-:iH,L$

d = distance entre ces deux axes,

on a :

,- •:•( ,* I.S

y
t

S = S' + d
d'où :

(37T-4)R "''

v
vn —>z

IA=
SA, = o

72K

, = - 4R

"uX!

2 .THÉORIE DES CONTRAINTES

• On grisera le côté de la facette situé du côté du matériau conservé.
• On orientera la normale à la facette vers l'intérieur du domaine conservé.

2.1. PRINCIPE D'EQUIVALENCE

2.3. PRINCIPE ACTION-RÉACTION
Les facettes contiguës appartenant aux deux domaines (DG) et (DD) sont soumises à des
contraintes T opposées, mais de même nature (compressions, traction...) compte tenu de
l'orientation de la normale n à la facette.

Z12 = surface à normale unique divisant le corps en deux domaines (DG) et (DD),
£ = section commune à (DG) et (DD),
+
S(f) = système des forces de contact exercées par (DG) sur (DD) à travers Z12,
S(FG) et S(FD) = actions appliquées au domaine de gauche (DG) et de droite (DD).
En écrivant, d'une part, l'équilibre de la partie (DD) du solide et, d'autre part, celui de
l'ensemble du solide, puis en identifiant ces deux relations :

2.4. PRINCIPE DE CONTINUITE
Les contraintes relatives à deux facettes parallèles, infiniment voisines, distantes de dx, ne
diffèrent entre elles que d'un infiniment petit du même ordre que dx.

D'où:
il y a équivalence entre le système des forces appliquées au domaine de gauche (DG) et le
système des forces transmises par (DG) à (DD) à travers la surface Z12.
2.2. DÉFINITIONS
2.2.1. Vecteur contrainte
AI étant une surface élémentaire de Z12, de centre M, si Af est la résultante des forces de
contact transmises par (DG) à (DD) à travers AZ, on définit le VECTEUR CONTRAINTE
par :

2.5. FAISCEAU DES CONTRAINTES
2.5.1. Notations

t=

lim

Toute facette est définie par sa normale orientée.
Le vecteur contrainte agissant sur une facette dont la normale est parallèle à l'un des axes
Oxb Ox2 ou Ox3, se décompose en :

2.2.2. Facettes
• On appelle FACETTE un élément d'aire dl de L12.

- une composante normale Oy portée par la normale O\-t à la facette,
- deux composantes Ty et Tik portées par les deux autres axes Oxj et Oxk.

d'où, en multipliant les contraintes par l'aire des facettes, les composantes des efforts sui-

2.5.2. Réciprocité des cisaillements

vant les axes valent :
• Pour le tétraèdre OABC repéré dans Ox!X2x3 (tétraèdre élémentaire), les aires des
facettes sont obtenues par :

Pr o j ec t i on
sur
Facette

OBC

Ox

Ox

7

12nlds

7

13nlds

OÀC
=n 2 .ds=-_-dx 1 .dx 3

ds

OÀB
=n^ . ds=-jdx 2 . dx 3

ABC

t2ds

> -S ( f ) dû aux f oxc.es
' agissant«à droite»
du tétraèdre.

et en écrivant que la projection des efforts suivant chacun des axes de coordonnées est
n; = cosinus directeur de la facette dont la normale est parallèle à Ox;.

nulle, on obtient :

La contrainte agissant sur la face ABC considérée comme n'appartenant pas au tétraèdre
vaut :
If!



d'où:

• Les facettes OBC, OAC et ABC sont soumises aux contraintes représentées sur la figure
ci-après :

I Pour la facette OAC dans le plan

Xinfiniment petit
devant dxi

Œ)
(C)

'31n3QS>dx

3.2. SECTION DROITE
Aux infiniment petits du second ordre près, les moments en O' donnent :

dx,

dx,

:

• L'aire plane (E) est appelée. : SECTION DROITE ou PROFIL.
• Elle peut être :

*

• plane ou évidée,
• constante ou lentement variable, pour pouvoir résister notamment aux efforts au
voisinage des appuis.

or :
HJ ds = — dx2 dx3 et n3 ds = — dxj dx2

• Les dimensions de la section droite doivent être petites relativement à la longueur parcourue par G sur la courbe (C).
/! ',*

d'où:

t *-|

'

3.3. FIBRE MOYENNE
- La courbe (C) décrite par le centre de gravité G de la section droite est dite : FIBRE ou
LIGNE MOYENNE de la poutre.
soit, en simplifiant par — dx l dx 2 dx 3 : T B = T 31
- Suivant la forme de la ligne moyenne, on obtient :
Cette démonstration étant valable dans les trois plans, on en déduit :

- une POUTRE DROITE lorsque (C) est une droite,
- une POUTRE GAUCHE lorsque (C) est une courbe gauche,

- = Ti quel que soit ixj

3. THÉORIE DES POUTRES
3.1. POUTRE
- Une POUTRE est un solide engendré par une aire plane (L) délimitée par un contour
fermé dont le centre de gravité G décrit une courbe (C) de l'espace de telle sorte :
- que le plan de (Z) soit toujours normal à la tangente en G à la courbe (C),
- que la trajectoire décrite par un point P quelconque de (Z) soit toujours parallèle à la
courbe (C).

- un ARC lorsque (C) est une courbe plane ouverte,
- un ANNEAU lorsque (C) est une courbe plane fermée,
- une POUTRE À PLAN MOYEN lorsque (C) est une courbe plane dans le plan de symétrie de la section droite (appelé PLAN MOYEN).
3.4. DOMAINE DE VALIDITÉ DES HYPOTHÈSES DE LA THÉORIE DES POUTRES
En désignant par :
ht = plus grande dimension transversale de la section droite,
b = plus petite dimension transversale de la section droite,
R = rayon de courbure de la ligne moyenne,

T = rayon de torsion de la ligne moyenne,

B Remarque :
Pour les poutres à plan moyen, Gy est dans le plan moyen.

L = longueur développée de la poutre,

Le système des forces extérieures agissant sur la partie (DG) se réduit, au centre de gravi-

il faut :

té G de la section droite, à :
/R(s) = RÉSULTANTE GÉNÉRALE

-^-110
b
1 f—-<
ht —
1 : poutres
1
30
L
5
1
:arcs
ht 1
<
—£.
<
4100
L
5

TIT

\M(s) = MOMENT RÉSULTANT
• Dans le repère Gxyz, lié au centre de gravité G de (Z), la décomposition des efforts
s'écrit, pour la section d'abscisse curviligne s :

/R(s) = N . x + V y . y + V z . z

> 5 : poutres courbes

\M(s) = T . x + M y . y + M z . z

r=R ou T

Rou-T

I D'où :

4. ELEMENTS DE REDUCTION
4.1. EFFORTS SUR UNE SECTION DROITE

• la résultante générale R se décompose en :
N = EFFORT NORMAL porté par Gx,
V = | yy = EFFORTS TRANCHANTS dans le plan de (Z).

le moment résultant M se décompose en :
• Repère associé au centre de gravité de la section droite (Z) :

T = COUPLE DE TORSION d'axe porté par Gx,

Gx, orienté de la gauche vers la droite sur la tangente à la ligne moyenne,

M=

Gy et Gz, portés par les axes principaux d'inertie de la section droite.

| My =

MOMENTS

FLÉCHISSANTS dans le plan de (Z).

5 2.

4.2. EFFORT NORMAL ET TRANCHANT
Nous avons défini l'effort normal (resp. tranchant) relatif à la section (Z) de centre de
gravité G, d'abscisse curviligne s, comme étant égal :

ARTICULATION
B

Appui s'opposant à toute translation, mais autorisant les rotations :

- à la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante des forces
appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les
centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à s (FORCES DE GAUCHE),
- à l'opposé de la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante
des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections
droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes supérieures à s (FORCES
DE DROITE).
4.3. MOMENT FLÉCHISSANT ET COUPLE DE TORSION
De la même manière, le moment fléchissant (ou le couple de torsion) relatif à la section (£)
de centre de gravité G d'abscisse curviligne s est défini comme étant égal :
- à la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la normale Gx) du
moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble
des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à
s (FORCES DE GAUCHE),
- à l'opposé de la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la normale Gx) du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par
l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes
supérieures à s (FORCES DE DROITE).

• Deux composantes de la réaction d'appui.
5.3. ENCASTREMENT PARFAIT
• Appui interdisant toute translation et toute rotation

5. CONDITIONS GÉNÉRALES D'APPUI DES POUTRES
5.1. APPUI SIMPLE
• Appui qui n'empêche le déplacement que dans le sens perpendiculaire à sa surface. Un
tel appui permet la translation suivant l'axe Ox et la rotation autour de l'axe Oz :
y
t

l Deux composantes de la réaction d'appui et une du moment d'encastrement.
>

ou
,-'//, ••'/•

6. SYSTÈMES ISOSTATIQUES ET HYPERSTATIQUES
• D'après le principe fondamental de la Statique, un solide est en équilibre si le système
S(F) des forces qui lui sont appliquées (charges et réactions d'appui) est équivalent à un

• Une seule composante de la réaction d'appui.

système de forces nul. Cela conduit, dans le cas général, à six équations :

PRATIQUE DU BAEL 91

16

Rappels de Kesismnce aes muienuiui

2 ÉQUILIBRE DU TRONÇON ÉLÉMENTAIRE DE POUTRE
Le tronçon GG' limité par deux sections droites infiniment voisines (Z) et (£') d'abscisses respectives x et x + dx est en équilibre sous l'action :
_ des charges appliquées : p(x), q(x) et y(x),
- des éléments de réduction des forces de gauche : M, N et V,
_ des éléments de réduction des forces de droite :
• Par conséquent :
r = nombre de réactions et moments d'appui inconnus,
k - nombre d'équations fournies par la Statique (k < 6),

dx

dx

,

. , , , ' . '&
^
f
,» -

dx

l Par projection, il vient :

si r - k, le système est dit ISOSTATIQUE et les équations de la Statique permettent de
déterminer toutes les réactions d'appui,

>r\\m !,«

si r > k, le système est dit HYPERSTATIQUE d'ordre r - k car il manque r - k équations
pour calculer toutes les réactions d'appui,

; <• u m

si r < k, le système est dit INSTABLE puisqu'il y a k - r équations d'équilibre surabondantes.
• Dans le cas de forces agissant dans le plan moyen et de couples d'axes perpendiculaires à
ce plan, k < 3 (cf. Vz = My = T = 0).

7. ÉQUATIONS INTRINSÈQUES DES POUTRES DROITES
7.1. CONVENTIONS DE SIGNE
• On se bornera à l'étude des poutres à plan moyen chargées dans leur plan :
p(x) = densité de charge suivant Gx,
q(x) = densité de charge suivant Gy,
"y(x) = densité de couple d'axe normal au plan moyen.

dx
V - q (x) dx - v + dV dx 0
dx
M + V . ^L + Y(x) dx - (M + M dx) + (v + dV ^ dx_ = 0
!
1
\
dx / \
dx / 1
I Après simplification, il vient, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à 2 :

I Les conventions de signe pour les charges sont indiquées sur ta figure ci-dessus

dN
- = p(x)
dx
dV
- = -q(x)
' dx
dM
- = V(x) + Y(x)
dx

8. RELATIONS CONTRAINTES-EFFORTS
a = -E -

=-E[a+by+cz]

8.1. LOI DE HOOKE
- Toute contrainte normale est accompagnée d'une dilatation unitaire :
- de même direction que la contrainte,
- de signe opposé à la contrainte,
- proportionnelle à la contrainte :

m

Cette équation traduit le PRINCIPE DE PIGEAUD.

8 3. CHAMP DES

CONTRAINTES NORMALES

• D'après le principe d'équivalence, le système des forces de contact est équivalent au système des forces de gauche.
I E est appelé MODULE D'ÉLASTICITÉ ou MODULE D'YOUNG.
8.2. PRINCIPE DE NAVIER-BERNOULLI
S(adZ)=S(FG)=(N,My,Mz)
• Les variations unitaires de longueur — sont des fonctions linéaires des coordonnées y et
z des fibres dans le plan de la section droite (déplacement simple = rotation + translation).

t
•'• <' €

l Nous obtenons donc :

dx

adZ=N

résultante générale
: » • •••"

aydZ=M z
momen t résultant
azdZ=-M y
AVANT

APRES
DEFORMATION

l On a donc pour / = dx:

rotation/Gy et Gz
translation
d'où, la loi de Hooke s'écrit :

D'après le principe de Pigeaud : a = - E[a + by + cz] = a + (îy + yz, d'où le système
linéaire en a, p, y :

| zdZ =
'Z

Dans le cas d'une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes :

yzdl+r

a

z

'

l Or, par définition du centre de gravité et des axes principaux d'inertie :
S=bh

|jydZ=j|zdI=0

"z

et

"z

|L2d2;= 0

I
Iz =—
12

"z

. hb3 «É=>

l D'où, compte tenu de la définition des aires et des moments d'inertie :

N
bh 2

,.±±

+

hb 2

»M4

aS=N

8.4. SOLLICITATIONS PARTICULIÈRES
8.4.1. Compression et traction simple
• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à un
l On obtient donc :

effort normal :

N

Mz.y

My.z

• positif pour une compression,
• négatif pour une traction.

• La contrainte normale, due à la flexion composée déviée, dans une section droite homogène et élastique à plan moyen vaut :

a-

N

s

Mz.y

My.z

Iz

!y

Mz
S=aire de la section
droite,
Iy=moment d ' inertie/Gy,
Iz=moment d'inertie^Gz.

• Dans ces conditions, la contrainte normale et le déplacement dus à la compression ou à la
traction simple, dans une section droite d'une poutre homogène et élastique, valent :

-1
dl

dx "
N-

M

0

E

N
ES

H

8.4.2. Flexion simple
• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite à un
moment fléchissant Mz d'axe Gz.
• Dans ces conditions, la contrainte normale due à la flexion simple, dans une section droite homogène et élastique, vaut :

do;

•Vï'sU 'US;/] •

- i

f ;i

"\

I Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2) :

• D'après la loi de Hooke, la déformation relative de la fibre d'ordonnée y vaut :

d/__ q ( y ) _ _ M z . y
dx~ ~ÊT: " E . I z
La rotation relative dœ entre les deux sections est :
d/

Mz ,

dx

l D'où la valeur de la courbure de la ligne moyenne :

•:. ;< >Hï A'
• Pour deux sections droites (1,^ et (£2), infiniment voisines, distantes de dx et soumises ;
l'action d'un moment fléchissant M, :

1

dûJ

J?

dx

Mz
EI Z

- . - . / • K > î.*f
; -• 5«

8

-4.3. Flexion déviée

!J

• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à.
- un moment fléchissant My d'axe Gy,
- un moment fléchissant Mz d'axe Gz.

• Dans ces conditions, la contrainte normale et les déplacements relatifs dus à la flexion
déviée, dans une section droite homogène et élastique, valent :

_ VA et MA = éléments de réduction des forces de gauche en (ZA),
_ VB et MB = éléments de réduction des forces de droite en (SB).

V

V

t

Mz.y
°~ Iz
My_

dx
Hfl z
au
dx

Ely
M
nz
EI Z

p

i

fp(€)

My.z
ly

dtf y

A*

a

B

J

:::::::::S
^
S

w+ ^

iH;

T

ma
&4

(SB)
;,- , ";S »

'•'E

r
.+

l Les sens positifs sont ceux figurant ci-dessus.
l Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2 et z - ± b/2) :
9.2. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION DANS TOUTE SECTION (I) DU TRONÇON
DE POUTRE

y
t

9.2.1. Effort tranchant
Les forces de gauche donnent en G :

o- —
SI

+

6MV

6M7
bh2

Hh

hb2
'0

•4|

9.2.2. Moment fléchissant
De la même façon :

x
0

9. TRONÇONS DE POUTRES DROITES
9.1. CHARGEMENT ENVISAGÉ
9

• On considère un tronçon de poutre droite limité par deux sections droites : (SA) (origine)
et (SB) (extrémité).

-3. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION
•3.1. Éléments de réduction en fonction des éléments de réduction isostatiques
d'appui de la poutre isostatique associée

• Ce tronçon de poutre est supposé sollicité par des forces situées dans son plan moyen :
- densité de charge répartie p(Ç) d'abscisse £ depuis (SA),
- forces verticales concentrées P; d'abscisse xt depuis

1

Pour une poutre sur deux appuis simples soumise aux mêmes charges et de même longueur que le tronçon de poutre étudié (POUTRE ISOSTATIQUE ASSOCIÉE) :

27

Rappels de Résistance des Matériaux

PRATIQUE DU BAEL 91

26

d'où, il vient :
M B -M A

MA - M

>K

b) Éléments de réduction

Ri

• Dans toute section droite (Z) du tronçon de poutre étudié :

• RA est obtenue en écrivant que le moment résultant en B est nul :

M=M A +V À x-I Pitx-Si)Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a :
l En remarquant que pour la poutre isostatique associée au tronçon étudié :

x

h
nous obtenons, par identification :

*

soit :
MA-MB

M B -M A

l La réaction RB est obtenue en écrivant que la résultante générale des forces est nulle :
l Nous obtenons par identification :

,1

>\:- - . • . ; . ' .

d^i
dx

MA-MB
%/

^

Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a :
HVAX +

,1
I Soit, après simplification :
nous obtenons par identification :
soit :
, = V A - V B - R A avec R A = VA +

M , - M RB
\

/

f -7
^

\

A

M

,-MB)
/

J"

9.3.2. Définition
On appelle éléments de réduction isostatiques (respectivement MOMENT et EFFORT
TRANCHANT ISOSTATIQUES), les éléments de réduction dans toute section droite (I)
d'un tronçon de poutre, lorsque ce tronçon de poutre repose à ses deux extrémités sur des
appuis simples.

Remarque : dans le cas où a = - on pose :

9.3.3. Poutres droites isostatiques : éléments de réduction
a) Cas d'une charge concentrée
Cas d'une charge uniformément répartie

(E)

(Z)

P

-H
1

RB=-vB
I Réactions d'appui :
Réactions d'appui :

MB = 0 = > R A . / - P ( / - a ) = 0 = > R A = P | l - -

«=P-R A ^RB=PSollicitations :
Sollicitations :

M ( x ) = R A x = P | l --|x
0<x<a:

(forces de gauche) ;

V(x) = RA = 1

|M(x)=R B (/-x) = p ( l - x - ) a
a<x<l:/
* l'

V(x) = - & , = - P -

(forces de droite)

x

p/

px2

= RA.x-px^ = ^x-

px (/

~ X)

I On pose :

I Cas particulier des couples sur appuis
Pl

Mr

Pour a =



c) Cas d'un couple concentré d'axe perpendiculaire au plan moyen
(I)
2J

H

^r

(+•



^
•-1
i

RB=-^

•vM trx.
Pour a = l;r=-Mij:

Réactions d'appui :

. RA . / + r = o

=0

.MB
i
R

4/

i-V--^ 4

-

Sollicitations :

M(x) = RA x = - F1
0<x<cc:

(forces de gauche)
9.3.4. Éléments de réduction dans un tronçon de poutre

M(x) = Rg (/ - x) = F 1 - 1
a<x</:/
\
'
|V(x)=-RB=-L

(forces de droite)

• Les éléments de réduction dans un tronçon de poutre peuvent, d'après ce qui précède,
être évalués à partir des éléments de réduction de la travée isostatique associée, en opérant
par superposition :
ai

r
H
1

Xitu

• Pi

D'
©

Tronçon de poutre

Travée de référence soumise aux mêmes charges(ou |
travée isostatique associée) :

4

APPLICATION AUX POUTRES CONSOLES
• En dissociant les deux consoles de la travée centrale, on obtient la décomposition des
efforts suivante :

;M(X)=^(X)

Travée de référence soumise à M :

"(ï

(S)

l D'où le diagramme des moments :
Travée de référence soumise à MB:

MR

V(x)=f

I D'où par superposition :

M-

Mi=moment à gauche
À
deA,
MTD=moment à droite
de B.

T
IL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES

TT

"*

1. CONVENTIONS
„!

Les sens positifs adoptés pour les forces, les éléments de réduction et les déformations sont les
suivants.

©

DÉFORMATIONS
f = flèche,
(0 = rotation.

FORCES APPLIQUÉES
P = charge appliquée concentrée,
p = charge appliquée répartie,
RA, RB = réactions d'appui.

<

*.;:3 1
2. FORMULAIRE

ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION

FORMULES

SCHEMA RdM

• M = moment fléchissant,
(I)

V = effort tranchant,
Chargement : (

N = effort normal.

H+
24

£=-

f ibre
tendue
forces de gauche

Diagrammes :

f ibre
tendue
forces de droite

• Les efforts tranchants à gauche et à droite d'un appui I sont notés respectivement (indice
w pour ouest, indice e pour est) :

384EI

FORMULES

SCHEMA RdM

MÀ=-P1
;.!

y, =P
V
ÀF

Chargement : (À

*ç**""
3^

PI
3EI
f—

Diagrammes :

Chargement :

®

1/2
M

pa
À=MB=~T

M t =M 0 +M À

Diagrammes :

f=-

p!2(512-24a2)
384EI

pa(!3-6a2l-3a3)
24EI
pl(!2+6a2)

Diagrammes: (À) j==

SCHEMA RdM

FORMULES

Charcremen t
P

Chargement :

P
,

FORMULES

SCHEMA RdM

MB=-Pa

1/2

(Z)

VÀW=-VBe=-P

W
f

€t'""-î
U

A_. 4-^'-•^3
i)
(B)^
(

R

h

N ::



>

1

'>

. a
R
=

!f

B

A

VAe=VBw=0
Pal2
f-,
f
' BEI
Pa2(4a+31)
fl
"~
12EI

v

Diagrammes :

l?._

Pla
ûJ».
"V ûJ
"fe-= 2EI

®î
V

Be=

Diagrammes :
.
:M
:V

- :V
l
v

V

Ae

_

à

^

\

ZA:!^^* _

VBw ®_

àL

\

'X
MB

~^
Chargement :

uummuww

Diagrammes :
V
2

1

P

*
•&-^ w~>
'•* • •>.-,«
.*t «t. „

CHAPITRE 2

BÉTON ARMÉ : GÉNÉRALITÉS

I. RAPPELS DE COURS
1. UNITÉS
Longueurs en mètres (m).
Sous-multiple : 1 cm = 10-2m.
Forces en newtons (N).
Multiples : 1 kN = 103 N (kilonewton),
1 MN = 106N (méganewton).
Remarque : 1 MN = 105 daN (décanewton) ~ 105 kg (kilogramme) = 1001 (tonne).
Pressions, contraintes en pascals (Pa) : 1 Pa = 1 N/m2.
Multiple : 1 MPa = KPPa (mégapascal) = 1 N/mm2.
Remarque : 1 MPa = 10 daN/cm2 = 10 bars = 10 kg/cm2 = 100 t/m2.

• ACTIONS ET SOLLICITATIONS
2-1. TERMINOLOGIE
ACTION = toute cause produisant un état de contrainte dans la construction.
- Actions permanentes :
• poids propre,
• poids des superstructures,
• poussées des remblais,
•etc.

- Actions variables :
• charges d'exploitation,
• charges appliquées en cours d'exécution,
• action de la température,
• vent, neige,
• etc.
- Actions accidentelles :
• chocs de véhicules routiers ou de bateaux sur appuis des ponts,
• séismes,
• etc.
SOLLICITATIONS = forces et moments produits par les actions dans les éléments d'i
construction :
- effort normal : N,
- effort tranchant : V,
- moment fléchissant : M,
- couple de torsion : T.
2.2. VALEURS DES ACTIONS
La variabilité des actions agissant sur une structure est prise en compte en définissant pour
chacune d'elles des VALEURS REPRÉSENTATIVES déterminées :
- par exploitation statistique des données nécessaires existantes,
- par estimation fondée sur l'expérience.
La VALEUR DE CALCUL d'une action est obtenue par multiplication de sa valeur représentative à l'aide d'un COEFFICIENT DE PONDÉRATION y destiné à couvrir :
- les incertitudes résultant de la connaissance imparfaite des données de base,
- l'imprécision des hypothèses de calcul,
- les imperfections de l'exécution.
2.3. ÉTATS-LIMITES

_ perte d'équilibre statique,
_ rupture de sections par déformation excessive,
_ instabilité de forme (flambement),
_ transformation de la structure en un mécanisme.

•'' ^

'

'

Critères de calcul :
/ \ (
, ,,, ;
_ déformations relatives (ou courbure) limites,
_ calcul de type « rupture » avec lois contraintes-déformations des matériaux.

,.(<s
feife,
•I i..

l États-limites de service (E.L.S.)
Ils sont liés aux conditions normales d'exploitation et de durabilité.
Ils correspondent aux phénomènes suivants :
- ouvertures excessives des fissures,
- compression excessive du béton,
- déformations excessives des éléments porteurs,
- vibrations excessives et/ou inconfortables,
- perte d'étanchéité,
-etc.
Critères de calcul :
- contraintes (ou déformations) limites,
- calculs de type élastique (loi de Hooke, coefficient d'équivalence,...)2.3.3. Vérifications
a) États-limites ultimes (E.L.U.)

La SOLLICITATION AGISSANTE DE CALCUL est obtenue pour une combinaison
d'actions F, :
J - coefficient de sécurité partiel
S [S y. • \j/. • Fjl avec pour l'action i : / \\i F{ - valeur représentative (cf. 2.2 et 2.4.1.)
j = 1 s'il s'agit d'une action permanente

2.3.1. Définition
Un ÉTAT-LIMITE est un état particulier dans lequel une condition requise pour une
construction (ou l'un de ses éléments) est strictement satisfaite et cesserait de l'être en cas
de modification défavorable d'une action.
2.3.2. Différents états-limites
a) États-limites ultimes (E.L. U.)

La SOLLICITATION RÉSISTANTE est celle pour laquelle l'un des matériaux constitutifs
de la structure atteint soit une déformation limite, soit une résistance limite :

R
?">!

'u.-.

Ils mettent en jeu la sécurité des biens et des personnes.

ou :
f
e.fcjetf t j =

Ils correspondent à l'atteinte du maximum de la capacité portante de l'ouvrage ou de l'un
de ses éléments avant dépassement par :

Y s et Y b =

Ys Yb Yb
résistances caractéristiques des matériaux acier et béton en compression et en
traction,
coefficients de sécurité partiels au moins égaux à 1 pour l'acier et le béton.

On doit vérifier :

On»
QB
Qex

b) États-limites de service (E.L.S.)
On doit montrer que la sollicitation de calcul agissante ne provoque pas le dépassement des
limites de l'E.L.S. considéré :
- pour les contraintes :
^CJHn

< T lim

W

S = M et/ou N

S = V et/ou T

Qiv
Qiv
Sn

- pour la flèche :

T
S = M ou M + N

2.4. COMBINAISONS D'ACTIONS
2.4.1. Notations
On désigne par :
= ensemble des actions permanentes défavorables,
= ensemble des actions permanentes favorables,
'-•min
Qi
= action variable de base (valeur caractéristique, y = 1),
Qi
= action variable d'accompagnement (i>l) :
Voi-Qi= valeur de combinaison,
Vn-Qi - valeur fréquente,
\|/2i-Qi = valeur quasi permanente,
FA
= action accidentelle.
On note :
G
= valeur probable d'une charge permanente,
Qprc
= charges d'exécution connues (en grandeur et en position),
Qpra = charges d'exécution aléatoires,
Qr
= charges routières sans caractère particulier (systèmes A, B et leurs effets
annexes, charges de trottoirs) obtenues par multiplication des charges figurant au
Fascicule 61-titre II par :
• 1,07 aux E.L.U.,
il
•1,20 aux E.L.S.,
i]
• 1,00 aux E.L.S. pour charges de trottoirs,
il

A0
Qe

= charges routières de caractère particulier (convois militaires et exceptionnels)
définies au Fascicule 61-titre II,
= charges d'exploitation des bâtiments,
= charges d'exploitation ferroviaires définies par le livret 2.01 du CPC (1) de la
SNCF,
= action du vent définie :
- par le Fascicule 61 - titre II pour les ponts-routes,
- par les Règles NV 65 pour les autres constructions, les valeurs du vent normal
étant multipliées par :
. 1,20 aux E.L.U.,
- 1,00 aux E.L.S.,
= action du vent sur les ponts-rails à vide,
= action du vent sur les ponts-rails en cours d'exploitation,
= action de la neige pour les bâtiments définie par le Fascicule 61 - titre IV, section II (Règles N 84),
= variations uniformes de la température,
- = gradient thermique prescrit par le marché (rapport de la différence A0 de
h
température entre les deux faces d'un élément à l'épaisseur h de celui-ci),
= effet des variations de température sur les ponts-rails :
- dilatation des longs rails soudés,
- gradient de température,
- variation de température.

Dans ce qui suit, pour les COMBINAISONS D'ACTIONS, il faut :
- prendre la combinaison la plus défavorable pour l'effet recherché, une même action
n'intervenant au plus qu'une seule fois dans la combinaison,
- choisir une (ou aucune) action parmi celles se trouvant derrière une accolade ({),
- les valeurs entre crochets ([...]) ne sont généralement pas à prendre en compte.
2.4.2. États-limites ultimes (E.L.U.)
a) Combinaison fondamentale
- Formulation symbolique :

• Cas des ponts-routes :
I situation d'exécution :
•amer des prescriptions communes applicables aux marchés de travaux d'ouvrages d'art.

_ situation d'exploitation :

w

1,OW

|w

1,35. Q e

l,OQpra
+1,3{[0,615T+0,50A6]
J
I[0,615T+0,30A0]

1,35[T]

l,35Gmax + G

1,3 (Qiv + 1,3 (0,615 . Q e
1,5

- situation d'exploitation :

> - ;••'»• J«
'

Combinaisons accidentelles
1,5

• -

;.;.' I d

-

• Formulation symbolique :

W
1,3 {[0,615 T +0,50 A0]

Qr
1U5
35

in + F À + V i i . Q i + 2 V2i.
où :

I Cas des bâtiments :
• situation d'exécution : combinaison identique à celle des ponts-routes.

/

'35-G

= valeur fréquente d'une action variable,
= valeur quasi permanente d'une autre action variable.

Cas des ponts-routes :

situation d'exploitation :

1

^Qj

/0.77.W

QB
1,5 ( W

sn

0,6 \
pont de 1re classe
0,4 \ Q r pour / pont de 2e classe

0,77. S n
'1

1,35[T]

/ Vo-Qfi
\ 0,77.W + i|/ 0 .Q B
0,77.S n + x)/ 0 .Q B
0,77. W +0,77. S n

- min "Lt " 1FA " lj."

max "•"

' '

pont de 3e classe

Q7W

0,5 T
0,5 A0

I Cas des bâtiments :
0,75 . Q B

V|/0 = coefficient défini dans l'annexe à la norme NFP 06-001.

0,20. W
+ (0,65 . Q B +1\|/2.. T
0,15. S n

• Cas des ponts-rails :

0,50. T

si le C.P.S. 0> le prescrit.

- situation d'exécution :
I Cas des ponts-rails :
1,35. Q e x + 1 , 5 . Qpr;
pr;i

1,5

'w

+ 1,3 {W + 1,3 (0,615. Q,

0,8
Gmax + G min + FA + { 0,6 Qex pour
4

i °'

(D CoM r des prescriptions spéciales au marché.

1 voie
2 voies + (0,6 Q 0
1 > 3 voies

2.4.3. États-limites de service (E.L.S.)

.situation d'exploitation:

• Formulation symbolique :
( Qex

Gmax

• Cas des ponts-routes :
- situation d'exécution :

2

+G m i n +

),6 . Qe

Qiv
Qe

4.4. Équilibre statique
H s'agit de cas délicats pour lesquels une analyse particulière est à faire. Par exemple :

Qpra

(Gmax +Qprc) + (G^ + Qprc) + ,

_ pour une poutre-console, il faut considérer :

0,6 T

W

IW

T

Ae

0,5 . A9

G+1,5Q B

0,9G

0,6 . T + 0,5 . A0

- situation d'exploitation :
- pour les bâtiments, il faut faire un calcul avec le maximum de précision (densité moyenne des aciers, poids minimal des cloisons stabilisatrices...).

Qr

Qrp

2.4.5. Stabilité de forme

Gmax +Gmin + / AO + ((0,6 . T + 0,5 . A0)

Voir chapitre 11 « FLAMBEMENT ».

T

(w
2.5. REMARQUES

Cas des bâtiments :
situation d'exécution : combinaison identique à celle des ponts-routes.
situation d'exploitation :

QB
W

/QB
0,77 . W

0,77 . S n
+ { 0,77 . W + 0,77 . Sn

(0,6 T

QB + 0,77 . W

2.5.1. Combinaisons d'actions et cas de charge
Combinaisons d'actions et cas de charge constituent deux notions distinctes (le CAS DE
CHARGE correspondant à la répartition des actions de la combinaison d'actions sur la
structure).
Par exemple, pour une poutre-console, la combinaison avec Gmax et QB conduit aux cas de
charge suivants pour la détermination des sollicitations extrêmes :
;

QB + 0,77 . S n

max +1 - S Q B

\QB + 0,77 . W + 0,77 . Sn

À
donne^ Mmax
et M
min
( avec : G m i n +l, 5QB et G min )

CÀSfï)
^^

0
Qg

Cas des ponts-rails :
situation d'exécution :

A

l,35G max+ 1.5Q B

CAS0

donne M Aitiax

CAS0

donne M max

0
e

+Qprcj + (Gmin + Qprc) + /w

Qe

{0,6 . Q@

1.35G.

0

2.5.2. Origine et nature des actions

Fonction de
répartition

Gmax et Gmjn désignent des actions d'origine et de nature différentes. D'où : le poids propre
d'une poutre continue, dans toutes les travées :
- a la même valeur : Gmax (ou G^,,),
- entre dans les combinaisons avec le même coefficient : 1,35 (ou 1).
2.5.3. Actions variables
Les actions variables sont à considérer les unes après les autres comme « action de base » et
doivent être introduites dans les combinaisons d'actions de la manière la plus défavorable.

0,5

2.5.4. Cas des bâtiments
Planchers-terrasses des bâtiments : considérer les charges d'exploitation ou les charges climatiques, mais non les deux simultanément.

x=valeur du
caractère

'Fonction de
distributi Dn

Pour les IGH (1\ la dégression des charges d'exploitation s'effectue avant la prise en comp- J
te des coefficients : \j/0i, i|/u et \|/2i.

3. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX
3.1. VALEURS DES RÉSISTANCES
La variabilité de la résistance (et des autres propriétés) du béton et de l'acier est prise en!
compte en définissant sur une base statistique, à partir des mesures effectuées en laboratoire sur éprouvettes, des RÉSISTANCES CARACTÉRISTIQUES.
La VALEUR CARACTÉRISTIQUE d'ordre p d'un caractère déduit d'un ensemble dej
valeurs est la valeur de ce caractère telle que la population des valeurs qui lui est inférieure i
est égale à p (0 < p < 1).
On définit ainsi la valeur du caractère considéré qui a une probabilité p, acceptée a priori,
de ne pas être atteinte.

(1) Immeubles de grande hauteur.

|
Valeur
caractéristique
d'ordre p

moyenne

x=valeur du
caractère

On procède à la régularisation des courbes de répartition normales (gaussiennes) afin d'éviter les trop fortes dispersions (surtout lorsque l'on dispose d'un petit nombre d'essais) :
Fonction
de
distribution

K, et K2 = « contraintes » fonction :
- du nombre d'échantillons essayés,
- de la résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours (voir paragraph
3.3.1.).

f« ;
f

,

Diagramme caractéristique
•j Diagramme de calcul

ed^"-

3.2. ACIERS
;Es='2.105MPa

3.2.1. Caractéristiques géométriques
Les barres utilisées sont caractérisées par leur diamètre nominal : <I>

~Jsl
<|> (mm)

3

3.5

4

4,5

5

5,5

7

6

8

Section (cm2) 0.0/1 0,096 0.126 0,159 0,196 0,238 0,283 0,385 0,50
Poids
(kg/m)

0,056 0,076 0,099 0,125 0,154

9

10

12

14

16

20

25

32

40

0636 0,79

1.13

1,54

2,01

3,14

4,91

8,04

12,57

1,579

2,466 3,854 6,313

9,864

0,187 0,222 0,302 0,395 0,499 0,616 0,888 1,208

ed

'^s

Y

1,00 pour les combinaisons accidentelles
( 1,15 dans les autres cas

Ronds lisses
et barres HA
Fils HA (1)
Treillis
soudés









*



*



l

ed



(1) : diamètres 7 et 9 mm pour armatures préfabriquées seulement.

, -\f•U.

3.2.2. Caractéristiques mécaniques
f e = LIMITE D'ÉLASTICITÉ GARANTIE (résistance caractéristique).

3.2.4. Caractères d'adhérence
a) Coefficient de fissuration î]
1,0 pour ronds lisses et fils tréfilés lisses en treillis soudés

On distingue :

r\ = { 1,3 pour fils HA <ï>< 6 mm

- des ronds lisses :
FeE215 f e =215MPa
FeE235

f e =235MPa

- des barres à haute adhérence (HA) :
FeE400 f e = 400MPa
FeE500

1,6 pour barres HA et fils HA $ > 6 mm
b) Coefficient de scellement

f e =500MPa

- des fils tréfilés HA et des treillis soudés formés de ces fils (TSHA) :
Fe TE 400 f e = 400 MPa : fils HA
FeTESOO f e = 500 MPa : fils HA et TSHA

s

_ 1,0 pour ronds lisses
\ 1,5 pour barres etfilsHA

3.3. BÉTONS
3

- des fils tréfilés lisses qui sont assemblés en treillis soudés (TSL) :
TSL 500 fe= 500 MPa

-3.1. Résistances
*c28 - résistance caractéristique à la compression,
fI

- •
t2s - résistance
caractéristique à la traction,

3.2.3. Diagramme contraintes-déformations
Le diagramme de calcul se déduit du diagramme caractéristique (idéalisé) par une affinité
parallèle à la droite de Hooke et de rapport l/ys.

f t 2 8 = 0 , 6 + 0 , 0 6 . f c 2 8 (MPa)

;

,

soit, dans les cas courants :

fonction de la durée t d'application de la combinaison d'actions considérée
f c28 (MPa)

f,28 (MPa)

25

2,10

30

2,40

35

2.70

40

3,00

11,00 :t>24heures
9 = ( 0,90 : 1 heure < t < 24 heures
0,85 : t < l heure
3 3.4. Retrait du béton
1,5.10

3.3.2. Modules de déformation

4

dans les climats très humides

4

Instantanée à j jours d'âge (avec j < 28) :

.1

3
000 \ / f

j

2,0 . 10~ en climat humide, ce qui est le cas de la France métropolitaine
sauf dans le quart sud-est
3,0 . 10~4 en climat tempéré sec, tel que le quart sud-est de la France métropolitaine
4,0 .10" en climat chaud et sec
i 5,0 . 10"4 en climat très sec ou désertique

À long terme :

Pour j > 28 jours et fc28 < 40 MPa, on adopte (cf. § 3.4.2. chapitre « État limite de service
vis-à-vis des déformations » de l'ouvrage Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés) :

4. HYPOTHÈSES ET DONNÉES POUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ
On distingue deux types d'états-limites pour le dimensionnement (armatures et béton) :
- états-limites ultimes (E.L.U.),
• de résistance,
• de stabilité de forme,
- états-limites de service (E.L.S.) atteints :
• par compression excessive du béton,
• par ouverture excessive des fissures,
• par déformation excessive.

c28

3.3.3. Diagramme contraintes-déformations
Diagramme parabole-rectangle :
(7,

OS = parabole du 2e degré
tangente en son sommet S à
l'horizontale.

4.1. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES GÉNÉRALES VALABLES
POUR TOUS LES ÉTATS-LIMITES
Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions (principe de Navier-Bernoulli).
La résistance du béton tendu est considérée comme nulle.
Par adhérence, les déformations relatives de l'acier et du béton au contact sont les mêmes.

',28
4

-2. HYPOTHÈSE SUPPLÉMENTAIRE POUR LES E.L.S.

avec :

En vertu de la loi de Hooke, les contraintes sont proportionnelles aux déformations relatives :
1,15 : combinaisons accidentelles
1,50 : autres cas

Al

II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS

On définit le coefficient d'équivalence par la relation :

— ÉNONCÉ —

n = — = 15 (valeur conventionnelle)
E
b

Pour l'ossature de bâtiment figurée cicontre :

^__Jàçrotère_

4.3. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES POUR L'E.L.U.
Le raccourcissement relatif du béton est limité :
- à 3,5/1 000 en flexion,
- à 2/1 000 en compression simple.

0

L'allongement relatif de l'acier est limité :
- à 10/1 000.

0

Le dimensionnement à l'état-limite ultime est conduit en supposant que le diagramme des
déformations passe par l'un des trois pivots A, B ou C définis ci-dessous.

18,00 m

Allongements^Raccourcissements^

• On se propose :
1) de déterminer les charges globales
pour une longueur unitaire de bâtiment, en supposant pour simplifier :
• que les planchers sont simplement
appuyés sur les poteaux, au niveau
du plancher haut du rez-de-chaussée
(RdC) pour les charges verticales,
• que la base des poteaux est articulée
pour les charges horizontales.

0

©

(RdC)
^^^^

• Charges :
• sur terrasse et les trois planchers :
g = 17 kN/m2 permanentes,
q = 17,83 kN/m2 variables
(VI/Q = 0,77).
• acrotères et façades :
G = 48 kN/m à l'E.L.S.,
• vent :
w = 5,60 kN/m2 à l'E.L.U.

(B)

• Pivot A Région 1

2) de calculer les efforts normaux
extrêmes à l'E.L.U. dans le poteau A.

- Allongement de l'acier le plus tendu : es = 10.1Q-3 ;
pièces soumises à la traction simple ou à la flexion simple ou composée.
• Pivot B Région 2

— CORRIGÉ —

- Raccourcissement de la fibre de béton la plus comprimée : e^ = 3,5.10~3 ;
pièces soumises à la flexion simple ou composée.
• Pivot C Région 3
- Raccourcissement de la fibre de béton à la distance 3h/7 de la fibre la plus comprimée :
ebc=2.10-3;
pièces soumises à la flexion composée ou à la compression simple.

1- CHARGES À L'ÉTAT-LIMITE ULTIME
L

l- CHARGES VERTICALES
Pour 1 mètre de longueur de bâtiment :
- Charges permanentes : g = (3 + 1).17 = 68 kN/m
- Charges variables :
q = (3 + 1). 17,83 = 71,32 kN/m
- Façades :
G = 48 kN/façade

1.2. CHARGES HORIZONTALES
W = w.h
appliquée à h/2 au dessus des fondations

Pi . L - P 2 . J + PI — - P 2 —

W = 5,60. 18= 100,80 kN
appliquée à 9,00 m au dessus du niveau

2

L^

MB =

2

2

D'où:

2. COMBINAISONS D'ACTIONS A L'E.L.U.

|p 2 et p2 mini

La formule générale des combinaisons d'actions à considérer à l'E.L.U. s'écrit :
min

(0.77.W

IF, et pi mini
|P2et p 2 maxi

0,77. S n

De la même manière :

1 3

+ 1,3 {0,615 T

•-

l,jj . ^-*niax * min

1,35 [T]

o,77.S n + V o . Q

M'

0,77 W + 0,77. S „

Elle conduit à deux combinaisons d'actions lorsque l'on prend QB comme action variable
de base :
l,35.G max +G min +l,5.Q B
l,35.Gmax + G min +l,5.Q B +W

(1)
(2)

VB

. L = P2 (L + /) + pi — + P2 • / L + - =» VB =

P 2 (L + /) + Pi — + P 2 . / L + 2
2

3.2. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A
a) Cas de charge
P

P=l,35g+l,5q

et à deux autres combinaisons d'actions lorsque l'on choisit W comme action variable de
base :
l,35.Gmax+ G min + 1.5.W + U.VO.QB
(3)
l,35.G max +G min +l,5.W
(4)

p=1,35g

2~ G

P^l, 35. 48 = 64, 8QkN
F 2 =48kN
P1 = l , 3 5 . 6 8 + l , 5 . 7 1 , 3 2 = 1 9 8 , 7 8 k N / ' m

p = 1 , 3 5 . 68=91, 80kN/m
L=7,50m

Chacune de ces quatre combinaisons d'actions est à décomposer en cas de charge suivant
l'effet recherché (cas de charge = disposition des charges sur chaque travée de la structure).

1=2, 50m
b) Remarque

3. COMBINAISON (1) : l,35.Gmax + G min+ 1,5.QB

Le poids propre des planchers, g, intervient sur toute la longueur de ces derniers dans Gmax.

3.1. INTRODUCTION

Le poids G des façades est tantôt multiplié par 1,35 et tantôt par 1,00 dans la mesure où ces
deux façades ne sont pas identiques ni composées des mêmes matériaux.

Sous l'effet des charges verticales, l'étude du bâtiment se ramène au schéma statique suivant :
c

) Réaction d'appui
P i . L - P z / + P 1 ^- P 2 ^

64,80.7,50-48.2,5 + 198,78^ -91,80^
7,50

VAmax = 755,98 kN

3.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A
a) Remarque
Compte tenu du rapport des portées L// =3, la part de VA due au poids propre des planchers
est:
VA = (9.p 1 - P2 )- / ^= 4 -^^
2.L
L
I

max

JV A
\

min

\

A

'B

p=l,35.g
vmax_v

VA

Cas fle charge

~

VB

_W-h

~ 2.L

v max

^ Vent soufflant de B verg A

f "lin <=> Vent soufflant de A vers B

Pour VB, c'est l'inverse qui se produit.
P 2 =1,35G

E,=

P

l= 4 8 k N

4.2. REACTION D'APPUI MAXIMALE EN A
a) Cas de charge

P =68kN/m
p=68+1,5.71,32=174,98kNXm

P1 = l,35.G

L=7,50m
1=2,50m

P! = 1,35.48 = 64,80 kN
P! = 1,35.68 + 1,5.71,32 = 198,78 kN/m
p 2 = 1,35.68 = 91,80 kN/m

c) Réaction d'appui
2

2

2

W = 100,80 kN
h =18,00 m
L = 7,50 m
1 = 2,50 m

2

Pi . L - P2 . / + pi — - p2 — 48 . 7,50 - 64,8 . 2,5 + 68 ^_ - 174,93 ^VA =

2

2

2

2

7,50
VAmin = 208,49 kN

4. COMBINAISON (2) : l,35.Gmax+ 0^ + 1,5.QB +W
4.1. INTRODUCTION
L'effet du vent au niveau des fondations se ramène au schéma statique suivant :

b) Réaction d'appui

VA = -

2.L
2

2
2

64,8 . 7,50 - 48 . 2,5 + 198,78 ^°- - 91,8 ^)2
VA =
?
— + 100,80 -l^W7,50
2 . 7,50
VAmax _ 755,98 + 120,96 = 876,94 kN (voir 3.2.c)

4.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A

6

a) Cas de charge

Cette combinaison d'actions est moins « agressive » que la combinaison (3) qui comporte

(Compte tenu de la remarque du paragraphe 3.3. a avec p, = g) :
P 2 = 1.35.G
P 2 = g+l,B.q

P -G

¥

,

A
2

4.MUUU,A / \\s si/ *\/ \J/^
^k
J t®

\

r

P2

en plus 1e terme en 1,3.\|/0.QB, donc qui fait intervenir les charges d'exploitation uniquement dans les sections où elles induisent l'effet recherché (maxi ou mini).

= tO Kl>

= 64,80 kN

= 68 kN/m
P2

= 68+1,5.7

W

= 100,80 kî

?F

A

l

f

L

V

B

1_

7 CONCLUSION - RÉACTIONS EXTRÊMES EN A
On a le tableau récapitulatif :

1 O f\t~\ »-_

REACTION

L = 7,50 m
1 = 2,50 m

,Max

i^- 2-^F.Y-F2y

w h

L

2.L

2,50
48 . 7,50 - 64,8 . 2,5 + 68 ^- - 174,98
2
7,50

- 100,80

s

2 . 7,50

I

5. COMBINAISON (3) : l,35.Gmax+ G mm+ 1,5.W + l,3.¥o.QB
5.1. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A

]
:

4\

Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.2. avec
P! = 1,35 . 68 + 1,3 . 0,77 . 71,32 et W = 1,5 . 100,80 donne :
VAmax = 803,69 kN

!
I1

755,98

208,49

(2)

876,94

87,53

(3 )

803,69

41,91

876,94

41,91

Enveloppe

VAmin = 208,49 -120,96 = 87,53 kN

t

(1)
r

2

VA =

, min

COMBINAISON

b) Réaction d'appui
f

COMBINAISON (4) : l,35.Gmax + G mm+ 1,5.W

5.2. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A
Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.3. avec p2 = 68 + 1,3 . 0,77 .71,32 et
W = 1,5. 100,80 donne:
Vimin = 41,91 kN

NB. L'astérisque correspond à la combinaison d'action déterminante.

CHAPITRE 3

ASSOCIATION
ACIER-BÉTON

I. RAPPELS DE COURS
1. DÉFINITIONS
Dans une section droite d'une poutre rectiligne, on utilisera la terminologie ci-après :

r

£\ 0

0

0

f
ier lit i
'
\
_e
> lits supérieurs ,»,
\— 2 lit f
^
' " '•'

^a,r,armatures d ' âme

0
0
0

0
0

\

\

0
0

t

e
". : . .
0 — 3 lit )
e
2 lit > lits inférieurs
0

0 _l«lit )

Files verticales

••'-^

2. DISPOSITION DES ARMATURES

_ ou deux paquets de deux barres,
_ ou une barre isolée et un paquet de deux barres,
c = plus grosse dimension du granulat utilisé (2,5 cm en général).
2 2.2. Horizontalement
Max

*
l,5.Cg

2.1. ENROBAGE
C'est la distance du nu d'une armature à la paroi la plus proche.

avec :
eh = distance libre horizontale entre :
- deux barres isolées,
• •
- ou deux paquets de deux barres,
- ou une barre isolée et un paquet de deux barres.

:jî

>-3;!.t!^-i"

• •- • • '• ••&?•& e'TO ;-V' ? M' •

La distance entre axes des files verticales doit être telle que le bétonnage soit réalisé correctement entre elles (ménager le passage des aiguilles de vibration du béton...) :

c (ou c t )=Max
1cm

avec :
*

(

5 cm : ouvrages à la mer ou exposés aux embruns,
3 cm : parois non coffrées soumises à des actions agressives,
parois exposées aux intempéries, aux condensations ou en contact avec un liquide,
c- j
ouvrages à la mer avec béton protégé par un procédé efficace,
[ 1 cm : parois situées dans des locaux clos ou couverts, non exposées à des condensations.
<ï> = diamètre de l'armature considérée.

S

2.2. DISTANCES ENTRE BARRES
Les barres d'acier sont disposées :
- de manière isolée,
- en paquet vertical (jamais horizontal) de deux barres,
- en paquet de trois barres (non considéré dans la suite).

H=

S

h+

<î> w +<£ e (8cm si <t><25mm
2
~ ) l O c m si $2;

3. CONTRAINTE D'ADHÉRENCE
3.1. CONTRAINTE D'ADHÉRENCE MOYENNE

2.2.1. Verticalement
2.

avec :
ev - distance libre verticale entre :
- deux barres isolées,

À titre indicatif et sans que cela soit une obligation réglementaire, on peut prendre

MaK.

La contrainte d'adhérence moyenne est égale au quotient de la variation d'effort axial par
le périmètre de l'armature :
dF
dF
dx

3.2. CONTRAINTE LIMITE D'ADHÉRENCE
Pour assurer un ancrage correct, c'est-à-dire empêcher le glissement de l'armature dans la
gaine de béton qui l'entoure, il faut limiter la contrainte d'adhérence à la valeur :

(c'est-à-dire si la contrainte en B vaut fe) on a un « ANCRAGE TOTAL ».

avec :
1 : ronds lisses,
1,5 : barres HA courantes.
f t j = résistance caractéristique à la traction du béton à j jours.
3.3. ANCRAGE DES BARRES DROITES TENDUES ISOLÉES
En supposant TS = constante entre deux sections droites A et B distantes de /AB et soumises
respectivement aux efforts FA et FB (> FA), on a :

3.4. LONGUEUR DE SCELLEMENT DROIT
C'est la longueur nécessaire pour assurer un ancrage total sous contrainte d'adhérence Ts = tsu :

71.

n.®
L

ÀB

1

AB - ' s

d'où:

On peut prendre pour les barres HA :
i =•

dF
dx

n. <ï>

dF = 7t. 4>. i . dx

20
fcj (MPa)
4
FeE400 41
<t>
pour y s = 1,5 Fe E 500 51

25

30

35

40

45

50

55

60

35

31

27

25

22

21

19

18

44

39

34

31

28

26

24

22

d'où par intégration :
F B - F A = J i . < D . T c . /AB

Remarque : si Aréel > Acalculé, on substitue à Zs la longueur d'ancrage /„ définie par :

ce qui conduit à :

"s-'AB
v

ANCRER une barre, soumise dans une section B à un effort de traction Fs axial, c'est assurer, à partir de cette section, la transmission intégrale de cet effort au béton par adhérence.

cal

>. r . T

10. <

d'où :

=0

F+

que l'on écrit :

H

'réel

dF
7t . « S . r . t

soit:

3.5. ADHÉRENCE DES BARRES COURBES
Considérons un tronçon de barre courbe tendue, infiniment petit, représenté par sa ligne
moyenne AB d'ouverture d6.
On suppose que l'on est à l'état-limite de glissement (xs = Tsu).

1

- = (i. de

F+

Pour un tronçon courbe de barre AB d'angle au centre 6 et soumis à ses extrémités aux
efforts FA et FB (> FA),
<î>

d6

dR

,-.>•.<:/M A fc

*/

-•>.• <T'Yïjt.*>
,
1

F+dF

. - i l t i » nO

..- , .'; s . - • ir-tt-

par intégration entre A et B, il vient :
B

Le tronçon AB est soumis :
- aux forces de traction F en A et F + dF en B avec dF > 0,
- à la force due à l'adhérence sur l'arc AB = r.dG : dT,
- à la réaction transversale du béton : dR.

Log|F + -

1B

Log

J A

T^y

Par projection des forces sur le rayon OB :
- F . s i n d e - d T . sin — + dR . cos — = 0
soit puisque d0 et dT sont des infiniment petits :
dR = F.dG
En désignant par jo, le coefficient de frottement acier sur béton, l'effort dR développe une
force tangentielle :

soit:
7t. <I>. r. t

expression que l'on écrit :
SU

avec :

de sens opposé au sens du glissement de la barre.
Par projection des forces sur la tangente en B à la barre :
de
F + dF - F . cos de - (i . F . d0 - dT . cos — = 0
dF - |a . F . de - n . <S . r . d0 . T = 0

7l. «6 . r . TS.

=0,4

Remarque :

l ies « ancrages à 60° » (0 = 120°) :

Cette formule est à rapprocher de celle concernant les ancrages des barres droites isolées
la formule pour les ancrages courbes s'en déduisant :
1) en multipliant FA par \\t,

8 =120'

2) en multipliant 7t.<ï>.Tsu./ABpari|/',
3) en faisant /AB = r.

4 2. RAYONS DE COURBURE DE L'AXE DES BARRES
Ils résultent :
1) des conditions de façonnage des barres en posant r = p • <|) :

4. ANCRAGE DES BARRES
4.1. TYPES D'ANCRAGES D'EXTRÉMITÉ

p=-0 (1)

On utilise le plus couramment :
- les « crochets normaux » :

Ronds lisses

Barres HA

p>3
p>2

P>5,5
p>3

Barres longitudinales
Armatures transversales

2) de la condition de non-écrasement du béton :
l 0,20.0

f

cj

(l+--)v
e
r

avec :
os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime,
er = distance du centre de courbure de la barre à la paroi la plus proche,

- les « retours d'équerre » :

l+2m

0=90'

r

COUPE À_À

- les « ancrages à 45° » (0 = 135°) :
////////////////////////
-f-

8 =135

L
^s mandrins de cintrage respectifs ont des diamètres D > 5 < I > e t D > 1 0 * pour les barres longitudinales et D 2 3 *
" > 5 <(> pour les armatures transversales.

m = nombre de lits courbés simultanément,
fq = résistance caractéristique à la compression du béton à j jours.
3) des conditions propres à certaines formes de barres ou d'ancrages :
- courbes sur toute leur longueur,

r

- constituant les boucles de jonction de barres tendues (épingles à cheveux)
r>0,35.<D.

Ll

1+

2 .n.

et 0 étant fixés, on a donc deux possibilités :

1) calcul de la longueur X.O du retour rectiligne d'extrémité si X,.<I> est connu :

.v

avec :
f e = limite d'élasticité de l'acier,

2) calcul de la profondeur d'ancrage la si l'on connaît L

n = nombre de barres composant un lit,
b = largeur de l'élément.
soit :

4.3. MÉTHODE DE CALCUL D'UN ANCRAGE COURBE
Pour l'ancrage courbe ABCD ci-dessous, soumis en D à un effort :

/.-*
que l'on écrit :
la=

4

-4. ANCRAGE TOTAL DES CADRES, ÉTRIERS ET ÉPINGLES
Rayons de courbure des cadres, étriers et épingles :
=

-enA:FA=0

L ancrage des cadres, étriers et épingles est considéré comme total si on respecte :

- en B : FB = FA + n . <ï> (À . O). tsu = À . n . &. isu
- en C : Fc = y . FB + y' . n . O . r . TSU = n . O 2 . TSU (A,. v|/ + p . V|/')
p . v|/'

d'où, après division par 7t.3>.tsu :

p.O (diamètre du mandrin de cintrage (voir § 4.2.) : D = 2r - O)

.f

se chevauchant sur une longueur 1T,
soumises à deux forces égales et opposées.

.

1

/

u
Etrier Epingle

F

/

/
/

/

/

/

/

/
,'V 5 *
l

Cadre

Cadre

' F"
*

On admet que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par compression
de « bielles » de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des

V

barres.
10<t>

Cette transmission n'est donc effective que sur la longueur :

5.1.2. Longueur de recouvrement lr
5=180'

0=135*

8=30'

Chaque barre doit être totalement ancrée d'où :
• pour des barres rectilignes :

5. JONCTIONS PAR RECOUVREMENT
Lorsque les longueurs des barres nécessaires dépassent les longueurs commerciales, on
peut rétablir la continuité des différents tronçons en utilisant l'adhérence.
On fait alors chevaucher deux tronçons successifs sur une certaine longueur appelée
« LONGUEUR DE RECOUVREMENT ».

lr = ls + c
/, = /,

si c > 5 <|>
si c < 5 4 >

I pour des barres munies de crochets normaux :
-ELEVATIOH-

On a parfois aussi recours :
- au soudage, lorsque l'acier est soudable,
- ou au manchonnage, pour les barres HA uniquement.
-VUE EH PLÀH-

5.1. RECOUVREMENT DES BARRES TENDUES
5.1.1. Transmission des efforts
Considérons deux barres parallèles :
- de même type,
- de même diamètre <|),
- dont les axes sont distants de c,

• ronds lisses avec crochets CONSIDÈRE (p = 3) :

lt = la + c = 0,6 • /s + c

si c > 5 <)>
si c <

- barres HA avec crochets « normaux » (p = 5,5) :

P=2

lt = la + c - 0,4 • /s + c

si c> 5 <

/r = /a = 0,4-/ s

si c < 5 <

^ys^ ^s^y^Y^i^V^
T^

Les plans des recouvrements doivent être cousus par des armatures transversales
(cf. § 6.1.3. du chapitre 4 « TRACTION SIMPLE »).

'

1 1

1 1 1 1 Pr~r^,l,^f

I

M

e

ton

e

fe

Les BARRES COUVRE-JOINTS sont utilisées pour transmettre les efforts entre deux
barres situées dans le prolongement l'une de l'autre. Leur longueur est au moins égale à
2-L.

*e

^rTf

TîT>, l "1f\ ri

fe
i

1

4. F

1

3, 5 . F

1

,

r\-r-

1

2,5 F 2 . F
*

A

£

irTfTT

f

5.1.3. Barres couvre-joints - Jonctions par chaînage

2.1.

1

"11

niïnk, mf!

fe

Remarque :
Si les deux barres ont des diamètres différents, la longueur de recouvrement /r doit être
évaluée à partir de la plus grande longueur de scellement droit ls.

I

1

i

fflî!

*-TTT

2 . F 2 , 5 . F 3, 5 . F 4 . F
*

Efforts développés par les barres en présence (F=—j—fe)

a

,-P

5.2. ANCRAGE ET RECOUVREMENT DES BARRES COMPRIMÉES
EN PERMANENCE
Les ancrages de ces barres sont obligatoirement droits.
Si le nombre de barres est élevé, les barres couvre-joints deviennent continues et ne se distinguent plus des autres barres. On a un « CHAÎNAGE ».

Règle : un chaînage de m barres de même diamètre comportant p coupures par longueur de j
scellement droit est mécaniquement équivalent à (m - p) barres continues. Par exemple
pour :
- m = 4 barres,
- p = 2 coupures par longueur de scellement droit,
le nombre de barres utiles est de 2.

,.
=M »

5.2.1. Longueurs d'ancrage /a et de recouvrement /r
Les extrémités des barres prenant appui sur le béton et la dilatation transversale ayant pour
effet de plaquer la surface des barres contre la gaine de béton, la longueur nécessaire pour
1 ancrage d'une barre comprimée est inférieure à la longueur de scellement droit /s. On peut
prendre :
- pour l'ancrage d'une barre comprimée isolée :

pour le recouvrement de deux barres comprimées de même diamètre :

exception : pièces soumises à des chocs de direction axiale (exemples : pieux mis en
Place par battage, zones sismiques) pour lesquelles :

5.2.2. Armatures de couture à disposer sur 1T
Voir armatures transversales des poteaux (cf. § 4 du chapitre 5 « COMPRESSION
SIMPLE »).

Barres HAÏ
= 4 > _*«_
s
FeESOO /
4 t su
/ > < / j => type d'ancrage

500

/ s = 141 cm > /, = 30 cm =>

ancrage courbe

2. CALCUL D'UN ANCRAGE COURBE « À 45° »

II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL

2.1. RAYON DE COURBURE

— ENONCE —

a) Rayon minimal

On cherche à réaliser l'ancrage total d'une barre <I> 32 HA à partir d'un point A situé à 30
ICC e en t>eton arme d e-paisseur « mi nie »

r1 = 5,5.$

= 5,5 . 3,2 = 17,60 cm

b) Non-écrasement du béton
Enrobage :

•:-\.-à

mi

*y:-:-x-:-x-:-:-x-:-x-:-:-

3cm
3,2cm
! 1 cm

e

Si*

.

c = Max

'

1 cm.

h = 3 Ocm

:

Rayon de courbure (en fait, la vérification est inutile si on respecte r > 5,55». On ne fait
donc le calcul qu'à titre d'exemple) :

• Matériaux :
• béton : fc28 = 25 MPa, ft28 = 2,10 MPa,
• acier : Fe E 500, r > 5,5.O.

— .v

• Enrobage des aciers : e = 3 cm.
• On se propose de déterminer les caractéristiques géométriques de l'ancrage
retour d'un crochet à 45° si nécessaire).

•ur,

avec :
os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime,

1

— CORRIGE —
1. TYPE D'ANCRAGE
Contrainte limite d'adhérence :
TSU = 0,6 . 1,52 . 2,10 = 2,84 MPa

1 : ronds lisses,
1,5 : barres HA.

A f

- e=A.O s +7I.O(?l 1 .<D)'I su


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