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livre de rdm (1) .pdf



Nom original: livre_de_rdm (1).pdf
Titre: résistance des matériaux
Auteur: Nouredine Bourahla

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RESISTANCE DES
MATERIAUX
DE BASE

Par

Nouredine BOURAHLA
Professeur
Université Sâad Dahleb de Blida

PREFACE
Pourquoi?
Encore un livre de résistance de matériaux! Oui car,
d'une part comme discipline de base de plusieurs
branches de technologie, la résistance des matériaux
(RDM) évolue constamment en fonction des
développements dans le domaine théorique de la
mécanique des solides, le domaine expérimental des
matériaux (technologie des matériaux) ainsi que
l'aspect numérique imposé par le progrès rapide de
l'informatique, et d'autre part, elle doit répondre aussi à
un besoin exigé par une ingénierie de plus en plus
performante.

Quoi?
Cet ouvrage comporte les notions fondamentales de
la RDM. Chaque chapitre contient un résumé consistant
du cours empli d'illustrations et d’applications suivi
d'une série d'exercices de degré de difficulté variée.
Certains exercices ont été intégralement reproduits des
nombreux ouvrages de la RDM et d'autres ont été
l'oeuvre propre de l'auteur. Des sujets d'examens
terminent cet ouvrage avec des propositions de
solutions détaillées.

Comment?
L'enseignement de cette matière, comme le témoigne
la plupart des programmes et supports de cours, traitent
surtout les techniques de calcul de résistance de rigidité
ou de stabilité des éléments des structures au détriment
d'autres aspects aussi important comme l'optimisation
et la conception. La résistance des matériaux est réduite
donc à l'enseignement des méthodes de calcul de
structures, au moment où la majorité des étudiants,
techniciens et ingenieurs utilisent des logiciels et
programmes de calcul pour l’analyse des structures.

Cet ouvrage se distingue par une présentation
pragmatique du sujet, qui accentue l'aspect pratique de
chaque notion en mettant en evidence ses usages dans
la conception des éléments et des structures.

Pour qui?
Un support aux étudiants débutants le cours de la
RDM.
Un moyen offert aux enseignants et formateurs pour
une meilleurs efficacité de l'enseignement de cette
matière.
Merci ...
Nombreux sont ceux qui ont apporté leur aide à la
réalisation de cet ouvrage en particulier R. Bahar et
C. Cherfa. Qu'ils veuillent bien trouver ici un signe de
reconnaissance.
L'auteur

iii

TABLE DES MATIERES

TABLE DES MATIERES
Preface .. ………………………………………………………………………….i
Table des matieres .............................................................................................. ii
Chapitre : 1
INTRODUCTION ET GENERALITES
1.1 Introductions et hypothèses ............................................................ 1
1.2 Unités.............................................................................................. 2
1.3 Convention de signe des axes ......................................................... 3
1.4 Réactions d'appui............................................................................. 4
1.4.1 Appui simple ..................................................................... 4
1.4.2 Appui double ..................................................................... 4
1.4.3 Encastrement ..................................................................... 4
1.5 Forces .............................................................................................. 5
1.5.1 Composition des forces ..................................................... 5
1.5.2 Moment des forces ............................................................ 6
1.6 Application ...................................................................................... 7
Exercices .............................................................................................. 9
Chapitre : 2
CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUE DES FORMES
2.1 Généralités ...................................................................................... 11
2.2 Caractéristiques cartésiennes .......................................................... 11
2.2.1 Centre de gravité .............................................................. 11
2.2.2 Moment de statique .......................................................... 12
2.2.3 Moment quadratique ........................................................ 13
2.2.4 Moment d'inertie polaire................................................... 14
2.2.5 Produit d'inertie (moment d'inertie centrifuge)................. 15
2.3 Formules de transformation des moments d'inertie ........................ 15
2.3.1 Translation d'axes ............................................................. 15
2.3.2 Rotation d'axes ................................................................. 17
2.4 Moments d'inertie principaux ......................................................... 17
2.5 Représentation géometrique des moments d'inertie ....................... 18
2.6 Application ..................................................................................... 19
Exercices .............................................................................................. 21
Chapitre: 3
ETUDE DES EFFORTS INTERNES
3.1 Généralités ....................................................................................... 23
3.1.1 Effort normal .................................................................... 24
3.1.2 Effort tranchant................................................................. 24
3.1.3 Moment fléchissant .......................................................... 24
3.1.4 Moment de torsion............................................................ 24
3.2 Méthode des sections...................................................................... 25
3.3 Diagrammes des efforts et des moments......................................... 25
3.3.1 Les zones des efforts internes dans une poutre ................ 25
3.3.2 Relations différentielles entre les charges et les efforts.... 26
3.3.3 Construction des diagrammes des efforts ......................... 27
3.3.4 Tracé des diagrammes pour portiques isostatiques ........... 28

Table des matières iv

3.3.5 Tracé des diagrammes pour poutres curvilignes................ 28
3.4 Applications .................................................................................... 28
3.4.1 Poutre simple rectiligne ..................................................... 28
3.4.2 Portique isostatique simple ................................................ 30
3.4.3 Poutre simple curviligne .................................................... 31
Exercices .............................................................................................. 35
Chapitre: 4
ETATS DE CONTRAINTES ET DE DEFORMATIONS
4.1 Introduction..................................................................................... 38
4.2 Notion de contrainte........................................................................ 38
4.3 Contraintes dans une section normale............................................. 39
4.3.1 Equations de transformation de l'état de contrainte linéaire. 40
4.3.2 Equations de transformation de l'état de contrainte plan...... 40
4.4 Etude graphique des contraintes (cercle de Mohr)........................... 44
4.5 Relations entre les contraintes et les déformations relatives ......... 45
4.5.1 Loi de Hooke généralisée..................................................... 45
4.6 Equations de transformation des déformations ................................ 47
4.7 Mesure des déformations (extensiometrie electrique)..................... 48
4.8 Applications .................................................................................... 49
Exercices .............................................................................................. 51
Chapitre: 5
CRITERE DE RESISTANCE
5.1 Introduction..................................................................................... 54
5.2 Courbe de contrainte-déformation ................................................... 54
5.3 Contrainte admissible....................................................................... 56
5.4 Théories fondamentales de la résistance ......................................... 57
5.4.1 Critère des contraintes normales maximales..................... 57
5.4.2 Critère de déformation linéaire relative maximale............ 57
5.4.3 Critère des contraintes tangentielles maximales ............... 58
5.4.4 Critère de l'énergie potentielle spécifique dela
modification de la forme............................................................ 58
5.4.5 Critère de Coulomb-Mohr ................................................ 58
Chapitre: 6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5

TRACTION ET COMPRESSION
Introduction..................................................................................... 59
Déformation des barres en traction et compression ....................... 59
Sollicitations dues a la variation de température............................. 60
Systèmes de barres isostatiques ...................................................... 61
Systèmes de barres hyperstatiques .................................................. 62
6.5.1 Application ........................................................................ 63
Exercices .............................................................................................. 65

Chapitre: 7
FLEXION
7.1 Généralités ...................................................................................... 68
7.2 Contraintes normales en flexion...................................................... 69
7.3 Calcul de résistance en flexion......................................................... 71
7.4 Applications ..................................................................................... 71
7.5 Contraintes tangentielles en flexion ................................................. 73
7.5.1 Poutre à section rectangulaire ............................................ 75

v

TABLE DES MATIERES

7.5.2 Poutre à section circulaire ................................................. 75
7.5.3 Poutre à section triangulaire .............................................. 76
7.6 Calcul de résistance en flexion simple............................................. 76
7.7 Application ...................................................................................... 76
Exercices .............................................................................................. 78
Chapitre: 8
CISAILLEMENT
8.1 Généralités ...................................................................................... 80
8.2 Calcul des contraintes de cisaillement ............................................ 80
8.3 Etat de cisaillement pur .................................................................. 81
8.4 Calcul de résistance en cisaillement pur ......................................... 81
8.5 Application ..................................................................................... 82
Exercices .............................................................................................. 84
Chapitre: 9
TORSION
9.1 Généralités ...................................................................................... 85
9.2 Contraintes et déformations d'une barre cylindrique ...................... 85
9.3 Torsion des barres de section rectangulaires .................................. 87
9.4 Calcul de résistance à la torsion...................................................... 88
9.5 Application ...................................................................................... 88
Exercices .............................................................................................. 91
Chapitre: 10
SOLLICITATIONS COMPOSEES
10.1 Introduction .................................................................................. 93
10.2 Flexion déviée .............................................................................. 93
10.2.1 Calcul de résistance à la flexion déviée........................... 95
10.2.2 Application 1 .................................................................. 95
10.2.3 Application 2 ................................................................... 96
10.3 Flexion composée .......................................................................... 97
10.3.1 Flexion composée avec traction ou compression ............ 97
10.3.2 Traction et compression excentrées................................ 98
10.3.3 Vérification à la résistance ............................................. 100
10.3.4 Application ..................................................................... 100
Exercices .............................................................................................. 103
Chapitre: 11

STABILITE DES BARRES ELASTIQUES
COMPRIMEES (FLAMBEMENT)
11.1 Généralités .................................................................................... 105
11.2 Equilibre elastique (stable et instable) .......................................... 105
11.3 La charge critique d'une barre comprimée.................................... 106
11.3.1 Longueur effective (Influence des conditions de fixation) 108
11.3.2 Contrainte critique de flambement..................................... 109
11.4 Calcul à la stabilité........................................................................ 111
11.5 La forme rationnelle pour les sections transversales des barres
comprimées………………………............................................. 112
11.6 Applications.................................................................................. 113
Exercices .............................................................................................. 116

Table des matières vi

Chapitre: 12
SYSTEMES EN TREILLIS
12.1 Généralités et définitions................................................................ 118
12.2 Etude cinématique des systems en treillis ...................................... 119
12.3 Etude des systèmes en treillis......................................................... 121
12.3.1 Méthode des sections ....................................................... 121
12.3.2 Méthode des noeuds ........................................................ 121
12.3.3 Applications..................................................................... 122
12.3.4 Méthode graphique de "Cremona"................................... 123
12.3.5 Application ...................................................................... 124
Exercices .............................................................................................. 126
Chapitre: 13
DEFORMATIONS FLECHIES
13.1 Généralités .................................................................................... 128
13.2 Equations différentielles de la ligne élastique .............................. 128
13.3 Méthode d'intégration directe de la ligne élastique ...................... 130
13.3.1 Applications.................................................................... 130
13.4 Méthode de la poutre conjuguée (fictive) ..................................... 133
13.4.1 Applications..................................................................... 134
13.5 Méthode des paramètres initiaux .................................................. 136
13.5.1 Applications.................................................................... 137
13.6 Superposition des déformations .................................................... 138
Exercices .............................................................................................. 139
Chapitre: 14
POUTRES HYPERSTATIQUES
14.1 Introduction................................................................................... 141
14.2 Méthodes de résolution ................................................................. 141
14.2.1 Méthode des paramètres initiaux .................................... 142
14.2.2 Méthode de la poutre fictive ........................................... 143
14.3 Poutres droites continues hyperstatiques . .................................... 143
14.3.1 Application ...................................................................... 145
Exercices .............................................................................................. 148
Problèmes d'examens ............................................................................................. 150
Solutions ................................................................................................................ 186
Bibliographie .......................................................................................................... 280

Chapitre 1
INTRODUCTION ET GENERALITES

1.1 DEFINITIONS ET HYPOTHESES
La résistance des matériaux ou la mécanique des matériaux est une branche
de la mécanique appliquée servant à étudier le comportement des corps solides
sous l'action des différents types de charges. La résistance des matériaux traite
non seulement les méthodes d'ingénieurs employées pour le calcul de la capacité
des structures et de ses éléments à supporter les charges qui leurs sont appliquées
sans se détruire, ou se déformer appréciablement, mais aussi à présenter les
critères de base pour la conception des structures (forme, dimensions,...) et
l'utilisation des matériaux dans les meilleurs conditions de sécurité et
d'économie.
La résistance des matériaux est basée sur les résultats théoriques de la
mécanique et les propriétés des matériaux qui ne peuvent être disponibles qu'à
travers les résultats des travaux expérimentaux comme le témoigne l'histoire du
développement de la résistance des matériaux qui constitue une combinaison
fascinante de la théorie et l'expérience [1].
Les limites de la résistance des matériaux sont celles imposées par ses
hypothèses mêmes. Les disciplines connexes telles que la théorie d'élasticité, de
la plasticité ou la méthode des éléments finis se libèrent de certaines de ces
contraintes.
Les principales hypothèses de la résistance des matériaux sont les suivantes:
L'homogénéité, l'isotropie et la continuité du matériau: On suppose que
le matériau possède les mêmes propriétés élastiques en tous les points du corps,
dans toutes les directions en un point quelconque du corps, et que le matériau est
assimilé à un milieu continu.
L'élasticité et la linéarité du matériau: On suppose admet qu'en chaque
point contraintes et déformations sont proportionnelles et qu'après déformation,
l'élément revient à son état initiale.

2

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

La petitesse des déformations: les déformations dues aux charges sont
négligeables par rapport aux dimensions des éléments et la configuration
géométrique reste inchangée.
Hypothèse des sections planes (hypothèse de Navier-Bernoulli): Les
sections droites restent planes et normales à la fibre moyenne au cours de la
déformation.
Hypothèse de Saint Venant: Tous les efforts qui interviennent dans la
théorie peuvent être schématisés par leur torseur résultant.
Ces hypothèses simplificatrices conduisent à des solutions approchées qui
permettent en général une bonne approximation du comportement des structures
soumises à différents types de charges.
Les notions de la résistance des matériaux étudiées dans cet ouvrage et les
relations entre elles sont schématisées dans la Fig. 1.1. L'action extérieure est
caractérisée par les différents types de forces connues agissant sur une structure
ou un élément de structure défini par ses caractéristiques géométriques et
mécaniques. Pour une structure isostatique, les efforts internes sont déterminés
directement en utilisant les équations de la statique. Par contre pour une structure
hyperstatique, il est nécessaire de faire intervenir les déformations de la structure
pour déterminer les réactions. L'effort interne qui agit au niveau d'une section
d'un élément de structure peut-être décomposé en effort normal de traction ou de
compression, moment fléchissant, moment de torsion, effort tranchant ou une
combinaison de ces sollicitations. A partir de ces efforts internes, nous pouvons
obtenir des informations sur la répartition des contraintes et des déformations
dans la section droite. Les valeurs extrêmes de ces contraintes et déformations
sont les mesures de base des critères de résistance, de rigidité ou de stabilité pour
vérifier ou dimensionner les éléments des structures.
1.2 UNITES
Les unités de mesure utilisées sont principalement celles du système d'unités
international (SI); pour des raisons de commodité le système d'unités technique
(MKS) est parfois utilisé
Unité

SI

MKS

Longueur (le mètre)

m

m

Masse (le kilogramme)

kg

kgf = 10 N

Temps (la seconde)

s

s

Force (le Newton)

N, kN

t = 103 kgf = 104 N

Contrainte

N/mm²

1 bar = kgf/cm² = 0.1 N/mm²

Travail (Joule)

J = N.m

kgf .m = 10 J

Introduction et Généralités

3

Forces extérieures

structure ou élément
déformation fléchie
compatibilité géom.

caractéristiques géom.

efforts internes (M, N, T)
cisaillement

flexion

traction / comp.

torsion

sollicitation composée
contrainte et déformation
critères
résistance
rigidité
stabilité

dimensionnement

vérification

résultats
Fig. 1.1
1.3 CONVENTION DE SIGNE DES AXES
Généralement on utilise le système Cartésien ou rectangulaire pour toutes les
structures. Cependant, pour les structures en arc, le système polaire s'avère plus
pratique. Le premier ayant les axes OX, OY et OZ mutuellement
perpendiculaire. Les sens positifs des ces axes obéissent à la règle de la main
droite. Comme indiqué ci-dessous (Fig. 1.2), on choisit les sens positifs de deux
axes X et Y par exemple, le sens positif de l'axe Z est suivant la direction d'un
vis tournant de l'axe X vers l'axe Y.
Y

Z

O
90

O

O
90
X

Y

Y
Z
X

Z

Fig. 1.2

X

4

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

1.4 REACTION D'APPUI (Efforts de liaison)
Une structure est reliée au monde extérieur par un certain nombre de liaisons.
Une liaison impose des conditions cinématiques en un point. Pour maintenir ces
liaisons, il faut exercer des efforts de liaison qui sont des inconnues du problème.
Les liaisons dans le plan sont de 3 sortes:
1.4.1 Appui simple
Ce type d'appui matérialisé par la Fig. 1.3,
laisse à la structure toute liberté de pivoter
autour de O (extrémité de la poutre) et de se
déplacer perpendiculairement à la droite
joignant les points de contact. Si on néglige
les frottements, la réaction d'appui a la
direction de la droite précitée, et introduit une
seule inconnue dans l'étude de la poutre.

y
R
O
x

Fig. 1.3

1.4.2 Appui double (articulation)
Matérialisé par une rotule (Fig. 1.4) cet
appui autorise les rotations d'une extrémité de
la poutre ou d'un des éléments constituant la
structure. La direction de la réaction R est
inconnue, mais la ligne d'action passe par le
centre de l'articulation.
L'articulation introduit 2 inconnues, par
exemple les projections sur deux directions du
plan moyen.

y
Ry
Rx
O
x

Fig. 1.4

1.4.3 Encastrement
L'encastrement schématisé sur la Fig.
1.5 interdit tout déplacement de la section
droite de l'appui. Sa réaction est une force de
densité variable répartie sur toute l'étendue de
la section. En vertu du principe de Saint
Venant, ces forces peuvent être remplacées
par leur résultante générale R, et leur moment
M rapportés au centre de gravité G. Ce type
d'appui introduit donc 3 inconnues, les deux
projections de R sur deux axes du plan moyen
et l'intensité du moment M qui est
perpendiculaire au plan moyen.

y
Ry

M
Rx
x
Fig. 1.5

Introduction et Généralités

5

1.5 FORCES
La force est une grandeur dirigée (Fig. 1.6).
Elle est donc représentée par un vecteur et
définie par:

support
sens

module
F

- Son point d'application
A

- Sa direction ou support

point d'application

- Son sens
Fig. 1.6
- Son intensité


Dans un repère Cartésien une force F est
définie par une intensité F et des angles α, β et γ

Z



que

Fz

F forme avec les axes X, Y et Z. Les

F



projections de F suivant ces axes sont les
composantes de cette force. Comme le montre la
Fig. 1.7, Fx = F cosα, Fy = F cosβ et

γ
α

Fz = F cosγ. Ces composantes qui déterminent


complètement l'intensité et la direction de F sont
souvent représentées sous la forme matricielle
par:

β

Fy
Y

Fx
X

Fig. 1.7

 Fx 
F =  Fy 
 Fz 


Cette matrice colonne est appelée le vecteur force.
1.5.1 Composition des forces


Soient



 Fx1 
F1 =  Fy1 
 Fz1 




F 1, F 2, ..., F n définies par:
 Fx 2 
F2 =  Fy 2 
 Fz 2 


 Fxn 
Fn =  Fyn 
 Fzn 


Où Fx1 = F1 cosα1, Fy1 = F1 cosβ1, Fz1 = F1 cosγ1, Fx2 = F2 cosα2 ... etc.

6

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE



Le vecteur




F résultant est la somme de ces n vecteurs forces:




F = F 1 + F 2 + .... + F n =

 Fx1 
 Fx 2 
 Fxn 
 F  +  F  + ... +  F  =
 y1 
 y2 
 yn 
 Fz1 
 Fz 2 
 Fzn 

 Fx1 + Fx 2 + ... + Fxn ý  ∑ F xi 
 F + F + ... + F  =  F 
y2
yn 
∑ yi 
 y1
 Fz1 + Fz 2 + ... + Fzn   ∑ F 
zi 

1.5.2 Moment des forces
Le moment de F1 par rapport à un
axe, X par exemple, est la somme des
moments de ses composantes par
rapport à cet axe.

Z
Fz1
F

Si le point d'application de F1 est
défini par (x1, y1, z1) (Fig. 1.8) on a:

Fy1
(x1, y1, z1)

Le moment de F1 par rapport à l'axe X
Mx = Fz1y1 - Fy1z1

Fx1
X

Le moment de F1 par rapport à l'axe Y

Fig. 1.8

My = Fx1z1 - Fz1x1
Le moment de F1 par rapport à l'axe Z
Mz = Fy1x1 - Fx1y1
Sous sa forme vectorielle le moment M1 s'écrit:

 M x1   Fz1 y1 − Fy1 z1 


M 1 =  M y1  =  Fx1 z1 − Fz1 x1 
 M z1   Fy1 x1 − Fx1 y1 
La somme de n moments M1, M2, ... Mn est :

 ∑ M xi 
 M x1 




M = M 1 + M 2 + ... + M n =  M y1  + ... = ∑ M y1 
 ∑ M zi 
 M z1 



Y

Introduction et Généralités

7

1.6 APPLICATIONS
Y

Exemple 1
Soit un repère orthonormé XOY dans
le plan. Déterminer la force résultante et le
moment résultant par rapport à O des
forces F1 et F2.

F2 = 100 N
X

45
2

Solution:

-1

30

On détermine les composantes de la
force résultante:

F1 = 50 N

Fig. 1.9

F
x
F
x
F
y
F
y

= ∑ F = 100cos(45) + 50cos(30)
xi
= 114.N
= ∑ F = 100sin(45) − 50sin(30)
yi
= 45.7N

Le moment résultant par rapport à O:

M /o = ∑ Fxi Yi + Fyi X i
M / o = 2 × 50 sin( 30) − 1 × 50 cos( 30) = 6. 7 N . m
Exemple 2
Y

Quel est le module minimal de F2 et
l'angle correspondant pour que le
moment résultant par rapport à O soit
nul?
Solution:

F1 = 5

Le moment résultant par rapport à O :

M /o = ∑ Fxi Yi + Fyi X i

30

1

θ
-2

2

F2

Fig. 1.10

X

8

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

En supposant que le sens positif du moment est le sens trigonométrique, pour
θ > π le moment résultant s'écrit:

M / o = 2 × F2 sin θ − 1 × 5 cos 30 + 2 × 5 sin 30 = 0
⇒ F2 =

5(cos 30 − 2 sin 30)
2 sin θ

Pour que le module de F2 soit minimal, il faut que sinθ soit maximal:
sinθ = 1 ⇒ θ = π/2 + kπ
et comme θ est supposé > π
⇒ θ = 3π/2
d'où

F2 = 0.33 N

Introduction et Généralités

9

EXERCICES / chapitre 1

1.1 Déterminer les composantes Fx
et Fy de chacune des trois forces F1,
F2, et F3.
Trouver la valeur de la résultante
de ces forces et l'angle entre cette
résultante et l'axe yy'.
F1 = 100 N, α = 36.86°

1.3
Soit une structure à 3
dimensions soumise au chargement
représenté par le torseur force défini
dans un repère cartésien, dont
l'origine coïncide avec le centre de
gravité de la structure, par:
F1 = 10 t, α = 120°, β= 45°, θ = 30°,
A1 (1,0,0)

F2 = 200 N, α = -110°

F2 = 20 t, α = -110°, β= 45°, θ= 30°,

F3 = 300 N, α = 125°

A2 (0,1,0)
F3 = 8t, α = 60°, β = 30°, θ = 90°,

980 N, 60 N, -68.4 N, -187.9

A3 (0,0,1)

-172.1 N, 245.7 N, 199.1 N, -36.3°
1.2
Déterminer
le
module
minimal et l'angle correspondant
d'une force appliquée au point (0,1)
pour que le torseur des moments par
rapport au point O soit nul.
9
13.23 N, θ = π (parallèle à
l'axe ox)

α, β, θ étant les angles que Fi
forme respectivement avec les axes
xx', yy', et zz', et Ai les points
d'application des forces.
Déterminer les composantes du
vecteur force résultant et moment
résultant.
9

R=(-7.84,28.1,25.96)
M=(10.4,-4.66,13.91)

Y
F1=100 N
30
(10,6)
20

(5,0)
O

X

45

1.4
Déterminer les composantes
de la réaction résultante des forces
agissant sur le système de poutres
rigides de la Fig. E1.4, et le moment
résultant de toutes les forces par
rapport au point O.

F2= 50 N
F3 = 20 N

Fig. E1.2

9

R=(7.07,32.07) kN,
M/o = 17.07 kN.m

10

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

20 kN

5 kN

10 kN

1m

1.6
Calculer
le
moment
additionnel à la base d’un poteau de
4.5 m de hauteur, que provoque une
déviation α de 2° .

1m
O
2m

9
1m

113.07 kNm

1m

720 KN

Fig. E1.4
1.5
Calculer la résultante des
forces et du moment du système de
la figure E1.5 et déterminer les
points d’intersection de la ligne
d’action de la résultante avec AB et
CB.

α

4.5 m

9 R = 9.16 kN ; 0.47 m de B
sur AB et 1.35 m de B sur CB
10 KN

30 °

C

Fig.E1.6
1.0 m

3 KNm
2 KN

C

B
0.8 m

0.8 m

Fig.E1.5

Chapitre 2
CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES
DES FORMES

2.1 GENERALITES
La variété des formes des sections transversales des éléments utilisés dans les
constructions n'est pas un fait du hasard. Dans la plupart des cas ces formes ont
été développées pour répondre à des critères de résistance, de rigidité ou de
stabilité. Ce chapitre étudie les principales caractéristiques des sections planes,
leurs méthodes de calcul et leurs propriétés vis à vis les différents cas de
sollicitations.
2.2 CARACTERISTIQUES CARTESIENNES
2.2.1 Centre de gravité
On appelle centre de gravité d'une section Z
le point à travers lequel si on applique une
force, elle résulte en une pression uniforme
sur toute la section. Les coordonnées du z
centre de gravité G(YG,ZG) d'une section
Z
homogène (S) (Fig. 2.1) sont données par les G
relations:

YG =

ZG =

1
S

∫∫ yds

1
S

∫∫ zds

ds

G

YG

S

y

s

s

Fig. 2.1
(2-1)

y et z étant les coordonnées de l'aire élémentaire ds.

Y

12

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

Ces intégrales peuvent être évaluées analytiquement si le contour de la
section est exprimé par des expressions mathématiques simples. Si par contre le
contour est une courbe irrégulière, on procède dans ce cas par les méthodes
numériques. La méthode la plus simple consiste à discrétiser la section en
éléments de surface si et faire la sommation comme suit:
YG =

∑y s
∑s

z

i i
i

(2-2)
ZG =


∑s

zisi

z1
z2
z3

S1

S2
S3

S4

i

z4

Les expressions (2-2) tendent vers les
solutions exactes quand les si couvrent
complètement l'aire de la section.

y2

y1
y3

y4

y

Fig. 2.2

2.2.2 Moments statiques
On considère l'aire d'une section (S) dans le plan défini par le système d'axe
YOZ (Fig. 2.1). On appelle les moments statiques de l'aire (S) par rapport aux
axes OY et OZ les quantités:

Sy =

∫∫ zds
s

(2-3)
Sz =

∫∫ yds
s

Par analogie avec le moment d'une force par rapport à un axe quelconque, le
moment statique de l'aire d'une section par rapport à un axe situé dans son plan
est égal au produit de la surface de la section par la distance de son centre de
gravité à l'axe considéré.
En utilisant les équations (2-1), (2-3) deviennent:
Sy = S . ZG
(2-4)
Sz = S . YG
Pour les surfaces complexes discrétisées en n aires simples, les moments
statiques par rapport aux axes Oy et Oz seront respectivement égaux à:

Caractéristiques géométriques des formes

13

n

Sy =

∑s z

i i

i =1

(2-5)
n

Sz =

∑s y

i i

i =1

Remarque: Le moment statique d'une surface par rapport à un axe passant par
son centre de gravité est nul.
2.2.3 Moments quadratiques (moments d'inertie des sections)
On appelle moment quadratique l'intégrale des produits des aires
élémentaires par le carré de leurs distances à partir de l'axe considéré, ainsi, les
moments d'inertie d'une surface (S) quelconque par rapport à OY et OZ sont les
suivants:
IY =

∫∫ z ds

IZ =

∫∫ y ds

2

s

(2-6)
2

s

Les moments d'inertie par rapport aux axes passant par le centre de gravité de
la section sont des moments centraux.
Le moment d'inertie de la section représente la capacité de la section à
s'opposer à la déformation latérale, comme le montre l'exemple d'une feuille
reposant
sur
deux
appuis
dont
la
y
déformation sous son
poids
propre
est
z
nettement
plus
importante que quand
y
elle est pliée en forme
de U, car le moment
z
d'inertie Iz de la forme
en U est plus grand que
Fig. 2.3
celui de la section
rectangulaire.

14

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

En utilisant les équations générales (2-6), on peut déterminer les moments
d'inertie d'une section quelconque quand on
z
ds
puisse exprimer les termes y, z et ds par des
expressions analytiques. Pour une section
triangulaire par exemple on a:
dz

b

H

B
b( z ) =
(H − z)
H

z

(2-7)

ds = b(z)dz

y

B

(2-8)

Fig. 2.4
⇒ IY =

B
z ds =
s
H

∫∫

2

H



z 2 ( H − z )dz =

0

BH 3
12

(2-9)

Z

2.2.4 Moment d'inertie polaire

On appelle moment d'inertie polaire d'une
surface (S) par rapport à un point donné (pôle O) z
l'intégrale des produits des aires élémentaires par
le carré de leurs distances r à partir du pôle. Il
représente la capacité de la section à s'opposer
aux déformations angulaires sous l'effet de la
torsion.

ds

r

y

Y

Fig. 2.5

Ip =

∫∫ r ds = ∫∫ ( z
2

s

s

2

+ y 2 )ds = I Z + IY

(2-10)

De l'équation (2-10), il en résulte que le moment d'inertie polaire par rapport
à un point est la somme des moments d'inertie par rapport à deux axes
orthogonaux passant par ce point.
Z
Exemple : moment polaire d'un cercle:

dr
Io =

∫∫

s

r 2 ds

d 2

Io =


0

2πr 3dr =

(2-11)

ds
O r
d/2

πd 4
32

(2-12)

Fig. 2.6

Y

Caractéristiques géométriques des formes

15

2.2.5 Produit d'inertie (moment d'inertie centrifuge)
On appelle moment produit, l'intégrale des produits des propriétés des aires
élémentaires par leurs distances comptées à partir des axes de coordonnées z, y :

I YZ =

∫∫ yzds

(2-13)

s

Remarques:
- Les moments d'inertie quadratiques et polaire sont toujours positifs
- Selon la disposition des axes, I ZY peut être positif, négatif ou nul.
- En chaque point d'une aire plane, il existe deux axes orthogonaux par
rapport auxquels le produit d'inertie est nul (Iyz = 0). Les deux axes ainsi définis
sont appelés axes principaux d'inertie.
- Les axes sont principaux quand l'un des axes au moins constitue un axe de
symétrie de la section. En effet, en raison de symétrie le produit d'inertie est nul
par rapport à cet axe qui est donc une direction principale, la seconde étant
nécessairement orthogonale.

2.3 FORMULE DE TRANSFORMATION DES MOMENTS D'INERTIE
Les moments d'inertie d'une section varient selon la disposition des axes
par rapport auxquels ces moments sont calculés. Deux types de transformations
seront étudiées : translation et rotation d'axes. La variation des moments d'inertie
par rapport à un système d'axes quelconques, est déterminé à l'aide d'une
combinaison de deux transformations partant d'un système d'axe central.

2.3.1 Translation d'axes

Z

Z1

Les formules définies ci-dessous
permettent la détermination des moments
d'inertie par rapport à des axes Y1, Z1
parallèles à des axes centraux Y, Z dont les
moments sont supposés connus.

ds

z1

z

b

O1

IZ =
I yz =

∫∫ y ds ;
2

s

Iy =

∫∫ z ds
2

s

a

Y

y1

Y1

Fig. 2.7

;

∫∫ yzds

y

G

(2-14)

s

Les moments par rapport à Y1, Z1 :
I z1 =

∫∫ y ds ; I
s

2
1

y1

=

∫∫ z ds ; I
s

2
1

z1 y1

=

∫∫ y z ds
s

1 1

(2-15)

La translation des axes est exprimée par :
y1 = y + a

z1 = z + b

(2-16)

16

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

En substituant y1 et z1 par leurs valeurs dans l'équation (2-15)
On obtient :

I z1 =

∫∫ ( y + a )
s

2

ds

(2-17)

=

∫∫ ( y

=

∫∫ y ds + 2a ∫∫ yds + a ∫∫ ds

2

s

+ 2ay + a 2 )ds

2

(2-18)
2

s

s

s

(2-19)

Comme les moments statiques de l'aire par rapport aux axes centraux sont
nuls, le terme

∫∫ yds = 0

2a =

(2-20)

s

et

∫∫ y ds = I
2

s

a2

z

∫∫ ds = a S
2

(2-21)
(2-22)

s

Par conséquent:
I z1 = I z + a 2 S

(2-23)

On aurait de même:
I y1 = I y + b 2 S

(2-24)

I y1z1 = I yz + abS

(2-25)

D'où le théorème d'Huygens:
1- "Le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe quelconque est
égal au moment d'inertie de cette surface par rapport à l'axe parallèle passant par
le centre de gravité, augmenté du produit de l'aire par le carré de la distance
mutuelle des deux axes".
2- "Le moment d'inertie centrifuge par rapport à un système d'axes
orthogonal est égal au moment d'inertie centrifuge par rapport au système d'axes
centraux parallèles aux axes donnés plus le produit de l'aire de la section par les
coordonnées de son centre de gravité dans le nouveau système d'axes.

Caractéristiques géométriques des formes

2.3.2 Rotation d'axes
Les moments et produits d'inertie
sont supposés connus dans le système
d'axes OYZ. Les moments et produits
d'inertie par rapport au système d'axes
OY1Z1 obtenu par une rotation α des axes
initiaux sont donnés par:

I y1 =

Iy + Iz

Iy − Iz

+

2

2

Z1

17

Z
ds

Y1

z

α

z1

y1
O

y

Y

Fig. 2.8
cos 2α − I yz sin 2α
(2-26)

I z1 =

Iy + Iz



2

I y1z1 =

Iy − Iz

2

Iy − Iz

2

cos 2α + I yz sin 2α

sin 2α + I yz cos 2α

(2-27)

(2-28)

En ajoutant les équations (2-26) et (2-27) terme à terme, on obtient :

I y + I z = I y1 + I z1

(2-29)

⇒ I P = I P1
2.4 MOMENTS D'INERTIE PRINCIPAUX
Les équations de transformations expriment les variations des moments
d'inertie en fonction de l'angle de rotation α. Les valeurs maximales et minimales
sont particulièrement recherchées. Ils correspondent à un moment d'inertie
centrifuge I YZ = 0 .
On obtient ainsi l'orientation des axes principaux:
tg 2α 0 = −

2 I yz

(2-30)

Iy − Iz

Les valeurs des moments d'inertie principaux peuvent être obtenues à partir
des formules générales si l'on y pose α = α 0 .

I1 =

Iy + Iz
2

 Iy − Iz
+ 
 2

2


2
 + I yz



(2-31)

18

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

I2 =

Iy + Iz
2

 Iy − Iz
− 
 2

2


2
 + I yz



(2-32)

2.5 REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES MOMENTS D'INERTIE
(CERCLE DE MOHR)
Problème direct :
I y , I z , I yz connus

;

I1 , I 2 , α inconnus.

- On choisi un système de coordonnées orthogonal O I y,z , I yz et une échelle

adéquate
- On construit A (Iy, Iyz) et B (Iz, -Iyz)
- On relie AB (diamètre qui coupe l'axe O Iy,z en C).
- Le rayon du cercle est: AC = BC =

 Iy − Iz

 2


2

 2
 I yz



- On trace le cercle qui coupe les abscisses en A' et B'
- On mesure les distances OA' et OB' et on obtient I1 et I2
- On mesure l'angle ACA' = 2α0

Problème indirect:
I y , I z , I yz connus

;

I1 , I 2 , α inconnus.

- On choisit le système de coordonnées O I y,z , I yz
- On porte sur l'axe des abscisses, en échelle requise, OA' et OB'
- On localise le centre du cercle C: B' C = A' C =

1
(I1 − I 2 ).
2

- On trace le cercle de rayon A'C.
- On détermine le point A d'un angle A'CA = 2α0 et le point B
diamétralement opposé

Caractéristiques géométriques des formes

19

- On obtient les valeurs de I y , I z , I yz en projetant A et B sur les axes.
Iyz
B(Iy,-Iyz)

Iz

I2
B'

Iy

I1



C

Iz,Iy

A'

A(Iz,Iyz)

Fig. 2.9
2.6 APPLICATION
Déterminer les moments d'inertie principaux et centraux de la section en
forme de L ci-dessous.
Z

1 cm

S1 = 10 cm Z1 = 5 cm Y1 = 0.5 cm
Iz1 = 83.33 cm4
S2 = 9 cm

Iy1 = 0.83 cm4

10 cm

Z2 = 0.5 cm Y2 = 5.5 cm

Iz2 = 0.75 cm4 Iy2 = 60.75 cm4
Les coordonnées du centre de gravité sont:
ZG =

∑S Z
∑S
i

i

=

i

YG =

∑S Y
∑S
i

i

i

=

G1

G
G2

1 cm
Y

10 cm

Fig. 2.10

10 × 5 + 9 × 0.5
= 2.87 cm
19

10 × 0.5 + 9 × 5.5
= 2.87 cm
19

Les distances entre les centres de gravité locaux et le centre de gravité de la
section sont:
a1 = z1 - ZG = 2.13 cm

a2 = z2 - ZG = -2.37 cm

b1 = y1 - YG = -2.37 cm b2 = y2 - YG = 2.63 cm

20

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

Les moments d'inertie centraux par rapport aux axes parallèles à OY et OZ:

Iz =

∑I

zi

+ Si a i2 = 83.33 + 0.75 + 10 × (2.13)² + 9 × (-2.37)² = 180 cm4

Iy =

∑I

yi

+ Si b i2 = 0.83 + 60.75 + 10 × (-2.37)² + 9×(2.63)² = 180 cm4

I yz =

∑I

yzi

+ Si ai bi =0+ 0 + 10(2.13)(-2.37) + 9(-2.37)(2.63) = -106.6 cm4

Les moments d'inertie centraux principaux sont

I1,2 =

I y + Iz
2

 Iy − Iz
± 
 2

2


 + I 2yz = 180 ± 106.6 cm4



I1 = 286.6 mm4 et I2 = 73.4 cm4
L’orientation des axes principaux:
tg 2α 0 = −

2I yz
I y − Iz

=∞

⇒ 2α 0 =

π
π
⇒ α0 =
2
4

Caractéristiques géométriques des formes

21

EXERCICES / chapitre 2

2.1 Déterminer les moments d'inertie
principaux et centraux des sections
de la Fig. E2.1

2.3 Une section transversale d'une
poutre est symétrique par rapport à
un segment de droite AB. Les
longueurs des lignes moyennes de
dix bandes de même largeurs et
normales à AB sont respectivement:

a)2.813×107mm4,1.25× 107mm4
b)2.145×107mm4,0.82×107 mm4

16.0, 28.0, 32.0, 32.8, 32.0, 31.4,
25.2, 20.6, 15.0 et 6.6 mm. La
hauteur AB est 75 mm.

c)1.37×107mm4,0.802×107 mm4

Calculer le moment d'inertie de
cette aire par rapport à l'axe central
perpendiculaire à AB.

d)2.43×107mm4,1.687×107 mm4
e) 3.7315 r4 , 1.726 r4

9

5.869 × 105 mm4

100

100

2.4 Calculer
les
moments
d'inertie centraux Iz, Iy et Iyz d'une
section de cornière à ailes inégales
représentée sur la Fig. E2.4.

25
10

Y

150

Y
10

150

25
Z

Z

b)

a)

200
12
180

Y

Y

180

Déterminer
graphiquement
l'orientation des axes principaux et
les moments d'inertie par rapport à
ces axes.
9 1.085x107mm4;2.48x106 mm4;

150
Z

12

d)
r

c)

-2.98 x 106 mm4; 17.72°;
1.18x107mm4; 1.53 x 106 mm4.

2r
Z
e)
12

Fig. E2.1

180
12

2.2 Calculer les moments d'inertie
principaux
d'une
section
rectangulaire 3 a × a par rapport aux
axes ayant un coin de la section
comme origine.
9

9.583a4 , 0.411a4

100

Fig. E2.4

22

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

2.5
Déterminer l'aire (S), le
moment statique (Sz), le centre de
gravité (YG, ZG) et le moment
d'inertie (Iz) d'une section droite
dont la ligne moyenne est constituée
par un arc de parabole d'ouverture
2a, et de flèche f et dont l'épaisseur e
mesurée verticalement est constante
(Fig. E2.5).

a

a

G

e

f

O

Z
Y

Fig. E2.5

9

S = 2ae, Sz = 2aef/3; ZG=0;
YG = -f/3 ; Iz = 2aef²/5

2.6 Déterminer la position (angle
α) d'une poutre, dont la section
droite est une cornière en S ayant un
centre de symétrie en O (Fig. E2.6),
pour que la flèche sous un
chargement perpendiculaire à l'axe
orienté par α, soit minimale.
Calculer le moment d'inertie par
rapport à l'axe parallèle passant par
le centre de gravité de la section.
9

α= -21° 21'; Iz' = 49.16 cm4

2.7 Tracer le cercle de Mohr d'une
section circulaire de diamètre D et
expliquer la particularité de ce cas.
Donner deux autres formes de
sections présentant les mêmes
caractéristiques.
9 Si une section admet trois
axes de symétrie ou plus, alors tous
les axes centraux sont des axes
principaux et tous les moments
d'inerties par rapport à ces axes sont
égaux.
Exemples de sections: carrée,
triangle équilatéral.

1

2

O

1
Z'

α

2
Z

Y

Y'

Fig. E2.6

Chapitre 3
EFFORTS INTERNES

3.1 GENERALITES
On appelle forces extérieures ou charges les forces appliquées connues
sur une structure donnée. Suivant le cas, ces charges peuvent-être réparties avec
une densité donnée de volume (poids propre d'une structure) ou concentrées en
un certain nombre de points. Dans cette catégorie de forces extérieures figurent
aussi les réactions d'appuis.
Sous l'effet de ces charges, les forces entre les particules d'un corps (élément)
en équilibre varient. En Résistance des Matériaux, on appelle souvent cette
variation des forces efforts internes.
Afin de faciliter l'étude des efforts exercés sur chaque particule matérielle on
considère une section transversale d'un élément soumis à une sollicitation (Fig.
3.1). Tout comme n'importe quel système de forces, les efforts intérieurs répartis
sur toute la section peuvent être rapportés à un point (par exemple le centre de
gravité
de
la
section), et de ce
fait on distingue le
vecteur
force
F (N, Tz, Ty) et le
vecteur
moment
M (Mx, My,
Mz)
résultant des forces
Ty
intérieures dans la
Tz
section. Il convient
My
Mz
d'adopter
les
Mx
Mz
dénominations
N
N
Tz
suivantes pour les
My
Mx
Ty
forces et moments
agissant dans une
Fig. 3.1
section.

24

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

3.1.1 Effort Normal
La composante N de la résultante F représente la somme des projections de
toutes les forces intérieures agissant suivant la normale de la section (ou suivant
l'axe longitudinal de l'élément). L'effort normal provoque une déformation
longitudinale de l'élément. N est considéré positif s'il s'agit d'une traction et
négatif dans le cas contraire.
3.1.2 Efforts tranchants
Les forces transversales Tz, et Ty sont les sommes des projections de toutes
les forces intérieures dans la section sur les axes centraux principaux de cette
dernière. Ces efforts tranchants provoquent le cisaillement des bords de la
section respectivement dans la direction des axes Z et Y. Le sens de T sur le plan
est positif par convention quand il tend à faire tourner un élément entre deux
sections dans le sens des aiguilles d'une montre comme indiqué sur la Fig. 3.2.

T

T

Fig. 3.2
3.1.3 Moments Fléchissants
Les composantes My, et Mz du vecteur moment résultant représentent les
sommes des moments de toutes les forces intérieures dans la section, par rapport
aux axes d'inertie principaux de cette dernière Y et Z respectivement. La Fig. 3.3
indique le sens positif des moments dans le plan qui par convention tend les
fibres inférieures et comprime les fibres supérieures de la section.
M

M

Fig. 3.3
3.1.4 Moment de torsion
le moment de torsion Mx (ou Mt) est la
somme des moments de toutes les forces
intérieures dans la section par rapport à l'axe de
la barre X. Le moment de torsion est positif
lorsqu'il tend à tourner la section dans le sens
inverse des aiguilles d'une montre (sens
trigonométrique) en regardant la section du côté
de la normale extérieure (Fig. 3.4)

Fig. 3.4

Efforts internes

25

3.2 METHODE DES SECTIONS
Pour déterminer les forces intérieures qui apparaissent dans un élément
soumis à une sollicitation, on se sert, en résistance des matériaux, de la méthode
des sections.
Cette méthode est basée sur le fait que si un élément est en équilibre, sous
l'action des forces extérieures, alors n'importe quelle partie de cet élément sous
l'action des forces qui lui sont appliquées, est équilibré par un système de forces
intérieures agissant dans la section.
On considère l'élément AB plan, soumis à l'action d'un système de forces
extérieures (Fig. 3.5). Pour calculer les efforts et moments dans n'importe quelle
section, on coupe à l'endroit
π
voulu l'élément AB en deux
parties.
Les
valeurs
numériques des efforts N, T,
A
et M sont égaux aux sommes
B
algébriques des projections
et des moments des forces
M
extérieures agissant sur une
M
N T
des parties (gauche ou
droite)
de
l'élément
T
sectionné, généralement sur A
B
celle où les projections et
Fig. 3.5
moments se calculent plus
facilement.
3.3 DIAGRAMMES DES EFFORTS ET DES MOMENTS
En général, les efforts et moments agissant dans différentes sections varient
le long de la poutre. Entre autres les valeurs maximales et minimales de ces
efforts et moments sont d'une grande importance pour la sécurité de la poutre, on
s'intéresse donc à tracer des courbes qui montrent comment changent les efforts
et les moments d'une section à une autre, on appelle ces courbes les diagrammes
des efforts et des moments.
On se limite dans cette section à l'étude des diagrammes des efforts et des
moments dans les poutres à deux dimensions (plan XOY), ce qui réduit le
nombre des efforts et des moments à trois, à savoir un effort normal N, un effort
tranchant Ty, et un moment fléchissant Mz.
3.3.1 Les zones des efforts internes dans une poutre
La variations d'un effort ou moment dans une zone (ou tronçon) d'une poutre
est caractérisé par une même loi mathématique. En pratique l'extrémité d'une
zone est imposée par l'extrémité de la poutre (extrémité libre appuis de rive ou
intermédiaire), changement brutal de la charge, ou le changement brutal de la
direction de l'axe de la poutre (Fig. 3.6).

26

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

I

II

II

III

I

I

II

Fig. 3.6
3.3.2 Relations différentielles entre les charges et les efforts
Ils existent des relations différentielles entres les forces extérieures et
intérieures et qui constituent la base de la méthode directe pour la détermination
des efforts internes.
Pour déterminer ces relations on
considère un cas de charge arbitraire
d'un système de sollicitations donné
N
dans un plan (Fig. 3.7) avec:
qx : intensité de la charge extérieure
selon l'axe X

q

y
M+dM
N+dN

M
T

qy : intensité de la charge extérieure
selon l'axe Y

qx
dx

T+dT

Fig. 3.7

La relation entre l'intensité de la charge qx est l'effort normal est obtenue par
l'équation d'équilibre d'un élément dx et peut être exprimée par:
N - qx(x)dx - N - dN = 0
⇒ dN/dx = -qx(x)
Entre l'intensité qy, l'effort tranchant T et le moment fléchissant M qui
agissent dans une certaine section, existent les relations différentielles suivantes:
T - qy(x)dx - T - dT = 0
⇒ dT/dx = -qy(x)
M + Tdx - qy(x)dx²/2 - M - dM= 0
en négligeant le terme quadratique en dx² on obtient:
dM/dx = T

d²M/dx² = -qy

Efforts internes

27

3.3.3 Construction des diagrammes des efforts internes d'une poutre
Pour pouvoir tracer les diagrammes, il est indispensable de connaître toutes
les forces extérieures y compris les réactions qui doivent être préalablement
déterminées.
Pour déterminer les réactions d'une poutre isostatique (efforts de liaison), il
faut écrire les conditions d'équilibre (la loi fondamentale de la statique).
Pour une poutre articulée isostatique, aux trois équations fondamentales de la
statique s'ajoute une équation supplémentaire: en effet par rapport au centre de
l'articulation, la somme des moments créés par toutes les forces situées d'un côté
de cette dernière est nulle
Le tracé des diagrammes des efforts et des moments peut être fait à l'aide des
équations analytiques ou par la méthode directe.
La méthode analytique consiste à trouver les expressions des efforts et
moment pour chaque zone en fonction de l'abscisse x de la ligne moyenne de la
poutre. Ces expressions peuvent être établies par les équations d'équilibre de
toutes les forces (y compris les réactions des appuis) appliquées à gauche ou à
droite de la section considérée. Une fois que ces expressions sont déterminées,
on peut alors tracer leurs diagrammes.
La méthode directe est très rapide généralement utilisée dans les cas de
chargements simples. Elle consiste à déterminer les valeurs numériques des
efforts intérieurs aux extrémités de chaque tronçon. Ces points sont joints par
des lignes ou courbes dont les caractéristiques sont déterminées sur la base des
relations différentielles entre les efforts intérieurs et les forces extérieures citées
ci-dessous.
a) Sur les tronçons où il n'y a pas de charge répartie, le diagramme des T est
délimité par des droites parallèles à la base tandis que le diagramme des M l'est,
dans le cas le plus général, par des droites obliques.
b) Sur les tronçons où la poutre supporte une charge répartie, le diagramme
des T est délimité par des droites obliques tandis que celui des M l'est par des
paraboles carrées. Quand on trace le diagramme des M du côté des fibres
tendues, l'incurvation de la parabole est dirigée dans le sens contraire de la
charge qy.
c) Les maximums et minimums des M coïncident avec les sections où T=0.
d) Dans les sections où les charges concentrées sont appliquées à la poutre, le
diagramme des T est caractérisé par des passages brusques aux niveaux de ces
charges, celui des M, il y aura des brisures dont la pointe sera dirigée dans le
sens de la ligne d'action de la force.
e) Dans les sections où des moments concentrés sont appliqués à la poutre, le
diagramme des moments sera marqué par des passages brusques d'une valeur
proportionnelle à ces moments tandis que sur le diagramme des T, il n' y aura
aucune modification.

28

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

3.3.4 Tracé des diagrammes pour des portiques isostatiques
On appelle portique les systèmes de poutres reliées entre elles par des noeuds
rigides (Fig. 3.8). Il est convenu d'appeler les poteaux ou montants les éléments
verticaux ou inclinés d'un portique, tandis que ceux longitudinaux, poutres ou
traverses.
Ces assemblages trouvent une large application dans le domaine du génie
civil. Ils sont très utilisés comme systèmes de base dans les constructions telles
que les bâtiments et les hangars. Généralement les portiques sont des systèmes
hyperstatiques, mais on se limitera ici à l'étude des portiques isostatiques.
Les règles de construction des diagrammes sont celles utilisées dans le cas de
poutres simples, car chaque élément du portique est considéré ainsi. Les
conventions de signe
poutres (traverses)
préalablement
établies
restent
valables;
les
ordonnées positives des N
et des T sont portés de
façon à être dirigées vers
le coté extérieur, les
diagrammes des moments
Poteaux (montants)
positifs sont tracés du coté
Fig. 3.8
des fibres tendues.
3.3.5 Tracé des diagrammes pour poutres curvilignes (arcs)
Pour des raisons esthétiques ou de résistance, on utilise des éléments
structurels ayant des formes curvilignes (ou en arcs). Dans cette section, on
suppose que l'axe de la poutre curviligne représente un arc de cercle. Pour
déterminer les expressions analytiques des efforts internes de ces éléments, on
utilise la méthode des sections et on écrit les équations d'équilibre pour une
section donnée en projetant les forces suivant l'axe parallèle à l'effort normal N
et l'axe perpendiculaire à ce dernier. La somme des moments de toutes les forces
est calculée par rapport au centre de gravité de la section pour l'expression de
M. On note aussi qu' il est commode d'utiliser un système de coordonnées
polaires pour parcourir la ligne moyenne de l'élément.
3.4 APPLICATIONS
3.4.1 Exemple 1: poutre simple rectiligne
Soit une poutre simplement appuyée (Fig. 3.9), soumise aux cas de charges
suivants:
Une force P concentrée à mi-travée.
La force P est uniformément répartie sur toute la longueur, soit q = P/L.
La force P est triangulairement répartie sur la longueur, soit q = 2P/L.
Tracer les diagrammes des efforts internes et comparer les moments maximaux.

Efforts internes

29

a) cas d'une force concentrée à mi-travée
Détermination des réactions:

P
A

Σ M/A = 0 ⇒ VB = 0.5 P

B

Σ F↑ = 0 ⇒ VA = 0.5 P
Expressions des efforts internes:

L
P/2

+

P/2

-

Tronçon I: 0 ≤ x ≤ L/2
T

N=0
T - 0.5P = 0 ⇒ T = 0.5P

+

PL/4

M - 0.5P x = 0 ⇒ M = 0.5P x

M

M(0) = 0, M(L/2) = PL/4

Fig. 3.9

Tronçon II: L/2 ≤ x ≤ L
N=0
T + P - 0.5P = 0 ⇒ T = - 0.5P
M - 0.5P x + P (x - L/2) = 0
⇒ M = 0.5P x - P (x - L/2)
M(0) = 0,

M(L) = 0, Mmax = M(L/2) = PL/4 = 0.25 PL

b) Cas d'une charge uniformément répartie q = P/L
Détermination de réactions:
Σ M/A = ⇒ VBL - (P/L)L(L/2) = 0

q=P/L
B

A

⇒ VB = 0.5P
Σ F ↑ = 0 ⇒ VA + VB - (P/L)L = 0
⇒ VA = 0.5P

P/2

+

T

Expressions des efforts internes:
N=0
T - 0.5P + (P/L) x = 0
⇒ T = 0.5P - (P/L)x
T(0) = 0.5P, T(L) = -0.5P
et T(x) = 0 ⇒ x = L/2
M - 0.5Px + (P/L) x²/2 = 0

+

PL/8
M

Fig. 3.10

-

P/2

30

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

⇒ M = 0.5Px - (P/2L) x²
M(0) = 0, M(L) = 0,
Mmax = M(L/2) = PL/8 = 0.125 PL
c) Cas d'une charge triangulairement répartie q = 2P/L
Détermination de réactions:
Σ M/A = ⇒ VBL - q(L/2)(2L/3) = 0 ⇒ VB = qL/3 = (2/3)P
Σ F ↑ = 0 ⇒ VA + VB - qL/2 = 0 ⇒ VA = qL/6 = P/3
Expressions des efforts internes:

q=2P/L

N=0

A

P
x x
T − +q× × = 0
3
L 2
⇒T=

2

P/3

B
+

2

P qx
P Px

⇒T= − 2
3 2L
3 L

T(0) = P/3, T(L) = - 2P/3
T(x) = 0 ⇒ x =

M−

-

T

2P/3

+

L
3

M

0.08 PL

Fig. 3.11

P qx 3
P
Px 3
P
x x x
x + q× × × = 0 ⇒ M = −
⇒M= x− 2
3
L 2 3
3 6L
3
3L

M(0) = 0, M(L) = 0, Mmax = M(

L
) = 0.08 PL
3

3.4.2 Exemple 2: Portique simple isostatique
Tracer le diagramme des efforts internes du portique représenté sur
la Fig. 3.12.
Le portique se compose de 2 tronçons. Pour écrire les expressions des efforts
internes on commence par l'extrémité libre C.
Tronçon BC: 0 ≤ x ≤ L
N = -P
T = qx = Px/L

Efforts internes

q=P/L

T(0) = 0 et T(L) = P
M = -qx²/2 = -Px²/2L
M(0) = 0 et

31

B

C

M(L) = -PL/2

P

L

Tronçon AB: 0 ≤ x ≤ L
N = -P

A

T = -P

L

M = Px - PL/2

Fig. 3.12

M(0) = -PL/2, M(L) = PL/2

PL/2

P

-

+

-

+

PL/2

-

P
T

M

P

P

N

Fig. 3.12
3.4.3 Exemple 3: poutre simple curviligne
Tracer les diagrammes des efforts internes de la poutre curviligne en quart de
cercle sous les cas de charges indiqués sur la Fig. 3.13.
P

q
F

q

R

(a)

(b)

(c)

Fig. 3.13
(a) Forces concentrées:
Pour déterminer les expressions de N et T, on projette les forces concentrées
suivant les axes de N et T. L'expression de M est la somme des moments de
toutes les forces par rapport à ce point.

32

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

P

0 ≤ θ ≤ 90

F
N(θ) = F cosθ + P sinθ
N(0) = F, N(90) = P

M

T(θ) = F sinθ - Pcosθ

T

θ

N

T(0) = -P, T(90) = F
et T(α) = 0 ⇒ tgα = P/F

Fig. 3.14

M(θ) = FR (1-cosθ) - PRsinθ
M(0) = 0,

M(90) = (F-P)R
F
-

-

+
P

-

P

N

F

α

α

+
(F-P)R

T

M

Fig. 3.15
(b) Charge uniformément répartie sur l'arc:
La résultante d'une charge uniformément répartie sur l'arc suivant une seule
direction est égale au produit de l'intensité de la charge par la longueur de l'arc
passant par son milieu et dirigée suivant l'orientation de la charge.
La longueur de l'arc faisant un angle α
est dL = Rdα

q

et la force élémentaire : dP = q dL = qR dα

dP
M
N

T


θ
Fig. 3.16

α

Efforts internes

33

Pour 0 ≤ θ ≤ 90 on écrit les expressions de N, T et M

dN(θ) = -dP sinθ = qR sinθ dα
θ

N(θ) = -qR sinθ ∫ 0 dα = -qRθ sinθ
N(0) = 0, N(90) = -πqR/2
θ

dT(θ) = dP cosθ = qR cosθ ∫ 0 dα = qRθ cosθ
T(0) = 0,

T(90) = 0

dM(θ) = -dPR(sinθ - sinα) = -qR²(sinθ - sinα)dα
θ

M(θ) = -qR² ∫ 0 (sinθ - sinα)dα = -qR²(θsinθ + cosθ -1)
M(0) = 0, M(90) = -(π/2 -1)qR²

0.55 qR
+
-

-

1.57 qR

N

0.57 qR²

T

M

Fig. 3.17
(c) Charge uniformément répartie sur la projection horizontale de l'arc:
La résultante d'une charge uniformément répartie sur la projection de l'arc est
égale au produit de l'intensité de la charge par la longueur de cette projection
passant par son milieu et dirigée suivant l'orientation de la charge.
0 ≤ θ ≤ 90

q

N(θ) = -qR sin²θ
N(0) = 0, N(90) = -qR

M

T(θ) = qR sinθ cosθ
T(0) = 0, T(45) = qR/2, T(90) = 0

N

T

M(θ) = -qRsinθ × (Rsinθ)/2 = -(qR²sin²θ)/2
M(0) = 0, M(90) = -qR²/2

Fig. 3.18

θ

34

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

qR/2

+
-

-

qR

N

T
Fig. 3.19

qR²/2

M

Efforts internes

35

EXERCICES / chapitre 3
3.1 Construire les diagrammes des
efforts tranchants et moments
fléchissants pour les poutres de la
figure E3.1, et déduire les valeurs
extrêmes.

3.2
Déterminer les expressions
et les diagrammes de M, N, et T des
portiques isostatiques de la figure
E3.2.
Calculer
les
moments
fléchissants maximaux.

40kN
3kN/m

12kN

36kN.m

A

C
8m

B

D
2m

30kN/m

2m

1m

1.2m

(a)

(b)

20kN

4kN
D

C

A
2m

1m

2m

2m

1kN/m
B

1m

A

12kN.m

4m

1m

C

B
8m

8m
(d)

(c)

E
1.5 m

q
A

B

B

C
2m

2m

L/2

L/2

D

A

6 kN

(e)

(f)

Fig. E3.1

2m

36

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

2 kN

2 kN

1 kN/m

2m
2m

2.

2.5

1.5

1.5

1.2

1.2

(a)

1 kN/m

2 kN

2 kN
1 kN
45°

2

2

3

3

2

2m

(b)

24 kN
6m

0.5 kN/m
1 kN

10m

12 kN

3m

2m

9m

6m

6m

5m
(d)

(c)

Fig. E3.2

Efforts internes

3.4 Etant données q, L, et P = 0.2 qL
(Fig. E3.4). Calculer la longueur
avantageuse de la console a et
construire les diagrammes de T et
M.

3.3 On veut définir, de façon
approchée mais rapide, la flexion
maximale apportée par une dalle
dans ses poutres de rives.
La dalle, simplement appuyée
sur les poutres, supporte une charge

On
appelle
longueur
N.B:
avantageuse de la console d'une
poutre la longueur de la console
pour laquelle le moment fléchissant
maximal a la plus petite valeur
possible.

uniformément répartie q. Les
poutres sont également simplement
appuyées; on admettra qu'elles
supportent les zones délimitées par
des pointillés sur la Fig. E3.3.
Déterminer les densités de
charges p1 et p2 permettant d'obtenir
les moments fléchissants maximaux
des poutres 1 et 2 (sous le seul effet
de la dalle), par les formules:

9

b = 0.676L, a=0.162L
P

P

P

q
B

A

M1 max =

2

P1b
Pa
et M 2 max = 2
8
8

2
9 P1 = ( qa )( 1 − a )
2
3b 2

2

P2 =

a

45°
poutre 1
b

Fig. E3.3

b/2

b/2
L

qa
3

Fig. E3.4

a

poutre 2

37

a

Chapitre 4
ETATS DE CONTRAINTE
ET DE DEFORMATION

4.1 INTRODUCTION
L'objet de ce chapitre est l'étude des effets des charges sur les éléments
auquels elles sont appliquées, en termes de contraintes et de déformations. Ces
dernières constituent l'outil principal de mesure de la résistance et de la rigidité
des éléments. En d'autres termes ce sont les quantités de base d'appréciation de
l'état et du comportement des éléments sous l'effet des charges. Les définitions
des notions de contraintes et de déformation seront d'abord présentées, ensuite
les différents états de contraintes seront examinés. Les procédés de
transformation (translation et rotation) des contraintes et des déformations
seront énoncés. Finalement les relations entre les efforts et les contraintes d'une
part, et d'autre part, entre ces dernières et les déformations seront aussi établies.
4.2 NOTION DE CONTRAINTE
Les efforts internes définis dans le chapitre précédent, engendré par des
forces extérieures, ne sont que les résultantes des efforts élémentaires agissant
sur chaque section de l'élément sollicité par les forces extérieures. On appelle
ces efforts élémentaires, contraintes.
On considère les plans sécants π et π' passant par un point O d'un corps
sollicité par des forces extérieures (Fig 4.1). Une contrainte normale σ de
traction ou de compression au point O est l'effet d'éloignement ou de
rapprochement respectivement des plans π et π'. L'effet de glissement des deux
plans est attribué aux contraintes tangentielles τ. L'existence simultanée des
contraintes normales et tangentielles tend à déplacer les plans suivant la
direction de la résultante dite vecteur contrainte p.
L'étude de cette contrainte p pour toutes les orientations de l'élément de
surface unitaire ds se trouvant dans un endroit précis de la section est appelée
'état de contrainte autour d'un point'.

Etats de contrainte et de déformation

p
σ

O

39

τ
ds

Fig. 4.1
4.3 ETAT DE CONTRAINTE
Découpons au voisinage du point O du
corps sollicité un parallélépipède rectangle
infiniment petit de côtes dx, dy et dz. Sur
chaque face de ce parallélépipède agissent
une contrainte normale et deux contraintes
tangentielles. La contrainte normale est
positive quand elle agit sur une facette
positive dans le sens positive de l'axe
considéré ou sur une facette négative dans le
sens négatif de cet axe. Une contrainte
tangentielle est positive quand elle agit sur
une facette positive dans le sens positif de
l'axe parallèle à la facette ou sur une facette
négative dans le sens négatif de l'axe
parallèle à cette facette. Toutes les contraintes
de l'élément représenté sur la Fig. 4.2a sont
positives.
L'état de contrainte plan est le cas
particulier d'une seule facette du volume où
sur chaque côte agissent une contrainte
normale et une contrainte tangentielle (Fig.
4.2b).
L'état de contrainte linéaire est le cas
particulier d'un seul côté de la facette sur
lequel agissent une contrainte normale et une
contrainte tangentielle (Fig. 4.2c).

σz
τ zx

τ zy
τyz
σy

τ xz
s x

τ yx

τ xy

(a)
σy
τ xy
σx

σx
τxy
σy
(b)
σ
τ
(c)
Fig. 4.2

40

RESISTANCE DES MATERIAUX DE BASE

4.3.1 Equations de transformation de l'état de contrainte linéaire
Pour une barre en traction
(Fig. 4.3), la contrainte normale qui
se développe dans la section S est
donnée par:

σ=

N
S

p
α
p
α

(4-1)

L'état de contrainte dans un plan
quelconque Sα dont la normale
extérieure nα coupe l'axe σ sous un
angle α, la contrainte totale pα est
égale à
Pα =

N

σα

τα
α

α

N

Fig. 4.3

N
N
= cosα

S

= σ cos α

(4-2)
(4-3)

Les contraintes normales et tangentielles dans la section Sα
σα = pα cosα = σ cos²α

(4-4)

τα = pα sinα = σ cosα sinα = (1/2) σ sin2α

(4-5)

Etude de l'orientation:
σmax = σ = pα α = 0 ⇒ τ0 = 0

(4-6)

τmax = σ/2

(4-7)

α = π/4 ⇒ σπ/4 = σ/2

Considérons les contraintes qui agissent sur deux sections orthogonales:
τα = (1/2) σ sin2α

(4-8)

τα+ π/2 = - τα
c'est la loi de réciprocité des contraintes tangentielles

4.3.2 Equation de contrainte de l'état de contrainte plan
Pour connaître les contraintes suivant une direction α par rapport à l'axe x,
nous isolons une partie de l'élément en forme de prisme triangulaire (Fig. 4.4)
droit. Soit S l'aire de la face du prisme opposé à l'angle droit, on a:

Etats de contrainte et de déformation

y

y1

σy

σy1

τxy

41

y
τxy1

x1

σx1

Ax

α

σx
x

τxy1
σx1

x

σx

α

α
τxy
σy

A
Ay

Fig. 4.4
Ax = S cosα

(4-9)

Ay = S sinα

(4-10)

Les contraintes sur les différentes faces du prisme doivent s'équilibrer, on a:
Suivant la normale:
∑ Fα = 0
⇒ Aσα-Aσxcosα² - Aτxycosα . sinα-Aσy sin²α-Aτyxsinα .cosα = 0 (4-11)
Suivant la tangente:
∑ Fα+90 = 0
⇒ Aτα+Aσxcosα . sinα-Aτxycos²α+Aτxysin²α-Aσy sinα . cosα = 0 (4-12)
Soit
σα = σx cos²α + σy sin²α + 2τxy sinα . cosα

(4-13)

τα = - (σx - σy) sinα . cosα + τxy (cos²α - sin²α)

(4-14)

en substituant dans les équations (4-13) et (4-14) les expressions de
cos²α = 1/2(1+cos2α), sin²α = 1/2(1- cos2α) et sinα . cosα = 1/2 sin2α, on
obtient:

σα =

σx +σ y
2

σ α + 90 =
τα = −

+

σx +σ y
2

σ x −σ y
2

σ x −σ y
2



cos 2α + τ xy sin 2α

σ x −σ y
2

cos 2α − τ xy sin 2α

sin 2α + τ xy cos 2α

(4-15)


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