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collection
Programme 2010
Seconde

Sous la direction de
Jean-François Chesné
Marie-Hélène Le Yaouanq

liv

re

du

pr
of

es

se

ur

Hélène Gastin
Marc Guignard
Daniel Guillemet

Les auteurs et les éditions Didier remercient Philippe Dutarte pour ses
conseils avisés, ses idées d’activités et de travaux pratiques qui ont enrichi
la partie Statistique et Probabilités.
Nous remercions également Éric Roxval et Anne-Laure Collinet (professeure
d'anglais) pour la rédaction des exercices de la rubrique English corner.

Couverture : Contours
Mise en pages, schémas et photogravure : STDI
« Le photocopillage, c’est l’usage abusif et collectif de la photocopie sans autorisation des auteurs et des éditeurs.
Largement répandu dans les établissements d’enseignement, le photocopillage menace l’avenir du livre, car il met en danger son
équilibre économique. Il prive les auteurs d’une juste rémunération.
En dehors de l’usage privé du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite. »
« La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, au terme des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les copies ou reproductions
strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses et les
courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le
consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite. » (alinéa 1er de l’article 40) – « Cette représentation ou
reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du
Code pénal. ».
© Les Éditions Didier, Paris 2010

ISBN 978-2-278-06389-5

Imprimé en France

Sommaire

Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Premiers pas en algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Partie I. Fonctions
Chapitre 1. Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chapitre 2. Sens de variation. Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Chapitre 4 Fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Chapitre 5. Inéquations. Étude de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chapitre 6. Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Partie II. Statistiques et probabilités
Chapitre 7. Statistique descriptive. Analyse de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Chapitre 8. Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Chapitre 9. Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Partie III. Géométrie
Chapitre 10. Configurations plans. Repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Chapitre 11. Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Chapitre 12. Équations de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Chapitre 13. Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Raisonnement logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

3

B.O. Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009

Mathématiques
Classe de seconde
Introduction
La seconde est une classe de détermination. Le programme de mathématiques y a pour fonction :
• de conforter l’acquisition par chaque élève de la culture mathématique nécessaire à la vie en société et à la compréhension
du monde ;
• d’assurer et de consolider les bases de mathématiques nécessaires aux poursuites d’étude du lycée ;
• d’aider l’élève à construire son parcours de formation.
Pour chaque partie du programme, les capacités attendues sont clairement identifiées et l’accent est mis systématiquement
sur les types de problèmes que les élèves doivent savoir résoudre. L’acquisition de techniques est indispensable, mais doit être
au service de la pratique du raisonnement qui est la base de l’activité mathématique des élèves. Il faut, en effet, que chaque
élève, quels que soient ses projets, puisse faire l’expérience personnelle de l’efficacité des concepts mathématiques et de la
simplification que permet la maîtrise de l’abstraction.

Objectif général
L’objectif de ce programme est de former les élèves à la démarche scientifique sous toutes ses formes pour les rendre capables
de :
• modéliser et s’engager dans une activité de recherche ;
• conduire un raisonnement, une démonstration ;
• pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique ;
• faire une analyse critique d’un résultat, d’une démarche ;
• pratiquer une lecture active de l’information (critique, traitement), en privilégiant les changements de registre (graphique,
numérique, algébrique, géométrique) ;
• utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution d’un problème ;
• communiquer à l’écrit et à l’oral.
Dans la mesure du possible, les problèmes posés s’inspirent de situations liées à la vie courante ou à d’autres disciplines.
Ils doivent pouvoir s’exprimer de façon simple et concise et laisser dans leur résolution une place à l’autonomie et à l’initiative
des élèves. Au niveau d’une classe de seconde de détermination, les solutions attendues sont aussi en général simples et
courtes.

Raisonnement et langage mathématiques
Le développement de l’argumentation et l’entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée.
À l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de
la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant et, par exemple, à distinguer implication mathématique
et causalité. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire l’objet de cours spécifiques
mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme. De même, le vocabulaire et les
notations mathématiques ne doivent pas être fixés d’emblée ni faire l’objet de séquences spécifiques mais doivent être
introduits au cours du traitement d’une question en fonction de leur utilité. Comme les éléments de logique mathématique,
les notations et le vocabulaire mathématiques sont à considérer comme des conquêtes de l’enseignement et non comme des
points de départ. Pour autant, ils font pleinement partie du programme : les objectifs figurent, avec ceux de la logique, à la
fin du programme.

Utilisation d’outils logiciels
L’utilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur), d’outils de visualisation et de représentation, de calcul (numérique ou
formel), de simulation, de programmation développe la possibilité d’expérimenter, ouvre largement la dialectique entre
l’observation et la démonstration et change profondément la nature de l’enseignement.

4

L’utilisation régulière de ces outils peut intervenir selon trois modalités :
• par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective adapté ;
• par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ;
• dans le cadre du travail personnel des élèves hors du temps de classe (par exemple au CDI ou à un autre point d’accès au
réseau local).

Diversité de l’activité de l’élève
La diversité des activités mathématiques proposées :
• chercher, expérimenter – en particulier à l’aide d’outils logiciels ;
• appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes ;
• raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective ;
• expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit ;
doit permettre aux élèves de prendre conscience de la richesse et de la variété de la démarche mathématique et de la situer
au sein de l’activité scientifique. Cette prise de conscience est un élément essentiel dans la définition de leur orientation.
Il importe donc que cette diversité se retrouve dans les travaux proposés à la classe. Parmi ceux-ci les travaux écrits faits hors
du temps scolaire permettent, à travers l’autonomie laissée à chacun, le développement des qualités d’initiative. Ils doivent
être conçus de façon à prendre en compte la diversité et l’hétérogénéité des aptitudes des élèves.
Le calcul est un outil essentiel pour la pratique des mathématiques dans la résolution de problème. Il est important en classe
de seconde de poursuivre l’entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul mental, du calcul
numérique et du calcul littéral. L’utilisation d’outils logiciels de calcul – sur calculatrice ou sur ordinateur – contribue à cet
entraînement.

Organisation du programme
Le programme est divisé en trois parties,
• Fonctions
• Géométrie
• Statistiques et probabilités
Les capacités attendues dans le domaine de l’algorithmique d’une part et du raisonnement d’autre part, sont transversales et
doivent être développées à l’intérieur de chacune des trois parties. Des activités de type algorithmique possibles sont signalées
dans les différentes parties du programme et précédées du symbole ‡.
Le programme n’est pas un plan de cours et ne contient pas de préconisations pédagogiques. Il fixe les objectifs à atteindre
en termes de capacités et pour cela indique les types de problèmes que les élèves doivent savoir résoudre.

Évaluation des élèves
Les élèves sont évalués en fonction des capacités attendues et selon des modes variés : travaux écrits, rédaction de travaux de
recherche, compte-rendus de travaux pratiques. L’évaluation doit être en phase avec les objectifs de formation rappelés au
début de cette introduction.

1. Fonctions
L’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier :
• un problème se ramenant à une équation du type f (x) = k et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée (définie
par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée pour associer au problème
divers aspects d’une fonction ;
• un problème d’optimisation ou un problème du type f (x) > k et de le résoudre, selon les cas, en exploitant les potentialités
de logiciels, graphiquement ou algébriquement, toute autonomie pouvant être laissée pour associer au problème une
fonction.
Les situations proposées dans ce cadre sont issues de domaines très variés : géométrie plane ou dans l’espace, biologie,
économie, physique, actualité etc. Les logiciels mis à la disposition des élèves (tableur, traceur de courbes, logiciels de
géométrie dynamique, de calcul numérique, de calcul formel, etc.) peuvent être utilement exploités.
Par ailleurs, la résolution de problèmes vise aussi à progresser dans la maîtrise du calcul algébrique et à approfondir la
connaissance des différents types de nombres, en particulier pour la distinction d’un nombre de ses valeurs approchées.
Il s’agit également d’apprendre aux élèves à distinguer la courbe représentative d’une fonction des dessins obtenus avec un
traceur de courbe ou comme représentation de quelques données. Autrement dit, il s’agit de faire comprendre que des
dessins peuvent suffire pour répondre de façon satisfaisante à un problème concret mais qu’ils ne suffisent pas à démontrer
des propriétés de la fonction.

Mathématiques Classe de seconde

5

6

2. Géométrie
L’objectif de l’enseignement de la géométrie plane est de rendre les élèves capables d’étudier un problème dont la résolution
repose sur des calculs de distance, la démonstration d’un alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la
recherche des coordonnées du point d’intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane
repérée.
Les configurations étudiées au collège, à base de triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de problèmes pour lesquels
la géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants.
En fin de compte, l’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier un problème d’alignement de points, de parallélisme
ou d’intersection de droites, de reconnaissance des propriétés d’un triangle, d’un polygone – toute autonomie pouvant être
laissée sur l’introduction ou non d’un repère, l’utilisation ou non de vecteurs.

Mathématiques Classe de seconde

7

Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique par les élèves leur donne une
plus grande autonomie et encourage leur prise d’initiative.
La définition proposée des vecteurs permet d’introduire rapidement l’addition de deux vecteurs et la multiplication d’un
vecteur par un nombre réel. Cette introduction est faite en liaison avec la géométrie plane repérée. La translation, en tant
que transformation du plan, n’est pas étudiée en classe de seconde.

8

S’adressant à tous les élèves de seconde, le programme de géométrie dans l’espace a pour objectif :
• de développer la vision dans l’espace des élèves en entretenant les acquis du collège concernant les solides usuels ;
• d’introduire les notions de plans et droites de l’espace et leurs positions respectives ;
• de fournir ainsi des configurations conduisant à des problèmes aptes à mobiliser d’autres champs des mathématiques
(géométrie plane, fonctions, probabilités) ou de la physique.
Il importe donc tout particulièrement que la géométrie dans l’espace soit abordée tôt dans l’année scolaire.
L’utilisation d’un logiciel de visualisation et de construction est un élément déterminant dans « l’apprentissage de l’espace ».
Les élèves doivent être capable de représenter en perspective parallèle (dite aussi cavalière) une configuration simple et
d’effectuer des constructions sur une telle figure. Ils doivent aussi être capables de mobiliser pour des démonstrations les
théorèmes de géométrie plane.

3. Statistiques et probabilités
Pour des questions de présentation du programme, les cadres relatifs à l’enseignement des statistiques et des probabilités sont
présentés séparément à la suite l’un de l’autre. Pour autant, ces enseignements sont en relation étroite l’un avec l’autre et
doivent faire l’objet d’allers et retours.
Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions de problèmes dans le cadre
de l’analyse de données, rendre les élèves capables
• de déterminer et interpréter des résumés d’une série statistique ;
• de réaliser la comparaison de deux séries statistiques à l’aide d’indicateurs de position et de dispersion, ou de la courbe des
fréquences cumulées ;
dans le cadre de l’échantillonnage
• faire réfléchir les élèves à la conception et la mise en œuvre d’une simulation ;
• sensibiliser les élèves à la fluctuation d’échantillonnage, aux notions d’intervalle de fluctuation et d’intervalle de confiance
et à l’utilisation qui peut en être faite.

Mathématiques Classe de seconde

9

Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions de problèmes
dans le cadre des probabilités, rendre les élèves capables :
• d’étudier et modéliser des expériences relevant de l’équiprobabilité (par exemple, lancers de pièces ou de dés, tirage de
cartes) ;
• de proposer un modèle probabiliste à partir de l’observation de fréquences dans des situations simples ;
• d’interpréter des événements de manière ensembliste ;
• de mener à bien des calculs de probabilité.
Les situations étudiées concernent des expériences à une ou plusieurs épreuves.
• La répétition d’expériences aléatoires peut donner lieu à l’écriture d’algorithmes (marches aléatoires).

10

Algorithmique (objectifs pour le lycée)
La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l’activité mathématique. Au collège,
les élèves ont rencontré des algorithmes (algorithmes opératoires, algorithme des différences, algorithme d’Euclide,
algorithmes de construction en géométrie). Ce qui est proposé dans le programme est une formalisation en langage naturel
propre à donner lieu à traduction sur une calculatrice ou à l’aide d’un logiciel. Il s’agit de familiariser les élèves avec les grands
principes d’organisation d’un algorithme : gestion des entrées-sorties, affectation d’une valeur et mise en forme d’un calcul.
Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés :
• à décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ;
• à en réaliser quelques uns à l’aide d’un tableur ou d’un petit programme réalisé sur une calculatrice ou avec un logiciel
adapté ;
• à interpréter des algorithmes plus complexes.
Aucun langage, aucun logiciel n’est imposé.
L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en
relation avec les autres parties du programme (fonctions, géométrie, statistiques et probabilité, logique) mais aussi avec les
autres disciplines ou la vie courante.
À l’occasion de l’écriture d’algorithmes et de petits programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes de
rigueur et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle.

Notations et raisonnement mathématiques (objectifs pour le lycée)
Cette rubrique, consacrée à l’apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l’objet de séances de
cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l’année scolaire.

Mathématiques Classe de seconde

11

Premiers pas
en algorithmique
1. Premiers exemples d’algorithmes (page 8)
C Ce programme de construction permet de construire la médiatrice et le milieu I de [AB].
D Pour chacun des nombres 5 ; 7 ; 3 et 8,3 on obtient son double.

2. Algorithme et programme informatique
Exercice 1 (page 9)
Demander un nombre
ENTRÉES :
TRAITEMENT : Élever au carré
SORTIE :
Annoncer le résultat

Exercice 2 (page 9)
ENTRÉES :
Demander deux nombres
TRAITEMENT : Ajouter les deux nombres
Diviser par 2
Annoncer le résultat
SORTIE :

Exercice 3 (page 9)
Différents traitements sont possibles.
ENTRÉES :
Placer trois points A, B, C
TRAITEMENT et SORTIE : Construire le milieu I de [AC]
Construire le symétrique D de B par rapport à I

3. Variable et affectation
A Exercice 1 (page 10)
Le résultat affiché est 12.
Exercice 2 (page 10)
VARIABLES : a, b, c, m nombres
ENTRÉES :
Saisir a
Saisir b
Saisir c
TRAITEMENT : m prend la valeur (a + b + c)/3
SORTIE :
Afficher m

Exercice 3 (page 10)
VARIABLES : a, b, c, d nombres
ENTRÉES :
Saisir a
TRAITEMENT : b prend la valeur a – 4
c prend la valeur b ¥ 2
d prend la valeur c + 8
SORTIE :
Afficher d

C Exercice (page 12)
Algorithme 2

Contenus des variables

Contenus des variables

VARIABLES : a et x
sont des nombres

VARIABLES : a, b, c, d et x
sont des nombres

12

Algorithme 3

ENTRÉES : Saisir x

x:5

TRAITEMENT :
a prend la valeur x + 4

x:5

b prend la valeur 2 ¥ a
c prend la valeur b – 3

ENTRÉES : Saisir x

x:5

a:9

TRAITEMENT :
a prend la valeur x + 4

x:5

a:9

x:5

a : 9 b : 18

a prend la valeur 2 ¥ a

x:5

a : 18

x:5

a : 9 b : 18 c : 15

a prend la valeur a – 3

x:5

a : 15

d prend la valeur c – x

x:5

a : 9 b : 18 c : 15 d : 10

a prend la valeur a – x

x:5

a : 10

SORTIE : Afficher d

Affichage de 10

SORTIE : Afficher a

Affichage de 10

Ces deux algorithmes correspondent au programme de calcul :
– Choisir un nombre.
– Ajouter 4.
– Multiplier par 2.
– Soustraire 3.
– Soustraire le nombre de départ.
L’algorithme 2 introduit une variable différente pour chaque nombre à stocker en mémoire, soit 5 variables. Le
programme utilisera 5 « espaces » différents en mémoire.
L’algorithme 3 n’utilise que 2 variables mais peut paraître moins lisible dans un premier temps.
Le programme utilisera moins de place en mémoire.

4. Structure alternative : « Si… Alors… Sinon. »
Exercice (page 12)
n nombre
VARIABLES :
ENTRÉE :
Saisir n
TRAITEMENT et SORTIE :
Si n a pour reste 0 dans la division par 7 Alors
Afficher « nombre multiple de 7 »
Sinon
Afficher « nombre non multiple de 7 »
FinSi

5. Structures itératives : boucles
A Exercice 1 (page 13)
VARIABLES : S, i nombres
ENTRÉE :
Saisir S
TRAITEMENT :
Pour i allant de 1 à 15 Faire
S prend la valeur S ¥ 1,04
FinPour
SORTIE :
Afficher S

Exercice 2 (page 13)
VARIABLES : S, n, i nombres // n est le nombre d’années
ENTRÉE :
Saisir S
Saisir n
TRAITEMENT :
Pour i allant de 1 à n Faire
S prend la valeur S ¥ 1,04
FinPour
SORTIE :
Afficher S

Exercice page 14
L’algorithme 6 affiche successivement les nombres 7 ; 14 ;
21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63.
État des variables dans la boucle :

L’algorithme 7 affiche 512
État des variables dans la boucle :

i:1

n:7

i:1

n:2

i:2

n : 14

i:2

n:4

i:3

n : 21

i:3

n:8

i:4

n : 28

i:4

n : 16

i:5

n : 35

i:5

n : 32

i:6

n : 42

i:6

n : 64

i:7

n : 49

i:7

n : 128

i:8

n : 56

i:8

n : 256

i:9

n : 63

i:9

n : 512

Premiers pas en algorithmique

13

B Exercice 1 (page 15)
Pour S = 4 800 € on obtient l’état des variables suivant
Algorithme 8

Algorithme 9

Saisir S

S : 4 800

n prend la valeur 0

S : 4 800

Tant que S ≤ 6 000 Faire
S prend la valeur S ¥ 1,04
n prend la valeur n + 1
FinTantque

Afficher n

Contenus des variables

Saisir S

S : 4 800

n:0

n prend la valeur 0

S : 4 800

n:0

Répéter
S prend la valeur S ¥ 1,04
n prend la valeur n + 1
Jusqu’à S > 6 000

S : 4 992

n:1

S : 5 191,68

n:2

S : 5 399,3472

n:3

n:4

S : 5 615,321088

n:4

S : 5 839,933932

n:5

S : 5 839,933932

n:5

S : 6 073,531289

n:6

S : 6 073,531289

n:6

S : 4 992

n:1

S : 5 191,68

n:2

S : 5 399,3472

n:3

S : 5 615,321088

Affichage de 6

Afficher n

Affichage de 6

Exercice 2 (page 15)
Il faut garder en mémoire le montant S de départ et l’on doit donc introduire une nouvelle variable, que l’on notera s
afin de calculer les montants successifs à chaque passage dans la boucle.
Algorithme 8 modifié :
VARIABLES :
s, S, n nombres
ENTRÉE :
Saisir S
INITIALISATION : n prend la valeur 0
s prend la valeur S
TRAITEMENT :
Tant que s ≤ 2 ¥ S Faire
s prend la valeur s ¥ 1,04
n prend la valeur n + 1
FinTantque
Afficher n
SORTIE :

Algorithme 9 modifié :
VARIABLES :
s, S, n nombres
ENTRÉE :
Saisir S
INITIALISATION : n prend la valeur 0
s prend la valeur S
TRAITEMENT :
Répéter
s prend la valeur s ¥ 1,04
n prend la valeur n + 1
Jusqu’à s > 2 ¥ S
Afficher n
SORTIE :

Exercice 3 (page 15)
Algorithme avec la structure Tantque…FinTanque :
VARIABLES :
a, n nombres
ENTRÉE :
Saisir a
INITIALISATION : n prend la valeur 0
TRAITEMENT :
Tantque 2n < a Faire
n prend la valeur n + 1
FinTanque
Afficher n
SORTIE :

Exercices pages 18-19
1 On obtient toujours 0. On peut comprendre sur un exemple générique avec les chiffres 2, 7 et 3 en effectuant
l’addition :
273
Dans la colonne des unités, on obtient 2 ¥ ( 2 + 7 + 3) unités,
+ 237
dans la colonne des dizaines, on obtient 2 ¥ ( 2 + 7 + 3) dizaines,
+ 723
dans la colonne des centaines, on obtient 2 ¥ ( 2 + 7 + 3) centaines.
+ 732
+ 372
+ 327
––––––––


14

La somme est donc 2 ¥ (2 + 7 + 3) ¥ 100 + 2 ¥ (2 + 7 + 3) ¥ 10 + 2 ¥ (2 + 7 + 3) = (2 + 7 + 3) ¥ 222.
En divisant cette somme par 222 et en retranchant la somme 2 + 7 + 3 des chiffres, on obtient donc 0.
De façon générale :
Si les trois chiffres sont a, b, c (1 a, b, c ≤ 9), en ajoutant tous les nombres écrits on obtient
2(a + b + c) centaines + 2(a + b + c) dizaines + 2(a + b + c) unités = (a + b + c) ¥ 222.
( a b c ) ¥ 222
Et
– ( a b c ) 0.
222

2

3 a:5; b:7; c:6

4 a:5; b:–1

5 a:4; b:1; c:–3

6 a:9; b:9; c:9

7 1. Il semble que l’on obtienne des carrés d’entiers.
2. Sans réduire le nombre de variables :
VARIABLES : a, b, c, d nombres
ENTRÉES :
Saisir a
TRAITEMENT : b prend la valeur a – 6
c prend la valeur b ¥ a
d prend la valeur c + 9
SORTIE :
Afficher d

En réduisant le nombre de variables :
VARIABLES : a, b nombres
ENTRÉES :
Saisir a
TRAITEMENT : b prend la valeur a – 6
b prend la valeur b ¥ a
b prend la valeur b + 9
SORTIE :
Afficher b

8 1. On obtient l’affichage des nombres 0 ; – 32 ; 12.
État des variables
x prend la valeur 7

x:7

y prend la valeur 2

x:7

y:2

z prend la valeur 2x – y

x:7

y:2

z : 12

y prend la valeur 2y – 3z

x:7

y : -32

z : 12

x prend la valeur 5z + y – 4x

x:0

y : -32

z : 12

2. Il semble que x contienne toujours 0.

Premiers pas en algorithmique

15

3. En entrant les nombres a, b et c dans les variables x, y, z, on obtient :
x prend la valeur a

x:a

y prend la valeur b

x:a

y:b

z prend la valeur 2x – y

x:a

y:b

z : 2a-b

y prend la valeur 2y – 3z

x:a

y : 5b – 6a obtenu par
2b – 3(2a – b)

z : 2a – b

x : 0 obtenu par
5(2a – b) + 5b – 6a – 4a

y : 5b – 6a

z : 2a – b

x prend la valeur 5z + y – 4x

9
1.
VARIABLES :
ENTRÉES :
TRAITEMENT :
SORTIE :

Remarque : on peut réduire à 1 variable p.
VARIABLE : p nombre
ENTRÉES :
Saisir p
TRAITEMENT : p prend la valeur p + 0,196 ¥ p
SORTIE :
Afficher p

p, q nombres
Saisir p
q prend la valeur p + 0,196 ¥ p
Afficher q

2.
VARIABLES : p, n, t nombres
ENTRÉES :
Saisir p
Saisir n
Saisir t
TRAITEMENT : p prend la valeur p + t ¥ p
SORTIE :
Afficher p

//p : prix ; n : nombre d’articles ; t : TVA

10 Algorithme en langage naturel :
Demander le nombre de personnes.
Multiplier 200 € par ce nombre.
Ajouter 600 €.
Diviser par le nombre de personnes.

// On obtient le prix total des forfaits.
// On obtient le coût total.
// On obtient la part qui revient à chacun.

Algorithme formalisé :
VARIABLES : n, f, t, p nombres
ENTRÉES :
Saisir n
TRAITEMENT : f prend la valeur 200 × n
t prend la valeur F + 600
p prend la valeur t/n
SORTIES :
Afficher t, p

// n : nombre de personnes, f : prix des forfaits, t : coût total,
p : part qui revient à chacun

11
Instructions

L’algorithme affiche donc 25 ; 44 ; 7.
Si la variable s contient un nombre de
secondes, cet algorithme exprime cette
durée en heures, minutes, secondes :
92 647 s = 25 h 44 min 7 s.

État des variables

Variables : s, h, m entiers
Entrées : Saisir s

s : 92 647

Traitement :
h prend la valeur E(s/3 600)

s : 92 647

h : 25

s prend la valeur s – 3 600 ¥ h

s : 2 647

h : 25

m prend la valeur E(s/60)

s : 2 647

h : 25

m : 44

s:7

h : 25

m : 44

s prend la valeur s – 60 ¥ m

16

12 1. Pour h = 14, m = 45, l’algorithme fait afficher (15 , 46).
Pour h = 8, m = 59, l’algorithme fait afficher (9, 0).
2. Il semble qu’un horaire étant donné, cet algorithme fasse afficher l’horaire une minute plus tard.
3. Si on entre h = 0 et m = 5, l’algorithme affiche (0, 6) puis « on a changé de jour », ce qui est faux.

13 Voir aussi sur le site Internet www.didiermathx.com
VARIABLES : n, m nombres

// n nombre de photocopies,
m montant de la facture en centimes.

Saisir n
ENTRÉES :
TRAITEMENT : Si n 20 Alors
m prend la valeur n ¥ 10
Sinon
m prend la valeur 20 ¥ 10 + (n – 20) ¥ 8
FinSi
Afficher m
SORTIES :

14 Voir aussi sur le site Internet www.didiermathx.com
n nombre
// n nombre auquel arrive le joueur.
VARIABLES :
ENTRÉES :
Saisir n
TRAITEMENT et SORTIES :
Si n est multiple de 35 Alors
Dire « Fizzbuzz »
Sinon
Si n est multiple de 5 Alors
Dire « Buzz »
Sinon
Si n est multiple de 7 ou commence par 7 Alors
Dire « Fizz »
Sinon
Dire le nombre n
FinSi
FinSi
FinSi

15 1. Le résultat affiché est 55. Ce programme calcule la somme 1 + 2 + 3… + n.
2. Programme modifié :

16 1. Pour n = 35, le résultat affiché est 2 ; pour n = 55, on obtient 0.
2. u est le reste de la division euclidienne de n par 11.

Premiers pas en algorithmique

17

17 Voir aussi sur le site Internet www.didiermathx.com
C, i, D entiers
VARIABLES :
INITIALISATION :
C prend la valeur 0
// C est le compteur
TRAITEMENT :
Pour i allant de 1 à 500 Faire
D prend la valeur NbAlea(1; 6)
Si D = 1 Alors
C prend la valeur C + 1
FinSi
FinPour
SORTIE :
Afficher C

18 1.
n

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Affichage de c

3

2

4

2

4

3

4

2

6

La variable c compte le nombre de diviseurs (positifs) de n.
2. Le résultat affiché est 2 quand n est un nombre premier et uniquement dans ce cas.

19 1. Des exemples :
x

6

12

20

6

y

5

3

15

6

Affichage de z

30

36

300

36

Cet algorithme semble afficher le produit des deux nombres entrés en x et en y.
Pour aller plus loin
Il s’agit de la « multiplication à l’égyptienne » obtenue uniquement à l’aide de duplication. Sur l’exemple x = 20 et y = 15
observons ce procédé :
x

y

z

Commentaires

ENTRÉE

20

15

INITIALISATION

20

15

0

TRAITEMENT

10

30

0

Le produit xy n’a pas changé :
20 ¥ 15 = 10 ¥ 30

5

60

0

Le produit xy n’a pas changé :
20 ¥ 15 = 5 ¥ 60

4

60

60

Ici le produit xy a changé :
20 ¥ 15 = 4 ¥ 60 + 60
On remplace le calcul de 5 ¥ 60 par celui de 4 ¥ 60 en
stockant dans la variable z ce qu’il faudra ajouter au
résultat pour obtenir 5 ¥ 60

2

120

60

On a remplacé le calcul de 4 ¥ 60 par celui de 2 ¥ 120 :
20 ¥ 15 = 2 ¥ 120 + 60

1

240

300

A l’étape suivante x serait égal à 0, donc on s’arrête.
20 ¥ 15 = 1 ¥ 240 + 60 est bien contenu dans la variable z.

Le produit xy est 20 ¥ 15

Remarque : Ce procédé de multiplication revient à écrire le nombre entré dans x comme somme de puissances de 2.

18

20 On prend pour n un nombre entier naturel.
Si n > 20, on enlève 4 autant de fois qu’il le faut ; on obtient un nombre inférieur ou égal à 20.
Il suffit donc d’observer ce qui se passe pour n compris entre 0 et 20.
Pour n = 0, le programme affiche continuellement 0.
Pour n = 20, le programme ne fait rien.
Pour n = 4, n = 8, n = 12, n = 16, on obtient 20 à une étape donc le programme ne fait plus rien ensuite.
Pour les autres valeurs, une liste de nombres semble se répéter indéfiniment.
On peut regrouper ces nombres en deux familles :
– Pour n = 2, n = 6, n = 10, n = 14, n = 18, on obtient 18 à une étape, suivi de la liste de nombres 18 ; 54 ; 50 ; 46 ; 42 ; 38 ;
34 ; 30 ; 26 ; 22 répétée indéfiniment.
– Pour n = 1, n = 3, n = 5, n = 7, n = 9, n =11, n =13, n =15, n = 17, n = 19, on obtient 17 à une étape, et la liste de nombres
17 ; 51 ; 47 ; 43 ; 39 ; 35 ; 31 ; 27 ; 23 ; 19 ; 57 ; 53 ; 49 ; 45 ; 41 ; 37 ; 33 ; 29 ; 25 ; 21 est ensuite répétée indéfiniment.
De façon générale :
– Si n = 0, le programme affiche 0 continuellement.
– Si n = 20, le programme ne fait rien.
– Si n est un multiple de 4 non nul et autre que 20, le programme affiche 20 à une étape puis ne fait plus rien.
– Si n est un nombre pair non multiple de 4, le programme répète indéfiniment la liste 18 ; 54 ; 50 ; 46 ; 42 ; 38 ; 34 ; 30 ;
26 ; 22 à partir d’une certaine étape.
– Si n est impair, le programme répète indéfiniment la liste 17 ; 51 ; 47 ; 43 ; 39 ; 35 ; 31 ; 27 ; 23 ; 19 ; 57 ; 53 ; 49 ; 45 ; 41 ;
37 ; 33 ; 29 ; 25 ; 21 à partir d’une certaine étape.
Remarque : Ce programme ne s’arrête pas, on évite donc de parler d’algorithme. On signalera que ce type de programme
est à éviter en informatique…

Premiers pas en algorithmique

19

Modéliser
par une fonction

Pour reprendre contact
Les réponses exactes sont :
1 a. A 1; 2 B - 2 ; 1 C 0 ; 2 D - 1; - 1 E 2 ; 0 .
b. Les abscisses de B, C et A sont : – 2 ; 0 et 1.
c. Les ordonnées de A, C et E sont : 2 ; 2 et 0.
2 1. Il représente la température en °C en fonction du temps en heure (h) sur une journée.
2. 4 °C, 0 °C et environ 3 °C.
3. 4 °C à 15 h environ et à 18 h. 0 °C à 8 h.
4. Entre 0 et 8 h.
3 c.
4 1. a. 2

b. f - 1 - 2

c. – 2 ; 2 et 3.

2. a. g est affine non linéaire.
b.
x

0

2

5/3

g(x)

–1

5

4

Activité 1. Tableau de données et graphiques
1. y - 28
2.
t(s)

2

3

5

8

22

y(n)

– 28

– 37

– 50

– 28

– 35

3. 2 fois.
4. a. Oui.
b. L’image de 2 par f est – 28. 2 et 8 sont des antécédents de – 28 par f.
c. Non : par exemple à y - 28 correspondent plusieurs valeurs de t.

Activité 2. Programme de calcul et formule
A. 1. 25 ; – 8.

20

1

2.
Nombre x

3

–8

1,6

1

Image de x

25

–8

20,8

19

3. a. f 1, 6 20 , 8 ; f - 2 10 ; f 5 31.
b. f x x 4 ¥ 3 4
B. 1. Choisir un nombre.
L’élever au carré.
Multiplier par 4.
Soustraire 23.
2. g 1 - 19 et g - 5 77
13 23 36 ; 36 4 9. Les deux antécédents de 13 par g sont 3 et – 3.

Activité 3. Des fonctions partout… ou presque
1. Il s’agit d’un tableau statistique.
Le poids n’est pas fonction de la taille ni la taille fonction du poids.
2. Formule donnant la fréquence en fonction de la tension.
3. Formule donnant la somme en dollars en fonction de celle en euros.
4. Fonction de 2 variables donnant l’IMC en fonction du poids et de la taille.
5. Fonction donnant le nombre de diviseurs d’un entier non nul (discret).
6. Fonction donnant la température en fonction de l’altitude (représentation contraire aux habitudes).

Activité 4. Nombres réels et intervalles
1. 2.
– 3,5

d

–2

–1

1 √2

0

7
3

a

b

3. a. 1ŒÈÎ0 ; 2 ˘˚

b. - p œ] - 2 ; - 1[

4. a. Vrai

b. Faux

c

7
c. 6 Œ ÈÍ ; ÍÈ
Î3
Î
c. Faux

d. - 3 œ] - ; - 3,5]
d. Vrai

Activité 5. Aire et fonction
2. a. b. x 2
x 3
x 7
x 6
x -1
x 4,5
x 0

A. 1. D

12
15
imp. x ⭐ 6
12
imp x ⭓ 0
15,75
0

3.

C

A

x

0

2

3

4,5

6



0

12

15

15,75

12

B

Chapitre 1. Modéliser par une fonction

21

4. a. x doit appartenir à [0 ; 6].
b. (A) oui pour x = 3 ; (B) pas obtenu ; (C) pas obtenu ; (D) oui pour x = 2 ou x = 3 ou x = 4,5 ou x = 6.
B. x -4 Æ x - 4 Æ x - 4 2 Æ - x - 4 2 Æ - x - 4 2 16
x Æ - x - 4 2 16
x

0

1

2

2,6

3

4

5

6

Aire de AMNP

0

7

12

14,04

15

16

15

12

y

16

10

1
0

1

2

3

4

5

6

x

Bilan (A) x 3 ou x 5. La courbe dit qu’il y a 2 solutions et le tableau les donne.
(B) Avec la courbe x ª 1,2.
(C) Cela n’est pas possible. On le voit sur la courbe ou avec la formule - x - 4 2 16 est forcément inférieur ou égal à 16.
(D) x Π2 ; 6 . On utilise la courbe et le tableau.
Pour (A), (B) et (C) on peut aussi remonter le programme de calcul.
Le tableau ne donne que quelques valeurs mais elles sont exactes.
La courbe donne f x pour toutes les valeurs de x de [0 ; 6] mais ce sont des valeurs approchées.
Le programme de calcul ou la formule permettent de faire des calculs exacts mais sont plus difficiles à manipuler.

Activité 6. Relier les points ?
a. La fonction donne le prix en euros en fonction du nombre de places. La variable est le nombre de places.
C’est un entier naturel : on choisit donc le premier graphique non relié.
b. La fonction donne la température en degrés Celsius (°C), le 8 décembre 2009, en fonction de l’heure. La variable est
l’heure.
C’est un nombre réel de [0 ; 22] : on choisit le second graphique relié.

Activité 7. Ma calculatrice a de la mémoire
1. Pour x 2,1 on a tapé sur 32 touches (y compris « entrée »).
Pour x 3,141759682 sur 80 touches.
2. a. Sur 25 touches en tout.
b. Sur 33 touches en tout.
3. Dans le premier cas, on a économisé 7 touches.
Dans le second cas, on a économisé 47 touches.

22

TP 1. Pour une aire égale à 3 cm2
1.

O

M1

M2

A

N2
N1
B

2.
OM

1

2

3

4

5

6

BN

1

2

3

4

5

6

ON

5

4

3

2

1

0



2,5

4

4,5

4

2,5

0

3. x Π0 ; 6 ; ON 6 - x ; ire OMN

x 6 - x
.
2

x 6 - x
; est définie sur [0, 6].
2
c. On doit les relier : x est un réel de [0 ; 6].

4. a. x

d.

y

1

0
0

1 1,25

4,75

x

5. Placer M à environ 1,25 ou 4,75 cm de O.

TP 2. Fabriquer une boîte suffisamment grande
b. OK

2. a. b. Non : AM Π0,5 .

3. a. B2 : 10 - 2 * A 2

D2 : A 2

C 2 : B 2 Ÿ 2 E2 : C 2 * D 2

3. b. OK

4. Par exemple x 1,5

A. 1. a. OK
B. 1. et 2. : OK

5. a. x AM

v x 10 - 2 x 2 ¥ x avec x Œ 0 ; 5

C. 3. a. 2 antécédents

b. x 2 et x ª 1,4

b. v x
72
c. x Œ] 1,4 ; 2 [

Chapitre 1. Modéliser par une fonction

23

TP 3. Estimer la profondeur d’un puits
A. 1. 5 m
2. p 5 t 2 avec p profondeur en m et t temps compté en s.
3. Pour t = 2 s, p = 20 m et pour t = 3 s, p = 45 m.
B. 1. g définie sur [ 0 ; [ par g : p a t

p
p

4,9 330

2. e. Pour 1 s, environ 4,8 m ; pour 2 s, environ 18,5 m ; pour 3 s, environ 40,6 m.

TP 4. Comparer des aires
A. Voir fichiers sur le site www.didiermathx.com.
B. 1. x Π0 ; 4

GBA
45 ° donc GEF rectangle isocèle en E.
2. a. GEF rectangle en E car EF // AB et AB ^ AD et GFE
AB EF ¥ AE 16 - x ¥ x 1
EF AG - AE 8 - x. Donc x

x 16 - x
2
2
2
8 4 ¥ 4
24. Comme ABCD ABFE EFCD
b. ABCD
2
ABCD
ABFE EFCD € ABFE
2
c. 12 a un seul antécédent par f : f 8 - 2 10 12 , c’est 8 - 2 10 8 - 2 10 ª 1,68.





On déduit que 8 - 2 10 est l’unique antécédent de 12 par f et donc la valeur de x pour laquelle les trapèzes ABFE et
EFCD ont la même aire.

TP 5. Faire le point sur la réduction graphique de f(x) = k
2. a. f 3 3 ; f 4 2 ; f 5 - 1.
Pour x 3, f x 2. Pour x 4, f x 2. Pour x 5, f x 2.
b. f x 2 signifie que le point de la courbe qui a pour abscisse x a son ordonnée égale à 2.
c.

y

2
1
–2 –1 0

1

4

5

x

d. Il y a 4 valeurs de x pour les f x 2 ; 4 ; 1 ; – 1 et – 1,8 environ.
3. Pour trouver tous les nombres tels que f x 2 :
– je place 2 sur l’axe des ordonnées,
– je repère tous les points de la courbe d’ordonnée égale à 2,
– je lis les abscisses de ces points : ce sont les solutions.

TP 6. Un tour de vis
1. On mesure L 57 et L1 ª 35. Donc L ⭐ 60 et
2.
L en mm
L1 en mm (à 0,1 près)

24

2
L 38. La vis n’est pas conforme.
3

8

18

28

48

60

70

80

90

5,3

12

18,7

32

40

43,3

46,7

50

3. a.

L1

50

17 ≈
10

0

10

25

90

L

2
1
L et si L Œ] 60 ; 100 ], f L L 20
3
3
Sur [8 ; 60] f est une fonction linéaire et sur ]60 ; 100] f est une fonction affine.
On déduit le tracé de f : il est composé de segments de droites.
b. Si L Œ[ 8 ; 60 ] , f L

4. a. D’après la figure : longueur filetée d’une vis de 25 mm = 17 mm environ, celle d’une vis de 50 mm = 90 mm.
50
b. 25 Π8 ; 60 et f 25
soit environ 16,7 mm.
3
1
1
L 20 50 € L 30 € L 90 mm.
3
3

TP 7. D’un algorithme de calcul à une fonction
A. 1. n, a, b et c.
2. Avec le nombre 2 :
n

a

b

c

2

6

12

16

Avec le nombre – 6 :
n

a

b

c

–6

–2

12

16

B. 2. a. Conjecture : le résultat semble être un carré parfait.
b.
n

a

b

c

x

x+4

x(x + 4)

x(x + 4) + 4

c. x x 4 4 x 2 4 x 4 x 2 2
Pour aller plus loin
1. calc s’applique à la variable n. Son image est c.

Chapitre 1. Modéliser par une fonction

25

Exercices
SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE

1 a. 32

b. 18

2 a. 5

b. 8

3 a. 4

b. 3

-1
4 a.

b.

5 a. 1

b. – 1

6 a. 399

b. 899

4

2. Oui.

26 À 5 : on associe 1 et 5.
À 12 : on associe 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
On ne définit pas une fonction.

5
4

27 a. 6 est l’image de 3 par f.
b. 3 est antécédent de 6 par f.
c. 3 a pour image 6 par f.
d. 6 a pour antécédent 3 par f.

7 9 x2 - 4

28 a. – 3 est l’image de 5 par f.

8 2 x2 6 x 4

b. 5 est antécédent de – 3 par f.

9 2 x2 3 x 1

c. 5 a pour image – 3 par f.
d. – 3 a pour antécédent 5 par f.

10 4.

11

12 1

13 Vrai

29 Voir corrigé en fin de manuel.

14 Faux

15 2

A 75
30 1. 5 a

1
3

17 0

16

7

18 La rouge car f 1 3.

19 1. 58 cm à la naissance : plus grand que la
« normale ». 65 cm à 9 mois : plus petit que la « normale ».

B 225
5a

B 36.
–2a

2. A x 3 x 2 B x 3 x 2 9 x 2 .

2. Demander un nombre ; multiplier par – 1 et élever
au carré.

32 Voir corrigé en fin de manuel.

2. 70 cm.
3. Entre 8 et 9 mois.
4. On peut remplacer « dépend de » par « est fonction
de » dans la phrase b.

20 Dans les phrases a, c et d.
21 Non.

33 1. h : x a x x 3
2. h 0 0 h 3 18 h - 3 0
34 a. f 1 5 f - 1 11 f 2 8
b. f 1 6 f - 1 18 f 2 3
c. f 1

22 Voir corrigé en fin de manuel.
23 2. a. L ¥ l 8

A 12
–2a

31 1. Demander un nombre ; l’élever au carré ; multiplier par – 1.

ENTRAÎNEMENT

8
b. Pour l Œ˘˚ 0 ; 8 ˘˚ , L
l

24 BC2 AC2 - 16
Celle qui à AC2 associe BC2 :
x a x 16 définie sur ] 0 ; [ .
Celle qui à AC associe BC :
x a x 2 16 définie sur ] 0 ; [ .
Celle qui à BC associe AC :
x a x 2 - 16 définie sur ] 4 ; [ .

26

25 1. À 13, on associe 1 ; à 5, on associe 2 et à 21,
on associe 0.

1
2

d. f 1 8

3
7
13
f - 1 2 f 2
2
f - 1

3
4

f 2

3

1
1 f 2 8 - 4 2
35 f - 2 22 f

36 1. f 1 4 f - 5 - 14
f

41 74

f

2. f x 1 € x 0
f x - 5 € x - 2
1
1
f x € x 4
4

7 3

7 1

37 a. Demander un nombre ; l’élever au carré ;
ajouter 1.
b. Demander un nombre ; ajouter 1 ; élever au carré.
c. Demander un nombre ; soustraire 2 ; élever au carré ;
ajouter 3.
d. Demander un nombre ; ajouter 5 ; diviser par 2.
5
e. Demander un nombre ; ajouter .
2
f. Demander un nombre ; ajouter 2 ; diviser par le
nombre donné au départ.

38 1. a. T ⭐ 900
b. Résoudre f T 440
c. f T ⭓ 20
2. Comme f T 20 T et f T 440

44 1. V ¥ t 1
2. On peut agir sur la vitesse.
3. Pour représenter graphiquement les résultats on met
v en abscisse et t en ordonnée.
1
4. t f V où f V
V

45
Prix en 
8,0

4,0

0,8

alors 20 T 440 € T 484 .

0

39 1.
x

2

3,5

4

x

f(x)

8

14

16

4x

x

2

3,5

4

x

f(x)

4

12,25

16

x2

x

2

3,5

6

x

f(x)

8

11

16

2x + 4

2. a.

b.

40 1. a. 3

b. 8

c. 64

3. On observe que les coefficients résultats sont des
multiples de 5.
4. n 5 2 - n 2 n 5 - n n 5 n 5 2 n 5
2 n 5 entier donc n 5 2 - n 2 multiple de 5.

41 1. 1/ 2 * B1

3

4

5

6

7

8

10 Nb.
de kiwis

9

46 Voir corrigé en fin de manuel.
47 – 1,5 : a comme antécédent – 3,5.
4 : n’a pas d’antécédent.
1 : a comme antécédents – 6 ; – 2 et 3,8 (environ).
3,5 : a comme antécédent 3.
0 : a comme antécédents – 5,5 ; – 2,4 et 4.
48 a.
x

–4

–2

0

1

2

f(x)

2

4

3

1

–2

x

–4

–2

0

2

3

f(x)

–1

0

1

1

–2

b.

49 1.
V
30

2. Dans C2 1/ 2 * C1

26
25

Dans E2 1/ 2 * E1
3. On obtient le tableau de valeurs de f.
4. 1/ 2 * B1
nRT
42 a. V
P
T2
c. L g ¥
4 p2
43 a. Le côté du carré.

2

On ne relie pas ces points car le nombre de kiwis est un
entier.

d. 55

2. Demander un nombre ; ajouter 5 ; élever au carré ;
retrancher le carré du nombre donné, afficher le résultat.

1

U
b. I
R
at 2
d. r
4 p2

b. La durée d’utilisation du fer.
c. La hauteur de la pyramide.

20
16
15
10
5
0

70 80 100
76 83

120

140

160

180

200 P

Chapitre 1. Modéliser par une fonction

27

2. a. On doit relier les points, le volume pouvant
prendre toutes les valeurs de l’intervalle [76 ; 200].
b. Voir figure.
3. a. 16 environ
b. 86 environ

Pour une pression de 140 cm de mercure
le volume est de 16 cm3 environ.
C’est pour une pression de 83 cm de mercure environ que le volume est de 26 cm3.

50 1. Le graphique représente la fonction d, distance

3. f x ⭐ 0 si et seulement si x Œ[ 0 ; 2 ] » [ 8 ; 12 ] .

56 1.
x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

g(x) 0 152 208 216 224 280 432 728 1 216
2. a.
b. y

balle-capteur en fonction de la variable temps. d est
définie sur l’intervalle [0 ; 0,6].
2. a. d 0,3 ª 0,45
b. Après 0,3 secondes, la balle a parcouru 45 cm.
Sur la chronophotographie, il suffit d’observer le
11e cliché, le 1er correspondant à 0 s le 2e à 0,03 s, etc.
Il est face à 0,54 ce qui correspond à une distance
parcourue de 1 – 0,54 soit 0,46 m, soit 46 cm.

g

3. Au bout de 0,32 s. Il s’agit de déterminer l’antécédent par d de 0,5.
4. Pour t ⭓ 0,45 s, d t 1 m. La balle a touché le sol.

51
Images ou antécédents

f(x) = y

Courbe C

f(3) = – 1

D(3 ; – 1) 苸 C

f(2) = 5

E(2 ; 5) 苸 C

– 2 est l’image de 1

f(1) = – 2

A(1 ; – 2) 苸 C

– 5 est un antécédent de 3

f(– 5) = 3

F(– 5 ; 3) 苸 C

f(0) = 4

G(0 ; 4) 苸 C

f(– 2) = 4

B(– 2 ; 4) 苸 C

3 a pour image – 1
2 est un antécédent de 5

0 est un antécédent de 4
– 2 a pour image 4

52 1. f - 2 6
3. f 2 - 3

2. f 0 2

5. f 0 0

6. f 3 0 et f - 2 0

4. f 3 5

53 1. f 1 - 1 donc A 1; - 1 Πf
2. f 2 - 1 donc B 2 ; - 1
3. f 0 1 f coupe O y au point C 0 ; 1
5
54 1. f 6 1. Oui, est une autre valeur de x telle
2

que f x 1.
7
2. a. f x 2 si et seulement si x .
2
b. f x - 2 si et seulement si x Π1; 12 .
c. f x 0 si et seulement si x Π2 ; 8 .
3. Les réels qui n’ont qu’un seul antécédent par f sont
– 3 et 2.

55 1. f 4 ⭓ 1. Les valeurs de x, telles que f x ⭓1,
5
sont celles de ÍÈ ; 6˘˙ .
Î2 ˚
2. f x - 2 si et seulement si x Œ] 0 ; 1[.

28

f(6)
g(6)

0
0 1 2

4

6

8

10

12

14

16 x

3. a. f x 52 x .
b. Voir graphique.
c. g 6 f 6 . C’est donc l’artisan le moins cher.
d. Pour 4 m3 et 14 m3 les prix sont les mêmes chez les
deux fournisseurs : f(4) = g(4) = 208 et f(14) = g(14) = 728.

57 1. AM Π0 ; 5
2. Quand AM 4 l’aire de AMNP vaut 12.
3. Non : elle vaut 2 ¥ 21 exactement.
4. a. f : x a x 25 - x 2
La variable est x et l’ensemble de définition [0 ; 5].
b. f 3 3 16 12
c. f x 0 si et seulement si x 0 ou x 5.
d. AMNP a une aire nulle si et seulement si M est en A
ou en B.
Pour aller plus loin
On applique le théorème de Pythagore dans AMN
rectangle en M : MN2 AN2 - AM2 25 - AM2
donc l’aire de AMNP est : AM ¥ MN AM ¥ 25 - AM2 .

58 Voir corrigé en fin de manuel.
59 1.

x
MN x

(Thalès) donc MN
62 1.

x

–3

–1

0

1

3

f(x)

–6

2

3

2

–6

2. Élever au carré, puis multiplier par – 1 et enfin ajouter 3.
3. f x - x 2 3
C = 28 cm

R

P

c. Ce sont les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 0.
x2
F1 : y - 3 x - 7
F2 : y
2
2
F3 : x ¥ y 4
F4 : x y 2 25

N

A

3. a. Ce sont les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 18.
b. ce sont les ordonnées des points de la courbe d’abscisses 4 et 11.

T = 9 cm

M

AM en cm

b. Avec le tableau : f 4 14,667 et f 11 14,667.
c. Avec la courbe : 0 et 15.

60 1.

2.

5 15
3
x
x2
f x ¥ 15 - x 5 x 3
3
2. a. La courbe donne le nombre d’antécédents et le
tableau pour leur valeur : 6 et 9.

2

B

3

5

7

8

BM en cm

8

7

5

3

2

T

6

9

15

21

24

R

32

28

20

12

8

63
A

B

10

F2
F1

3. p1 x 3 x et p2 x 4 10 - x - 4 x 40
4.
40

p2

F4
J
p1

F3
–7

I

7

F3

10

1

5,7

5. a. Environ 5,7

61 1. a.

0

10

b. 3 x - 4 x 40 donc x

AM

1

2

3

4

MP

3

2

1

0

40
.
7

b. MBP rectangle en M et isocèle ( $
B 45 °) donc
MP MB 4 - AM.
3. a. Variable AM, donc f 0 ; 4 .
b. f x x 4 - x
4. a. L’aire de AMPN est égale à 3 cm2 si AM 1 ou
AM 3.
b. L’aire de AMPN est égale à 2 cm2 si AM ª 0,6 ou
AM ª 3,4 .

– 10

D

64 a. V

b. F

65 a. F

b. V

66 1. V
67 a. F

C

c. V

d. V

2. F

3. F

4. V

b. V

c. V

e. F

Chapitre 1. Modéliser par une fonction

29

c. Bénéfice positif si q Œ 0,7 ; 4 » 6,8 ou nul.

68 Cette courbe ne représente pas une fonction !
69 Déterminer l’image de – 5 par f
Déterminer l’image de 7 par f
Déterminer les antécédents de 3 par f

89 1.
Par exemple

x

0

2

5

8

11

13

15

18

20

f(x) 0 488 875 992 1 001 1 027 1 125 1 512 2 000

Travail personnel
Pour les exercices 70 à 83 : voir corrigés en fin de
manuel.

2. 3.

Milliers d’euros

APPROFONDISSEMENT

84 1. f 9 2 , f 5 0 ; f 2 et f - 1 n’existent pas et
f 8 3 .

1 200

2. Choisir un nombre / Soustraire 5 / Prendre la racine
carrée du résultat (quand c’est possible).
3. Si x Œ[ 5 ; [, x - 5 est positif ou nul.
4. ] - ; 10 ]

85
Entrée

Affichage

1,2

il n’a pas d’image

– 0,4

il n’a pas d’image

–3

il n’a pas d’image

12

3

100
0 1 2

5

8

11 13 15
15,75

18 20

4. Pour que le coût de production reste inférieur à
1 200 000 €, il faut et il suffit que l’entreprise fabrique
un volume inférieur à 15,75 m3 (environ).
Pour aller plus loin

86 1. a. V b. F c. V

Pour x Π9 ; 11

2. V : 2 autres valeurs : une négative, une positive.

90 1.

3. V

h
R 4

donc R
3
h 12
1 2
1 h
V h p R h p
3
3 3
p 3
h
h
27

4 cm

4. F, par exemple f - 3 g - 3 .

87 1.

R

12 cm

n

2

4

5

9

13 16 24 25 36 49 50

d(n)

2

3

2

3

2

5

8

3

9

3



h

6

2. Les antécédents de 2 sont les nombres premiers.
Les antécédents de 3 sont les carrés de nombres premiers.

88 1. a. 340 milliers d’euros.
2. a.

b. 4 tonnes.
2. h Π0,12

Coût total (milliers d’euros)

V (en cm3)

350

340
328

300

270

300

250
200
140



100

88

50 20
46
0
0 1 2

140
120



100

32 p

80
60

3

4

5 6 7 8
Nombre de tonnes

b. R 2 - 2 100 - 88 12 donc bénéfice de 12 000 €.

30

180
160

200
150

200

40
20
0

9,5
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 h (en cm)

2

3. Le volume du verre plein est de 64 p.
Le volume de liquide contenu dans le verre à moitié
plein est 32 p.
La hauteur du liquide est alors d’environ 9,5 cm.

3. Si x ⭐ 0 alors h x - x 1 sinon h x 2 x 1

96 1. a b ab - a - b 2 b ab b a 2
2. b a 2 12. Comme a 2
2 on a :
ou a 2 3 et b 4 soit a 1 et b 4
ou a 2 4 et b 3 soit a 2 et b 3
ou a 2 6 et b 2 soit a 4 et b 2
ou a 2 12 et b 1 soit a 10 et b 1.
Les antécédents de 12 sont (1 ; 4), (2 ; 3), (4 ; 2) et (10 ; 1).

91 1. OK.
2. Tous les entiers obtenus sont pairs.
3. a. n 2 - n.
b. n2 est le nombre total de cases.
On retire les n cases de la diagonale
(voir figure).
Par symétrie, il reste un nombre
pair de cases n 2 - n.

97 ABCD 16 cm2

3 4 - x
5x
et DCE
2
2
5 x 3 4 - x
a. On résout
8 soit x 2.

2
2
5 x 3 4 - x
b. On résout

0,6 ¥ 16 soit x 3,6.
2
2
Si AE x, ABE

92 Elle calcule le volume d’un cylindre de rayon r et
de hauteur h.
93 1. VARIABLES : , L, S nombres
ENTRÉES : Saisir , L
TRAITEMENT :
S prend la valeur ¥ L
SORTIE : Afficher S

98 1. Si x est le nombre de tee-shirts vendus, le
bénéfice est de 2,7x – 300 en euros.
Or 2,7x - 300 ⭓ 3 000 € x ⭓ 1 223 (x entier).
L’association peut faire un bénéfice d’au moins 3 000 €
en vendant au moins 1 223 tee-shirts.

94 1. VARIABLES : T, P, I nombres
ENTRÉES : Saisir T, P
TRAITEMENT :
I prend la valeur P / T 2
SORTIE :
Si I 20 Alors
Afficher « maigreur »
Sinon
Si I
25 Alors
Afficher « surcharge pondérale »
Sinon
Afficher « poids normal »
FinSi
FinSi

2. Non ! 1 223 > 550.
3. On peut vendre le tee-shirt plus cher : 8,50 € pièce
au moins.

99 a. 24

b. 65

c. 55

d. 5 150 e. 5 050

100 English Corner
1.
y

95 1.
2.

y
d2

J
O

x

I

J

O

x

I

2. The domain of f is - 3 ; 6 .
f x 1 € x - 2 or x 1 or x 4,75

d1

f x 3 € x - 3 or x Œ 2 ; 4
3. f 0 0 ; f

21 - 1 ; f - 1 21 ; f 2

2
.
2 -1

Chapitre 1. Modéliser par une fonction

31

2

Sens de variation
Fonctions affines

Pour reprendre contact
1 1. a. f (1) =2 ; f (– 1)= 0 ; f (0) = 3.
b. Les antécédents de 3 par f sont 0 et 2.
2. a. Négatif b. Positif

c. [1 ; 4].

2 a. B est au-dessus de A.

b. B est en-dessous de A.

3 1. L’antécédent est 3.
2. Pour f, le coefficient directeur est – 2 ; pour g, c’est 3.
3. Pour f, l’ordonnée à l’origine est 1 ; pour g, c’est – 4.
4 a. Oui

b. Oui

c. Non : multiplier par un négatif change le sens de l’inégalité.

d. Non

e. Oui

f. Non

Activité 1. Le lancer d’un ballon-sonde
1. La courbe verte représente l’altitude (en m) en fonction du temps (en min).
La courbe rose représente la température (en °C) en fonction du temps (en min).
2. a. Au cours du temps, c’est-à-dire quand le temps augmente, l’altitude augmente puis elle diminue.
b. L’altitude maximale atteinte est 30 000 m ; elle est atteinte au bout de 90 min, instant où le ballon éclate.
3. a. Au sens empirique, la température est croissante sur [60 ; 90] et sur [100 ; 135], décroissante sur [0 ; 30) et [90 ; 100],
constante sur [30 ; 60].
b. La température maximale est 20 °C et la température minimale est – 50 °C.
4. La température est négative entre 8 min (environ) et 110 min.

Activité 2. Variations d’une aire
1. Voir le site Internet www.didiermathx.com
2.
x

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

0*

2,45

6.32

10,39

13,86

15,81

14,7

0*

* Le logiciel affiche « non définie » pour l’aire considérant que le triangle n’existe pas.

3. Quand x augmente de 0 à 7, l’aire semble d’abord augmenter puis ensuite diminuer.
L’aire maximale semble être 15,91 m2 (elle ne figure donc pas dans le tableau) atteinte pour des valeurs de x comprises
entre 5,2 et 5,3 m.

32

4. On place les points connus par le tableau. En tenant compte de l’évolution de l’aire et du maximum constatés expérimentalement sur le logiciel, on peut relier les points.
y
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 x

Activité 3. L’ironman
1. a. Cette portion de parcours enchaîne une descente, une montée, une portion de plat, une nouvelle descente, une
montée. Elle se poursuivra par une portion de plat.
b. Quand la distance parcourue augmente de 41,1 km à 84,2 km, l’altitude diminue puis augmente, reste constante,
diminue et augmente.
2.
Altitude
(en m)

401

1080

1080

180
Distance
en km 0

41,1
49,8
Tourrettes Pont du Loup

1100

1050

75,3
Caussols

77,2
Carrefour
D12/D112

79,2
Carrefour
D12/D5

84,2
Col
de la Sine

3. Dans le tableau, l’altitude maximale est 1 100 m. Il n’existe pas de point d’altitude supérieure sur le parcours ; ceci se
justifie grâce aux variations connues de l’altitude entre deux points donnés par le tableau.
4. De même, l’altitude minimale est 180 m.

Activité 4. Sens de variation d’une fonction affine
1. Voir le site Internet www.didiermathx.com
2. a. Quand b varie, le point d’intersection de la droite et de l’axe des ordonnées varie.
b. L’ordonnée semble être b.
3. a. Quand a varie, la direction de la droite varie.
b. f semble être croissante pour a > 0 et décroissante pour a < 0.
4. Pour b = 0, la droite passe par l’origine du repère. On a f(x) = ax, f est une fonction linéaire.
Pour a = 0, la droite est parallèle à l’axe des abscisses. On a f (x) = b, f est une fonction constante.

Chapitre 2. Sens de variation. Fonctions affines

33

TP 1. La fourmi paresseuse
A. 1. x appartient à [0 ; 3].
2. MB¢N est un triangle rectangle en B¢.
B¢N = x et MB¢ = 2 donc MN = 4 x 2 .
3. a. BN¢ = x et A¢B¢ = 3 donc A¢N = 3 – x.
b. NA¢S est un triangle rectangle en A¢.



c. NS = 1, 52 3 - x



2





2

4. L(x) = MN + NS = 4 x 2 2 , 25 3 - x
5. a. On trace la courbe sur la calculatrice et on utilise l’outil Trace.

La valeur minimale semble être environ 4,6 atteinte pour x compris entre environ 1,3 et 2,1.
Avec la table de valeurs, on peut conjecturer une longueur minimale d’environ 4,6 pour x 1, 7 (à 0,1 près).

b. La fourmi devrait donc passer par le point N tel que BN 1, 7 .
B. 2. ab. Figure réduite :
D

A

C

B
M

N




S

D’

C’

Le plus court chemin sur ce patron de M à S est le segment [MS]. On en déduit la position de N, point d’intersection de
[MS] et [A¢B¢] sur le patron.
B¢N B¢M
x
2 4

.

soit
3. Par le théorème de Thalès dans les triangles A¢SN et NB¢M :
A
¢
N
A
¢
S
3
x
1
,5 3
12
On a donc 3x = 12 – 4x d’où x =
ª 1, 7 .
7

34

TP 2. Sans calculatrice ni logiciel
2.
x

0

2

4

5

6

V(x)

0

16

32

25

0

3. Réponse c.
4. Les courbes b et c sont cohérentes avec le sens de variation de V.
V 5 - V 4
- 25 et
- 7.
6-5
5- 4
Donc sur [4 ; 6], on ne peut pas relier les points par un segment de droite.
On choisit donc la courbe c.

Mais

V 6 - V 5

TP 3. Une aire maximale en autonomie
A. Voir le site Internet www.didiermathx.com
B. On conjecture que l’aire est maximale quand P est confondu avec b et que ce maximum est 16.
C. 1. Soit K le point d’intersection de (MP) et (AC) et K¢ son symétrique par rapport à E. Par symétrie centrale, on a
aire (MEK) = aire (NEK¢) d’où aire (MNP) = aire (KPNK¢). Donc aire (MNP) ≤ aire (APNC).
y
8

D

C

7
6

K’

M

5
E

4
3

Aire MPN = 10

2

N

K
1
A
-1

0

B
1

P

2

3

4

x

2. Aire (APNC) 聿 aire (ABC) donc aire (MNP) 聿 aire (ABC).
De plus si P est en B, alors N est en C et M en A, donc le triangle MNP est confondu avec le triangle ABC. On en déduit
que l’aire maximale est celle du triangle ABC.

TP 4. Algorithmique : tracé de courbe point par point
A. Le tracé de droite paraît mieux correspondre puisque f est définie sur tout l’intervalle [– 1 ; 5].
B. 1. a.
À la calculatrice, f (0) = 0 ; f (0,5) = 2,4875 ; f (1) = 4,899 ; f (1,5) = 7,1545.
L’écart entre deux valeurs consécutives de x est 0,5.
On placera, en arrondissant les ordonnées au dixième les points de coordonnées (0 ; 0), (0,5 ; 2,5), (1 ; 4,9) et (1,5 ; 7,2).
b. Avec le même pas on pourra continuer jusqu’à x = 5 et placer les points supplémentaires de coordonnées (2 ; 9,2),
(2,5 ; 10,8) , (3 ; 12), (3,5 ; 12,5) , (4 ; 12), (4,5 ; 9,8), (5 ; 0).
2. a. Les 6 premiers points obtenus, en arrondissant les ordonnées au dixième, sont les points de coordonnées (0 ; 0),
(0,2 ; 1) ; (0,4 ; 2), (0,6 ; 3), (0,8 ; 3,9), (1 ; 4,9).
Le 13e point serait le point de coordonnées (2,4 ; 10,5). Le dernier point serait le point de coordonnées (5 ; 0).

Chapitre 2. Sens de variation. Fonctions affines

35

b. Avec un pas de 0,03, le 13e point serait le point de coordonnées (0,36 ; 1,8) et le dernier point aurait pour coordonnées (4,98 ; 2,2) (car 0,03 ¥ 166 = 4,98 et 0,03 ¥ 167 5 , 01).
3. Selon le pas, il est possible que le dernier pixel allumé ne corresponde pas au point de coordonnées (5 ; 0) et que
lorsque la courbe obtenue en reliant les points placés s’arrête « avant » le point de coordonnées (5 ; 0).
C. 1. La première valeur de x est 0. On passe à la suivante en ajoutant p, et encore à la suivante en ajoutant à nouveau
p. On continue ainsi tant que la valeur trouvée reste inférieure ou égale à 5.
2. En langage naturel :
Demander le pas p à l’utilisateur.
Donner à x la valeur 0.
Tant que x ≤ 5 :
– on place le point de coordonnées (x, f (x)),
– on ajoute p à la valeur de x pour obtenir la nouvelle valeur de x.

Exercice
SANS CRAYON, SANS CALCULATRICE
b. -

2 a. – 10

b.

3 a. 108

b. 10 -4

3

19 1. La fonction h est strictement croissante du
1/11/2008 à 11 h au 2/11/2008 à 2 h, puis le 2/11/2008 :
elle est strictement décroissante de 2 h à 3 h, strictement
croissante de 3 h à 9 h et strictement décroissante de
9 h à 11 h.

10
3

13
1 a.

37
6

2. Le maximum de h est de 4,3 environ. La hauteur
d’eau maximale atteinte lors de la crue de l’Allier en
2008 entre le 1/11 à 11 h et le 2/11 à 9 h est de 4,3 m.

4 15 cm
5 8 cm

3. le 1/11/2008 à 19 h 00 ; le 2/11/2008 à 4 h ;
le 2/11/2008 entre 4 h et 5 h.

5
6 I ( ; 1)

4. On l’indiquera par une nouvelle droite horizontale
passant par l’ordonnée 4,3.

2

7 22 euros
8 Environ 25 % de 120 € soit un quart de 120 € donc
30 €.

10 Le point de coordonnées (– 1 ; 3)
11 Oui
3
12 2

2. Sur [10 ; 15] la vitesse est constante. Elle vaut 5 km.h–1
3. La vitesse est strictement croissante sur [0 ; 2,5],
strictement décroissante sur [2,5 ; 10] puis constante
sur [10 ; 15].

Travail à faire avec un collègue de physique (par
exemple on n’indique pas dans cet énoncé de
référentiel).

15 ? = 2

22 Il s’agit de la fonction qui associe le nombre
d’ordinateurs vendus aux années allant de 1990 à 2000.

16 a = 7
17 a. f (5) est négatif.

36

2. 260 N.m avec overboost, 240 N.m sans.

Pour aller plus loin
2

14 (2x – 5)(2x + 5)

18 x = 4

20 1. 110 chevaux à 4 000 tr/min.
21 1. Sur [0 ; 2,5] la vitesse augmente ; sur [2,5 ; 10]
elle diminue.

9 f (– 4) = 49

13 15 x - 6 x

ENTRAINEMENT

b. f (0) est positif.

23 Voir corrigé en fin de manuel.
24 1. a. Cette fonction est strictement croissante sur
[0 ; 6].

b. Son maximum est atteint pour x = 6. C’est l’aire d’un
triangle équilatéral de côté 6.
Son minimum vaut 0 pour x = 0.
2. a. Cette fonction est strictement décroissante sur
[0 ; 6]. Son maximum est atteint pour x = 0 : c’est l’aire
d’un carré de côté 6 donc 36 pour x = 0. Son minimum
est 0 atteint en x = 6.
b. Cette fonction est strictement décroissante sur [0 ; 6].
Son maximum est l’aire d’un triangle équilatéral de côté
6, atteint pour x = 0 ; son minimum est 0 atteint en x = 6.

2.
x

–5

26 1. 2. 3.

–3

B

–3

31

y

1
4

2

0
–1

1

3 x

32 1. a. 2 < 4 et g est strictement croissante sur
donc g(2) < g(4) car g conserve l’ordre.
b. – 2 < – 1 et g est strictement croissante sur donc
g(– 2) < g(– 1).
2. On a cette fois g(2) > g(4) et g(– 2) > g(– 1) car g renverse l’ordre.

33 1. Oui.
2. Non.
3.

y
4

4

f(x)

c. Cette fonction est strictement croissante sur [0 ; 6].
Son maximum est 36 atteint en x = 6 ; son minimum est
0 atteint en x = 0.

25 En rouge, la courbe représente l’aire de AMN (car
la fonction qui à AM associe l’aire de AMN est
strictement croissante)
En vert, la courbe représente l’aire de BNQ (car la
fonction qui à AM associe l’aire de BNQ est strictement
décroissante).
En bleu, la courbe représente l’aire de MNQC (par
élimination).

0
4

y

C
D

3

2

2
A

1
1

–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2

1

2

3

4

5

6

4

8

x

E

27 1. [0 ; 10]

–2

–1

0

2. f est strictement décroissante sur [0 ; 2] puis strictement croissante sur [2 ; 6] et strictement décroissante
sur [6 ; 10].

–1

3. De nombreuses courbes sont possibles.

–2

28 Voir corrigé en fin de manuel.
29 1. f est strictement croissante sur [– 5 ; 3], strictement décroissante sur [– 3 ; 1], strictement croissante
sur [ 1 ; 3 ] et strictement décroissante sur [3 ; 7].

1

2

x

34 a. f est strictement croissante sur [– 2 ; 1] donc
f(– 2) 聿 f(x) 聿 f(1) soit 2 聿 f (x) 聿 3.
b. f est strictement décroissante sur [1 ; 4] donc
f(1) 肁 f(x) 肁 f (4) soit 1 聿 f(x) 聿 3.

35 Voir corrigé en fin de manuel.

2.
x

–5

–3

1

3

3

7

3

f(x)
–4

0

–4

30 1. f est strictement croissante sur [– 5 ; 0] et
strictement décroissante sur [0 ; 4].

36 a. h(– 6) > h(0) car – 6 < 0 et h renverse l’ordre sur
]– ; 2].
b. On ne peut pas comparer h(4) et h(0) car h change
de sens de variation entre 0 et 4.
c. h(2) < h(4) car 2 < 4 et h conserve l’ordre sur [2 ; 5].
d. h(– 0,5) < h(– 100) car – 0,5 > – 100 et h renverse
l’ordre sur les négatifs.

Chapitre 2. Sens de variation. Fonctions affines

37

37 a. f(1) > f (3,6) car 1 < 3,6 et f renverse l’ordre sur
[1 ; + [.
b. f (– 5) < f(– 1) car – 5 < – 1 et f conserve l’ordre sur
]– ; 1].
c. On ne peut pas comparer f (– 1) et f (2) car f change
de variations entre – 1 et 2.
d. f(– 1) < f(1) car – 1 < 1 et f conserve l’ordre sur ]– ; 1].

43 1. Pour tout x réel, x² est positif ou nul donc x 2 ⭓ 0

et x² – 5 肁 – 5 c’est-à-dire f(x) 肁 – 5.

38 1.

2. 0 est un antécédent de – 5 car f(0) = – 5.
Le minimum de f sur est donc – 5 et il est atteint en x = 0.

44 Non. Montrer que g(t) ≥ 1 pour tout réel t ne suffit
pas à prouver que g admet 1 pour minimum.
Il faut en plus que 1 soit bien l’image d’un certain réel a
par g, ce qu’il n’a pas montré.
2. On a par exemple : f(0) = 0 et f (1) = – 1 mais f (2) = 4.

39 Exercice 27 : maximum : 4, minimum : – 5
Exercice 28 : maximum : 6, minimum : – 2
Exercice 29 : maximum : 3, minimum : – 4
Exercice 30 : maximum : 4, minimum : – 3
Exercice 31 : maximum : 3, minimum : – 1

40 Voir corrigé en fin de manuel.
41 1. La pyramide a pour base le triangle rectangle
FMP et pour hauteur FN = (10 – x).
1
FMP a pour aire :
x 10 - x donc le volume de la
2
pyramide est :





1 Ê1
1
x 10 - x ˆ 10 - x x ( 10 - x )2
¯
3 Ë2
6
2. a. D’après la représentation à la calculatrice on peut
conjecturer que V est strictement croissante sur [0 ; 3,3]
puis strictement décroissante sur [3,3 ; 10].

V x

b. Graphiquement il semble que le volume sera maximal pour x = 3,3.

42 1. B(x) = 1 000x – C(x) = 1 000x – x3 + 90x² – 2 500x

45 Pour tout x réel, (x + 4)² est positif ou nul donc
6 – (x + 4)²聿 6 c’est-à-dire h(x) ≤ 6 pour tout réel x.
De plus h(– 4) = 6 – 0² = 6.
On a donc : h(x) 聿 h(0) pour tout réel x. Par conséquent
6 est le maximum de h sur .
46 1.
x

–3

0

1

3

h(x)

3
1

1
–1

2. h(x) 聿 1 pour x appartenant à [0 ; 3]. Ceci se justifie
par le sens de variation de h.
3. h(x) > 1 pour x appartenant à [– 3 ; 0[ U ]3 ; 4] Ceci se
justifie à nouveau par le sens de variation de h.

47 1.
x



–1

b. Il semble qu’il faille fabriquer au minimum 25 articles
pour que B(x) soit positif, c’est-à-dire pour obtenir des
bénéfices.

1

2

+

0
f(x)
–4

– 2 000 = – x3 + 90x² – 1 500x – 2 000.
2. a. Il semble que 50 articles assurent le bénéfice maximal.

4

5

2. On observe à la calculatrice : il semble que f(2) = 0.
On le vérifie par le calcul : f(2) = 8 – 6 – 2 = 0.
Les valeurs de x telles que f(x) > 0 sont celles de ] 2 ; [ .
On justifie par le sens de variation de f.
Pour aller plus loin
[ 2 ; [ U {– 1} car f(– 1) = 0 donc 0 est aussi solution.

48 1. a. f semble décroissante.
b. Il semble que f(x) ≥ – 3 pour x appartenant à [– 3 ; 1].
2. f(0,5)= – 2,875. On s’aperçoit que f(0,5) > – 3 c’est-àdire f(0,5) > f(0).

38

On peut en conclure que f n’est pas strictement
décroissante.
La conjecture de la question b n’est en revanche pas
contredite par le calcul de f (0,5).

49 1. Il semble que f(x) 肁 3 pour x appartenant à [1 ; 5].
2.

53 1. x = 0 ; x = 4 ; x = 8 ; x = 12 ; x = 16.
2. a.
x

0

f(x) 2 2

2

4

6

8

10

12

14

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

4

b.
x

0
2 2

6

2 2

8

10

2 2

12

14 16

2 2

2 2

f(x)
2

2

2

2

54 1. et 2.
a. a = 3 et b = 4 ; fonction strictement croissante sur .
b. a = 2 et b = – 6 ; fonction strictement croissante sur .

On remarque que f n’est pas strictement croissante, elle
change de variations sur [0 ; 3].
En particulier, f(1,5) ª 2 , 93 donc f (1,5) < 3.
La conjecture faite à la question 1 est donc fausse.

c. a = 1 et b = 5 ; fonction strictement croissante sur .

50 1. Sa recette sera maximale pour un billet à
7 euros, sa recette sera alors de 10 801 euros pour
1 543 spectateurs (10 801/7).

f. a = 0 et b = 6 ; fonction strictement constante sur .

2. Réponse c. Si le billet est à 0 euros, elle a une recette
de – 3 899 euros : elle perd donc 3 899 euros.
3. Pour les valeurs de x comprises entre 1 et 13.
Elle doit fixer le prix du billet dans une fourchette de 1 à
13 euros si elle souhaite faire un bénéfice.

2. a. AM sera minimum pour x = 0 (distance d’un point
à une droite) il vaut alors 3.
b. f est strictement décroissante sur [– 4 ; 0] puis strictement croissante sur [0 ; 9].
3. f (0) = 3 ; f(– 4) = 5 ; f(9) = 90 .
–4

e. a = – 1 et b = 0 ; fonction strictement décroissante
sur .

55 1 et 2.
a. a = – 1 et b = 3 ; fonction strictement décroissante
sur .
b. a = 2/3 et b = – 5 ; fonction strictement croissante sur .
c. a = 1/4 et b = – 3/4 ; fonction strictement croissante
sur .
d. a = 1/2 et b = 1 ; fonction strictement croissante sur .

51 1. x appartient à [– 4 ; 9].

x

d. a = 1 et b = 0 ; fonction strictement croissante sur .

0

f. a = 2 et b = 1 ; fonction strictement croissante sur .

56 1. a. Dx = 4 – 1 = 3
b. Dy = 5 – 2 = 3
3
c. a = = 1
3
2. f(x) = 1x + b. Or f(1) = 2 donc 2 = 1 + b d’où b = 1 et
f(x) = x + 1.

9

5

e. a = – 1/4 et b = 0 ; fonction strictement décroissante
sur .

90

h(x)
3

57 a. Dx = 1 – 0 = 1 ; Dy = 3 – 2 = 1.
1
a= =1
1
f(x) = 1x + b. Or f (1) = 3 donc 3 = 1 + b d’où b = 2 et
f(x) = x + 2

52 1. x appartient à [0 ; 4].
2. f est strictement croissante sur I.
3. a. CM¢ = 4 (rayon du quart de cercle).
b. CM = 16 x 2 et f (x) = 16 x 2 – 4.

f (x) 0 0,03 0,123 0,272 0,472 0,717 1 1,315 1,656

b. Dx = 3 – 2 = 1 ; Dy = 6 – 0 = 6.
6
a= =6
1
f(x) = 6x + b or f(2) = 0 donc 0 = 12 + b d’où b = – 12 et
f(x) = 6x – 12.

5. MM¢ 肁 1 lorsque f (x) 肁 1 c’est-à-dire pour x 肁 3 car
f (3) = 1 et f est strictement croissante sur I.

58 Voir la solution de l’exercice résolu 7 page 63 du
manuel.

4.
x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

Chapitre 2. Sens de variation. Fonctions affines

39

59 Voir correction de l’exercice 54 de ce chapitre.
60 1. xA = 1 ; yA = – 1 ; xB = 3 ; yB = 3.

1,5x – 3 est strictement positif pour x > 2 ; négatif sinon.
– x + 3 est strictement positif pour x < 3 ; négatif sinon.
2. a. Pour x = 2,5 par exemple.

2. L’accroissement des x est 3 – 1 = 2.
L’accroissement des y est 3 – (– 1) = 4.
4
3. a = 2
2
4. b = – 3
5. f (x) = 2x – 3

b. 2 ¥ 2,5 + 4 = 9 > 0
1,5 ¥ 2,5 – 3 = 0,75 > 0
– 2,5 + 3 = 0,5 > 0

66 a. Oui

b. Non

c. Oui

d. Non

67 f(0) = 0 ; f(0,5) = 0 , 5 et f(1) = 1.

61 d1 : f(x) = x +1.



f 1 -f 0

1
d2 : f(x) = x .
2
d3 : f(x) = 3.
1
5
d4 : f(x) - x – .
3
3
5
d5 : f(x) = - x 3 .
3
d6 : f(x) = 3x – 4.

1 alors que



f 1 - f 0 ,5



1- 0 , 5

ª 0 , 59.
1- 0
1- 0 , 5
1- 0 , 5
Ces quotients étant différents, on ne peut pas représenter
f par un segment de droite.

68 1.
Prix avant réduction (€)

62 d1 : e.
d2 : b.
d3 : c.
d4 : h.
d5 : d.
d6 : a.

12

25

Prix après réduction (€) 11,52

24

42

54

40,32 51,84

11, 52 24 40 , 32 51, 84



0 , 96.
25
42
54
12
3. R(p) = 0,96 p.

2. On a

4. R est une fonction linéaire.
5. Quand p augmente de 1 €, R(p) augmente de 0,96 €.

63 Voir corrigé en fin de manuel.
64 1. – 2x + 8 > 0 revient à – 2x > – 8 soit x < 4 ; donc

l’ensemble ]– ; 4[.
2.
y

69 1. a. 22 euros, 1,1 p ; 25 euros, R(p) = 1,25 p.
b. 18 euros, 0,9 p ; 18,80 euros, R(p) = 0,94 p.
2. a. Une augmentation de 2 %.
b. Une diminution de 20 %.
c. Une augmentation de 40 %.

10

d. Une diminution de 50 %.

70 1.

8

t
6

0 0,25 0,5 0,75

d(t)

1

1,25 1,5 1,75

2

0 22,5 45 67,5 90 112,5 135 157,5 180

2. et 3.
4

y = d (t)
180

2

160

H
G

140
–4

–2

0

2

4

6

x

–2

F

120

E

100

D

80

On peut contrôler le résultat précédent graphiquement
en regardant pour quelles valeurs de x la droite est audessus de l’axe des abscisses.
3. Les réels 0 ; 1 ; 2 par exemple.

65 1. 2x + 4 est strictement positif pour x > – 2 ;
négatif sinon.

40

C

60
B
40
A

20
0
0

0,25 0,5 0,75

1

1,25 0,5 1,75

2 x=t

Il s’agit d’une situation de proportionnalité : d est une
fonction linéaire, donc d est représentée par un
segment de droite sur [0 ; 2].
4. 90 représente le coefficient directeur de la droite
dont on a tracé une partie ci-dessus.
5. Durant la première heure le cycliste a roulé à la
vitesse constante de 30 km . h–1 ; puis de 1 h à 1 h 30 il a
roulé à une vitesse de 10 km . h–1. Il s’est arrêté de 1 h 30
à 2 h et est reparti jusqu’à 3 h à la vitesse constante de
40 km . h–1.

b. f(x) 0 si et seulement si x 0,3.
g(x) 0 si et seulement si x 0,4.
3. Résolution algébrique
f(x) = 0 € 0,6 = 2x € x = 0,3.
g(x) = 0 € 0,4 = x.
f(x) 0 € – 2x + 0,6 0 € 0,6 2x soit 0,3 x.
g(x) 0 € – x + 0,4 0 € 0,4 x.
4. a. x 0 et f(x) 0 et g(x) 0 si et seulement si
0 x 0,3.
b. Voir graphique ci-dessus.

71 1. V (r) = (aire de la base) ¥ ( hauteur) p r2 h où r
est le rayon de la base et h la hauteur du cylindre.

B. 1. Pour x = 0, les quantités de matières en O2 et en
H2 sont respectivement 0,4 moles et 0,6 moles.

2. Le rayon étant fixé, le volume est proportionnel à la
hauteur donc la seconde courbe (à droite) représente le
volume en fonction de la hauteur, à rayon fixé, car elle
représente une fonction linéaire. La première représente donc le volume en fonction du rayon.

2. C’est le réactif H2 qui disparaîtra en premier, pour
x = 0,3.

1
72 1. f (h) = ¥ 4 ¥ 3 ¥ h 4 h

3
1
2. g(h) = ¥ 4 ¥ 3 ¥ 6 - h = 24 – 4 h
3
4. On résout 4 h = 24 – 4 h ce qui donne h = 3. Le point
d’intersection a pour coordonnées (3 ; 12). L’abscisse
correspond à la position de S pour que les deux pyramides aient le même volume ; ce volume est alors égal
à 12.





73 A. 1. a. Coefficient directeur de D : – 2.
Coefficient directeur de D¢ = – 1.
b. Ordonnée à l’origine de D : 0,6.
Ordonnée à l’origine de D¢ : 0,4.
c.
y

74 1. Vraie
2. « Si f (0) > f(4) alors f est strictement décroissante sur
[0 ; 4] » : Faux.

75 On est d’accord avec Fati mais pas avec Théo. Il est
possible que Théo ait raison mais il peut aussi avoir tort.
76 1. Vrai
2. Faux

77 On est sûr que n < m. Mais ce n’est pas parce que
(n) < f(m) que la fonction est de façon certaine
strictement croissante sur [a ; b].
On peut modifier l’algorithme de plusieurs façons. Une
possibilité :
Remplacer « f est strictement croissante sur [a ; b] » par
« il est possible que f soit strictement croissante sur
[a ; b] mais elle peut aussi ne pas l’être ».
78 Voir corrigé en fin de manuel.

0,6

79 On ne peut pas représenter f par un segment de
droite.
f 1 - f 0
13 - 12
Par exemple les quotients

ª 0 ,14
1- 0
1
f 4 - f 0
ª 3 ,13 sont distincts.
et
4-0

D : y = – 2x + 0,6 = f (x)
0,5
0,4

0,1

O

3. Il reste alors 0,1 mole du réactif O2 car 0,1 = 0,4 – 0,3.

D’ : y = x + 0,4 = g (x)
0,1

0,3

0,4

0,5

1

x

80 D’un point de vue mathématique, il est faux de
dire que la teneur en CO2 ne cesse d’augmenter,
puisqu’il y a des intervalles nombreux où la fonction est
décroissante. C’est l’allure générale, qui est qualifiée
bien souvent de croissante.

2. Résolution graphique

81 1. La fonction, qui à l’intensité I associe la tension
U, est strictement croissante.

a. f(x) = 0 si et seulement si x = 0,3.
g(x) = 0 si et seulement si x = 0,4.

2. Tracer, sur une feuille de papier millimétré, la courbe
représentative de la fonction, qui à I associe U.

Chapitre 2. Sens de variation. Fonctions affines

41

3. Montrer que la fonction, qui à I associe U est donnée
par la formule U(I) = RI.
4. Tracer la courbe représentative de la fonction, qui à
l’intensité I qui traverse la lampe associe la tension U.

82 1. La notation « < 4 » sur l’axe des ordonnées.
Le // sur l’axe des abscisses indique une rupture dans
l’axe du temps ainsi que dans les graduations utilisées :
mois et années sur le même axe.
Les graduations régulières en ordonnées ne sont pas à
écarts constants.
2. Le taux d’anticorps décroît de 128 à 64. Il diminue de
moitié (de 50 %).
3. On peut lire le sens de variation des deux fonctions
représentées malgré les graduations inhabituelles et la
rupture de graduations en abscisse puisqu’il n’y a pas
de rupture correspondante sur les courbes entre 1 mois
et 1 an.

Travail personnel
Pour les exercices 83 à 101 : voir corrigés en fin de
manuel.

Par le calcul :
5
40
AMD et DMC ont même aire € x = 20 – x € x =
2
7
5
3
AMD et MBC ont même aire € x = 8 - x € x = 3
2
2
3
DMC et MBC ont même aire € 20 – x = 8 - x
2
€ x = – 16. On élimine cette solution car x appartient à
[0 ; 8].









10
¥ V = (1 + 0,1) V = 1,1 V
103 1. NV = V +

100
8
¥ V = (1 – 0,8) V = 0,92 V
100
3. Les courbes rouge et bleue correspondent à une
augmentation, car elles sont au-dessus de la droite
d’équation y = x, donc leur coefficient directeur est
supérieur à 1.
La courbe verte correspond à une diminution car étant
en dessous de la droite d’équation y = x, son coefficient
directeur est inférieur à 1.

2. NV = V –

104 2. Graphique obtenu sur AlgoBox :

APPROFONDISSEMENT

102 A. Voir le site www.didiermathx.com
B.1. Aire de AMD 1 ¥ 5 x 5 x
2
2
1
et aire de MBC ¥ 3 ¥ ( 8 - x )
2
2. Aire de ABCD = 32 ; aire de DMC = aire de ABCD –
aire de AMD – aire de MBC.
5
3
Aire de ABCD = 32 – x – 8 - x = 20 – x
2
2
3.
y





20
f1

18

Cet algorithme représente point par point la courbe de
la fonction f(x) = 2x² – 1 avec un pas de 0,1 sur l’intervalle
[0 ; 1].
3. Algorithme modifié :
Il faut déclarer p comme nouvelle variable, demander la
valeur de p à l’utilisateur puis remplacer le pas 0,1 par p,
demander également a et b.

16
14
f3

12
10
8
6
4
2

f2
–2 0

2

4

6

8 x

4. Graphiquement : on repère les points d’intersection
et on lit leurs abscisses : 5,7 et 3 à la précision de lecture
graphique près.

42

105 Il y a plusieurs méthodes pour exécuter ce tracé
selon qu’on le trace point par point ou que l’on utilise un
outil de tracé d’un segment déterminé par ses extrémités
(sur AlgoBox ou sur une calculatrice par exemple).

Exemple d’algorithme :
VARIABLES : a nombre
INITIALISATION : a prend la valeur 0
TRAITEMENT
Tantque a ≤ 18 Faire
Tracer le segment ayant pour extrémités les
points de coordonnées (a ; 0) et (a + 1 ; 1)
Tracer le segment ayant pour extrémités les
points de coordonnées (a + 1 ; 1) et (a + 2 ; 0)
a prend la valeur a + 2
FinTantque
Programmation sur Algobox :

d. Car la vitesse est constante. Le coefficient directeur
est – 15.
3.
0
5

H

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 K Temps
(min)
I
J

10
15
20
25
F
30
Profondeur
(m)

G

4. Sa plongée a duré environ 56 minutes.

108 1. a. Pour u < v et a > 0, on a au < av puis
au + b < av + b.
b. f conserve l’ordre donc f est strictement croissante
sur .

106 1. h varie dans l’intervalle [0 ; 6].

2. Si a < 0 et u < v, alors au > av et au + b > av + b,
l’ordre est renversé, la fonction f est strictement décroissante sur .

2. r et h sont les longueurs des côtés de l’angle droit
d’un triangle rectangle qui a pour hypoténuse le rayon
de la demi-sphère donc d’après le théorème de Pythagore, il vient : h² + r² = 6² = 36.

109 1. Le deuxième graphique, car le prix est un
nombre entier d’euros.

3. Volume du cylindre = p ¥ r² ¥ h or r² = 36 – h² d’après
la question précédente donc V(h) = p ¥ h ¥ (36 – h²) =
36 p h – p h3.

3. a. n peut prendre les valeurs entières entre 0 et 19.

4. a. La hauteur est à peu près 3,5.

c. Avec une calculatrice (ou un tableur) on trouve que la
recette est bien maximale pour une baisse de 6 € donc
un prix de 13 €. La recette maximale est 12 740 euros.

b. 2 3 ª 3 , 46 donc 3,5 est une valeur approchée de
2 3 à 0,1 près par excès.
Le volume maximal est :
36 ¥ p ¥ 2 3 – p ¥ (2 3)3 = 48 p 3 .
Le rayon est alors donné par r² = 36 – 12 = 24 donc r = 2 6.
1 4
5. le volume de la demi-sphère ¥ p ¥ 63 144 p.
2 3
48 p 3
On calcul donc le rapport :
ª 0 , 58 .
144 p
Le volume du cylindre représente donc environ 58 % de
celui de la demi-sphère.

107 1. Cela signifie que l’azote contenue dans le sang
du plongeur augmente de volume avec la baisse de la
pression et cause des dégâts importants à l’organisme.
Pour l’éviter il faut effectuer des paliers de décompression.
2. a. Dans la partie « sud-est » (soit le 4e quadrant).
c. 2 mm correspond à 1 min.

2. Il doit baisser le prix de 6 €.

b. Le prix est 19 – n et le nombre de spectateurs est
500 + 80n.

110 On peut d’abord identifier chaque courbe à l’aide
des variations ou en considérant que seule l’aire du
triangle CMB peut s’annuler.
L’aire du triangle CMB s’annule pour x = 7 donc AB = 7.
Pour x = 0, l’aire de CMB est égale à l’aire de CAB donc
aire de CAB = 14 avec AD hauteur du triangle et AB = 7
1
comme base. Par conséquent AD ¥ 7 14 donc AD = 4.
2
En considérant une autre valeur de l’aire de AMCD, par
exemple pour x = 7, on obtient CD = 4.

Chapitre 2. Sens de variation. Fonctions affines

43

111 1. Position 1.
2. Un logiciel de géométrie dynamique peut amener à
faire une conjecture.
On conjecture un angle a ª 36,4 °.
On peut aussi exprimer la hauteur du trapèze TT¢P¢P en
fonction de cos a, la distance PP¢ en fonction de sin a
puis dresser une table de valeurs de l’aire en fonction
de l’angle a (en degré) à l’aide de la calculatrice.

112 On peut utiliser un logiciel de géométrie pour
estimer une valeur de x.
Par un raisonnement géométrique, la longueur HK
étant constante, il s’agit de minimiser AH + KB.
En « effaçant la rivière » on est conduit à minimiser la
distance AH¢ + H¢B sur la figure ci-dessous.

44

B
30 m

x (en m)
50 m
A

100 m

On enlève la rivière : on superpose les deux bords (H, K
deviennent confondus ; on note ce point H¢).
ll faut donc placer H¢ de telle sorte que A, H¢ et B soient
alignés.
Par le théorème de Thalès on trouve que x = 62,5.

Développer, factoriser
pour résoudre

3

Pour reprendre contact
Les réponses exactes sont :
1 1.
A¥B

–A

A+B

produit

opposé

somme

2. 1 + (x + 3)2
3
3.
2 4 x
2 1. c 2. d 3. b

1
A
inverse

A
B
quotient

A–B
différence

4. c

3 L’argument de Myriam est correct : son contre-exemple permet de prouver que l’affirmation « Pour tout x, … » est
fausse. Par contre, l’exemple de Léa ne suffit pas à prouver que l’affirmation est vraie.
4 1. b et c

2. c

3. c

Activité 1. Égalité : pour tout x ou pas ?
1. f : 1 Æ 1 + 3 = 4 Æ 4 ¥ 2 = 8 Æ 8 – 6 = 2
2 Æ 2 + 3 = 5 Æ 5 ¥ 2 = 10 Æ 10 – 6 = 4
g : 1 Æ 1 + 1 = 2 Æ 22 = 4 Æ 4 – 1 = 3 Æ 3 – 12 = 2
2 Æ 2 + 1 = 3 Æ 32 = 9 Æ 9 – 1 = 8 Æ 8 – 22 = 4
h : 1 Æ 12 = 1 Æ 1 – 1 = 0 Æ 0 + 2 = 2
2 Æ 22 = 4 Æ 4 – 2 = 2 Æ 2 + 2 = 4
k : 1 Æ 1 – 1 = 0 Æ 02 = 0 Æ 0 ¥ (– 12) = 0 Æ 0 + 2 ¥ 13 = 2
2 Æ 2 – 1 = 1 Æ 12 = 1 Æ 1 ¥ (– 12) = – 12 Æ – 12 + 2 ¥ 23 = 4
On observe que f (1) = g(1) = h(1) = k(1) = 2 ¥ 1
f (2) = g(2) = h(2) = k(2) = 2 ¥ 2
On peut conjecturer (sans aucune garantie) que f, g, h et k ne sont qu’une seule et même fonction ; cette fonction étant :
x 2 ¥ x.
2. f : 3 Æ 3 + 3 = 6 Æ 6 ¥ 2 = 12 Æ 12 – 6 = 6
g : 3 Æ 3 + 1 = 4 Æ 42 = 16 Æ 16 – 1 = 15 Æ 15 – 32 = 6
h : 3 Æ 32 = 9 Æ 9 – 3 = 6 Æ 6 + 2 = 8
k : 3 Æ 3 – 1 = 2 Æ 22 = 4 Æ 4 ¥ (– 12) = – 48 Æ – 48 + 2 ¥ 33 = 6.
On a f (3) = g(3) = k(3) = 2 ¥ 3.

45

La conjecture reste valable pour f, g et k.
On sait maintenant qu’elle est fausse pour h.
3. f : 4 Æ 4 + 3 = 7 Æ 7 ¥ 2 = 14 Æ 14 – 6 = 8
g : 4 Æ 4 + 1 = 5 Æ 52 = 25 Æ 25 – 1 = 24 Æ 24 – 42 = 8
k : 4 Æ 4 – 1 = 3 Æ 32 = 9 Æ 9 ¥ (– 12) = – 108 Æ – 108 + 2 ¥ 43 = 20.
La conjecture est confirmée pour f et g.
Elle ne l’est pas pour k.
4. Non, on ne peut pas affirmer que pour toute valeur de x, f (x) = g(x) = 2x.

Activité 2. Reconnaître la structure d’une expression
1. a.

3

a
3×a

a×a

3a

a2
3a + a2
a2 + 3a

b. Cette expression est une somme, dont les termes sont a2 et 3a.
c.

2

x

1

x+2
x (x + 2)
x (x + 2) + 1

Cette expression est une somme.
2. Sommes : a, b, e, g, i, j
Produits : c, d
Quotients : f, h.

Activité 3. Choisir la bonne forme
1.

On ne voit qu’une seule courbe !
Cela peut s’expliquer par les égalités : f = g = h.
Mais il faut le démontrer pour en être sûr.
En développant :
• g(x) = x2 – 4x + 2x – 8 = x2 – 2x + 8 = f (x)
• h(x) = x2 – 2x + 1 – 9 = x2 – 2x + 8 = f (x)
On a donc bien f = g = h.

46

2. f (0) = 02 – 2 ¥ 0 – 8 = – 8
f (1) = (1 – 1)2 – 9 = 0 – 9 = – 9
f (4) = (4 – 4) (4 + 2) = 0 ¥ 6 = 0
f ( 3) = ( 3)2 – 2 ¥ 3 – 8 = 3 – 2 3 – 8 = – 5 – 2 3.

Activité 4. Trois stratégies pour une équation
1. Théo

L’égalité a lieu lorsque x = 0 uniquement.
Théo donne pour solution : x = 0.
Manon

La fonction TRACE donne pour abscisses des points communs aux deux courbes x 艐 0,002 et x 艐 0,835.
Manon propose donc ces deux solutions.
Karim
5
Karim résout 6x – 4 = 1 d’où 6x = 5 et donc x .
6
5
Karim donne pour solution : x .
6
2. Théo et Karim proposent chacun une solution de l’équation qui est exacte. Mais il leur en manque une !
Manon a trouvé deux solutions ; mais elle ne les connaît pas de façon exacte.
b. La 1re méthode ne permet pas de déterminer une solution non décimale, la 2e méthode donne des solutions approchées,
la 3e méthode comporte une erreur algébrique grave.

Activité 5. Équation produit et équation quotient
1. a.

Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre

47

b.

c. On observe que h(x) est nul lorsque x = 2 ou x = 3.
On constate que h(x) est nul, lorsque f (x) ou g(x) est nul.
d. Non, car h(x) ne peut s’annuler sans que f (x) ou g(x) s’annule. Or f (x) ne s’annule que pour x = 2 et g(x) ne
s’annule que pour x = 3.
1
e. (x + 4) (3x – 1) = 0 lorsque x + 4 = 0 ou 3x – 1 = 0, c’est-à-dire lorsque x = – 4 ou x .
3
2. a. b.
• h(x) = 0 lorsque x = 2.
• Un message d’erreur est obtenu lorsque x = 3.
f x
On constate que h(x) =
n’existe pas lorsque g(x) = 0 (c’est-à-dire lorsque x = 3)
g x
et que h(x) est nul lorsque f (x) = 0 (c’est-à-dire lorsque x = 2).
L’explication est simple :
• diviser par zéro n’est pas possible,
• diviser zéro par un nombre non nul donne toujours zéro.
c. Pour (x) = x 1 on aura un message d’erreur lorsque 3x – 6 = 0, c’est-à-dire lorsque x = 2 ; on aura (x) = 0 pour
3x - 6
x = – 1.

TP 1. Une longueur minimale
1. D’après l’énoncé, l’aire du rectangle est 1 800 m2 d’où l’information : xy = 1 800.
1 800
Il en résulte y =
.
x
1 800
2. Pour x > 0, L(x) = 2x + y = 2x + 2x +
.
x
3.

D’après la courbe de L, on peut conjecturer que la longueur du grillage est minimale lorsque x vaut environ 30 m ; la
longueur du grillage est alors d’environ 120 mètres.
4. L x - 120 2 x 1 800 - 120
x
2 x 2 - 120 x 1 800 2 x 2 - 60 x 9 00


x
x


48

2 x - 30 2
x

2 x - 30 2
on peut déduire d’une part que L(30) – 120 = 0 et d’autre part que L(x) – 120 0
x
pour tout x > 0. On a donc, pour tout x > 0, L(x) L(30) qui prouve que L(x) est minimal pour x = 30 et vaut L(30) = 120
dans ce cas.

De l’égalité L(x) – 120 =

Pour aller plus loin
Il faudra acheter au moins 3 rouleaux de grillage et la longueur disponible sera de 150 m.
Pour ne pas recouper le grillage, on cherche x tel que L(x) = 150.
2 x 2 - 150 x 1 800 2 x 2 - 75 x 900
1 800

.
– 150 =
Or L(x) – 150 = 2x +
x
x
x
Pour utiliser l’aide, on développe : (x – 15) (x – 60) = x2 – 75x + 900, qui permet d’écrire L(x) – 150 =
Ainsi, on a L(x) = 150 si et seulement si x = 15 ou x = 60.
1 800
Pour x = 15, on a y =
= 120.
15
1 800
= 30.
Pour x = 60, on a y =
60
La zone peut donc avoir pour dimensions (en m) : x = 15 et y = 120 ou x = 60 et y = 30.

2 x - 15 x - 60
.
x

TP 2. Couper en 2, encore et encore : la dichotomie
A. Étudions un exemple. On sait que P Œ [0 ; 256]. On suppose P = 118.
Étape…

Proposition de prix
(centre intervalle)

Positionnement
(plus ou moins cher, exact)

1

128

moins

[0 ; 128]

2

64

plus

[64 ; 128]

3

96

plus

[96 ; 128]

4

112

plus

[112 ; 128]

5

120

moins

[112 ; 120]

6

116

plus

[116 ; 120]

7

118

exact

P est dans

Les longueurs des intervalles successifs sont : 256, 128, 64, 32, 16, 8 et 4.
On remarque que leur longueur est divisée par 2 à chaque étape.
Complément : Partant d’un intervalle de longueur 256, au bout de n étapes l’intervalle contenant P a pour longueur
256
.
2n
256
= 1.
Le nombre maximal d’étapes à ce jeu est donc 8 car
28
B. 1. a. À partir de la courbe de f : x x3 on conjecture que f est croissante sur et que l’équation f (x) = 5 admet une
solution unique.
On admet que ces conjectures sont exactes.
b. On calcule f (1,2) = 1,23 = 1,728.
f (2) = 23 = 8.
Notons x0 la solution de l’équation f (x) = 5.
On a f (x0) = 5 et donc f (1,2) f (x0) f (2).
Comme f est croissante sur , f « conserve l’ordre » et donc 1,2 x0 2 ; soit x0 Œ [1,2 ; 2].
c. * Pour obtenir une valeur approchée à 10–1 près de la solution x0 de l’équation f (x) = 5 :
• on peut utiliser la TABLE de la calculatrice, après avoir rentré Y1 = X3 et pris pour « départ » 1,2,
pour « fin » (éventuellement) 2 et pour « pas » 0,1.
On peut alors lire sur la table que f (1,7) 5 f (1,8) soit encore f (1,7) f (x0) f (1,8).
Comme dans la question b, la croissance de la fonction f permet d’en déduire 1,7 x0 1,8
• on peut aussi faire afficher la courbe de f sur la calculatrice et utiliser TRACE.

Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre

49


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